必修二 第三章.doc

《必修二 第三章.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修二 第三章.doc（35页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、普通高中数学 必修二 第三章直线与方程（导学案） 【本章导言】在几何问题研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。现在，我们采用另外一种研究方法：坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。它是解析几何中最基本的研究方法。本章首先在平面直角坐标系中，建立直线的方程。然后通过方程，研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。直角坐标

2、系使几何研究又一次腾飞，几何从此跨入了一个新的时代。让我们给直线插上方程的“翅膀”吧！姓名： 班级： 3.1.1 倾斜角与斜率【学习目标】1理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2掌握过两点的直线斜率的计算公式；3能用公式和概念解决问题；4、理解直线的倾斜角与斜率之间的联系（难点）。一、课前预习阅读教材第82-86页，完成下列问题：1. 倾斜角的概念和范围（1）倾斜角的定义是 注：定义的关键：直线向上方向；x轴的正方向；小于平角的正角.（2）当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 度.（3）直线倾斜角的范围为 2. 斜率的概念及斜率公式定 义倾斜角不是的直线，它的倾斜角的 叫做这条直线的

3、斜率，记为，即 .取值范围当时， ；当时， ；当时， ；当时，斜率 ；过两点的直线的斜率公式直线经过两点，其斜率温馨提示（1）直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系。它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的。但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便。（2）直线的倾斜角与斜率的关系如下表：直线情况平行（或重合）于轴由左向右上升垂直于轴由右向左上升的大小斜率的取值范围0不存在斜率的增减性单调增单调减探究一： 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？探究二：（1）与轴垂直的直线倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？ （2）不垂直于轴的直线的斜

4、率的大小与在上取的两个点有关吗？二、预习自测1.请描出下列各直线的倾斜角 2.填空：函数y=x的图像的倾斜角为 ，y=-x的图像的倾斜角为 ， 直线x=1倾斜角为 ，直线y=0倾斜角为 .3. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.； 4已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ； ； ； 5.已知直线的斜率，求其倾斜角.； ； ； 不存在三、课中探讨首先独立思考探究，然后合作交流展示1.已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.规律方法（1）由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况；（2）斜率或倾斜角之间的大小比

5、较要根据在及的增减性来判断.2.已知两点，过点的直线与线段有公共点.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）求直线的倾斜角的取值范围；规律方法（1）由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）利用定义式（）解决；（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式求解.（3）涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.3.（1）画出斜率为且经过点的直线.（2）判断三点的位置关系，并说明理由.【课堂小结】1. 直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的坐标系中的倾斜程度，要理解（）在和上的变化情况；2. 注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于轴这种情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决问题.四、达标

6、检测1. 下列叙述中不正确的是（ ）A若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B每一条直线都惟一对应一个倾斜角C与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或D若直线的倾斜角为，则直线的斜率为2. 经过两点的直线的倾斜角（ ）A B C D3. 为何值时，经过两点，的直线的斜率是12？4. 为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是？5. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为 角；的取值范围 .6过两点，的直线的倾斜角为，求的值.7. 经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，找出直线的倾斜角与斜率的取值范围，并说明理由.8. 已知实数满足，且，求的最大值和最小值.通过本课的学习，我的收获是：3.1.

7、2 两直线平行与垂直的判定【学习目标】1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学习的兴趣一、课前预习预习教材第86-89页，找出疑惑之处，完成下列问题1. 两直线平行的判定（1）对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有 .（2）若直线和可能重合时，我们得到 或与重合.（3）若直线和的斜率都不存在，且不重合时，得到.温馨提示（1）公式成立的前提条件是：两条直线的斜率存在，分别为；与不重合.

8、（2）当都垂直于轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得，这样两条不重合直线平行的判定的一般结论就是：或斜率都不存在.2.两直线垂直的判定（1）如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直。即 .（2）若两条直线中的一条没有斜率，另一条的斜率为0时，它们互相垂直.温馨提示（1）两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零，否则由的式子就没有意义.（2）两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。这样，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零。探究一：若

9、两条直线平行，斜率一定相等吗？探究二：（1）如果两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于吗？ （2）若两直线的斜率之积等于，这两条直线一定垂直吗？二、预习自测1. 下列说法正确的是（ ）A若，则B若直线，则两直线的斜率相等C若直线、的斜率均不存在，则D若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）A相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过与的直线与斜率为的直线互相垂直，则值为（ ）A B C D4. 已知，试判断直线与的位置关系, 并证明你的结论.5. 已知，试判断直线与的位置关系.三、课中探讨首先独立思考探究，然后合作交流展示1. 已知四边形的四个顶

10、点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明.规律方法 利用斜率判定两直线平行要注意两点： 斜率是否存在； 两直线是否重合有时可借助图形加以判定.2. 已知，试判断三角形的形状.规律方法 两条直线垂直需判定，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条斜率不存在，另一条斜率为零，此时两直线也垂直，注意讨论的全面性.3. 试确定的值，使过点的直线与过点的直线平行； 垂直.【课堂小结】1. 代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线存在斜率，则（其中不重合）；若可能重合，则或与重合. .2. 利用斜率研究直线位置关系必须讨论斜率是否存在.3. 利用斜率判定平面几何图形的形状，常先用图作出猜想，然后

11、再证明.四、达标检测1. 已知过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是（ ）A. B. C. D.2. 在直角坐标平面内有两点，在轴上有点，使，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 或3. 若，则下面四个结论：，. 其中正确的序号是 .4. 若已知直线上的点满足，直线上的点满足，试求为何值时， ； .5. 已知三点，求点D的坐标，使直线，且.通过本课的学习，我的收获是：3.2.1 直线的点斜式方程【学习目标】1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.一、课前预习预习教材第92-95页

12、，找出疑惑之处，完成新知学习探究一：设点为直线上的一定点,那么直线上不同于的任意一点与直线的斜率有什么关系？1、直线的点斜式方程：已知直线上一点与这条直线的斜率，设为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当时， 即： （1）. 点斜式方程是由直线上 及其 确定。（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）？（2）适合方程（1）的任意一组解为坐标的点是否都在直线上？（3）方程能不能表示过点，斜率为k的直线的方程？思考：轴所在直线的方程是_ _；轴所在直线的方程是_ _；经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是_；经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是_；直线的点斜式方程能不能表

13、示平面上的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.探究二：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。请写出你的求解过程.2、直线的斜截式方程：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的 ,方程是由直线的 与它在 确定，所以把此方程叫做直线的斜截式方程。思考：截距是距离吗？能否用斜截式表示平面内的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？直线中的几何意义是 ，的几何意义是 .二、预习自测1. 写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是；（3）经过点，倾斜角是； （4）经过点，倾斜角是.2. 填空题.（1）已

14、知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 ；（2）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 ；3. 写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是，在轴上的截距是； （2）斜率是，在轴上的截距是.4.判断下列各对直线是否平行或垂直：（1），； （2），.三、课中探讨1. 写出直线的方程： （1）经过点且垂直于轴的直线； （2）经过点且平行于轴的直线；（3）倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3的斜截式方程.2直线过点，且倾斜角为，求直线的点斜式和斜截式方程，并画出直线.变式：直线过点，且平行于轴的直线方程 ；直线过点，且平行于轴的直线方程 ；直线过点，且过原点的直线方程

15、.3求直线与坐标轴所围成的三角形的面积.4. 已知直线，试讨论： （1）的条件是什么？ （2）的条件是什么？四、达标检测1已知直线方程，则这条直线经过的已知点、倾斜角分别是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，2过点，倾斜角为的直线方程为（ ）A. B. C. D. 3. 已知直线的方程为，则在轴上的截距为（ ）A B C D4. 直线，当变化时，所有直线恒过定点（ ）.A B（3，1） C D5. 直线（）的图象是( ) 6. 一条直线经过点，并且它的斜率等于直线的斜率的2倍，求这条直线的方程.7. 三角形的三个顶点是.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；

16、（3）求边的垂直平分线的方程；通过本课的学习，我的收获是：3.2.2 直线的两点式方程【学习目标】1掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.一、课前预习预习教材P95 P97，找出疑惑之处，完成新知学习探究一：设直线l经过两点，其中，则直线斜率是什么？结合前面学过的点斜式写出直线的两点式方程. 思考：由一个点和斜率可以确定一条直线的方程，通过对上述问题的解决你能不能想到还有什么条件可以确定一条直线的方程吗？考虑后完成下列内容.1、两点式方程的概念：方程 表示经过两点的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简程两点式.方程是由直线上 确定的。（1）、两

17、点式适用范围是什么？（2）、若点中有，或，此时过这两点的直线方程分别是什么？探究二：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中.求的方程.注意：直线与x轴的交点的横坐标叫做直线在x轴的截距，简称横截距；此时直线在y轴上的截距是b，简称纵截距.2、直线的截距式方程：方程 由直线在两个坐标轴上的截距与 确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称截距式。思考：（1）、截距式的适用范围是什么？截距式方程的特点是什么呢？（2）、两点式与截距式有什么关系呢？（3）、方程 + = 1 中的a，b是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？（4）、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间

18、有什么关系？二、预习自测1. 求过下列两点的直线的两点式方程：（1），； （2），.2. 根据下列条件求直线的方程，并画出图形：（1）在轴上的截距是2，在轴上的截距是3；（2）在轴上的截距是，在轴上的截距是6.3. 根据下列条件，求直线的方程：（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2；三、课中探讨首先独立思考探究，然后合作交流展示1. 已知三角形的三个顶点A（5,0），B（3，3），C（0,2）求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.线段中点坐标公式:若点的坐标分别为，线段的中点为，则点的坐标为：2. 求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴

19、上的截距相等的直线的方程（结果化成斜截式）。3. 求出下列直线的方程，并画出图形. 倾斜角为，在轴上的截距为0；在轴上截距是3，与轴平行；在轴上的截距是4，与轴平行.四、达标检测1. 直线过点两点，点在上，则的值为（ ）.A2003 B2004 C2005 D20062.在轴上的截距为2，在轴上的截距为的直线方程 .3. 直线关于轴对称的直线方程 ，关于轴对称的直线方程 关于原点对称的方程 4. 直线过点，且与轴、轴分别交于两点，若点恰为的中点，则直线的方程为 .5. 求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点，且与直线平行；（2）经过点，且平行于过点和的直线；（3）经过点，且与直线垂直.6.

20、一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线的方程.通过以上的学习，我的收获是：3.2.3 直线的一般式方程【学习目标】1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前预习阅读教材第97-99页，找出疑惑之处，完成知识归纳探究：（1）任意一个二元一次方程：AxByC0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？（2）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？1、直线与二元一次方程的关系（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于的_表示；（2

21、）每个关于的二元一次方程都表示为 .2、直线的一般方程：把关于的二元一次方程_叫做直线的一般式方程，简称一般式，其中系数A、B满足_.3、思考：问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题2：当时，直线的斜率是 ，直线在y轴上的截距为 .问题3：在方程 Ax + By + C = 0 中， A, B, C 为何值时，方程表示的直线：平行于x 轴； 平行于 y 轴；与x 轴重合； 与y轴重合；过原点； 与x轴、y轴都相交（重合不算）：二、预习自测1. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： 斜率是，经过点； 经过点，平行于轴； 在轴和轴上的截距分别是； 经过两

22、点.2. 求下列直线的斜率以及在轴上的截距，并画出图形：（1）； （2）；（3）； （4）.3. 已知直线的方程是，（1）当时，直线的斜率是多少？当时呢？（2）系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？三、课中探讨1. 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.2. 已知直线的方程为，求直线的方程，满足：（1）过点，且与平行； （2）过点，且与垂直.规则方法与直线平行的直线方程可设为，再由其他条件列方程求出；与直线垂直的直线方程可设为，再由其他条件列方程求出.3. 设直线的方程为 .（1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实

23、数的取值范围.四、达标检测1. 斜率为，在轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A BC D2. 若方程表示一条直线，则（ ）. A B C D3. 直线的倾斜角为（ ） A B C D4. 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则 .5. 已知两直线方程和，当为何值时：（1）两直线互相平行？ （2）两直线互相垂直？6. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线的方程.通过本课的学习，我的收获是：3.3.1 两条直线的交点坐标【学习目标】1掌握判断两直线相交的方法，会求两直线的交点坐标；2体会判断两直线相交中的数形结合思想.一、课前预习阅读教材第102-10

24、4页，找出疑惑之处，完成新知学习1平面直角系中两条直线的位置关系有几种？2. 已知两直线方程和，如何判断这两条直线的位置关系？3. 直线上的点与其方程的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点，这一点与两直线和有何关系？ 看下表，并填空：几何元素及关系 代数表示点A A（a，b）直线：Ax+By+C=0点A在直线上直线与 的交点A4. 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？5. 如何利用方程的解判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线和 的方程联立，得方程组 若方程组无解，则与 .若方程组有且只有一个解，则与 .若

25、方程组有无数解，则与 .二、预习自测1求两直线，的交点坐标.2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.， ；， ；，.三、课中探讨首先独立思考探究，然后合作交流展示1. 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程.2. 求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程.3. 已知两点，求经过两直线和的交点和线段 中点的直线的方程. 4. 求点关于直线的对称点坐标.四、达标检测1. 两直线的交点坐标为（ ）.A B C D2. 已知集合，那么集合为( )A.3,1 B.3,1 C.(3,1) D.(3,1)3直线关于点对称的直线的方程是（ ）A B C D4. 当取不同实数时，直线恒过一

26、个定点，这个定点是（ ）A B C D5. 直线20，4310和210相交于一点，则的值（ ）.A B C D6. 已知点，则点关于点的对称点的坐标 .7. 求过两条直线和的交点，且满足下列条件的直线方程.（1）过点；（2）与直线垂直.通过本课的学习，我的收获是：3.3.2 两点间的距离【学习目标】1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.一、课前预习阅读教材第104-106页，找出疑惑之处，完成新知学习1.已知数轴上两点，怎么求的距离及的中点坐标？2.在平面直角坐标系

27、中，任意两点间的距离是多少?写出大致的推导过程。 两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的任意两个点，则= 特殊地：与原点的距离为 二、预习自测1.求下列两点间的距离：（1），； （2），；（3），； （4），2.已知点与间的距离是17，求的值.3.已知点，求证：是等腰三角形.4.已知点，在轴上的点与点的距离等于13，求点的坐标.5.已知点，求线段的长及中点坐标.三、课中探讨首先独立思考探究，然后合作交流展示1已知点，在轴上求一点，使,并求的值.2. 已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在直线的方程.3. 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.yA(0,0)xB(a,0)D(b

28、,c)C(a+b,c)学法指导：先建立适当的坐标系，用坐标表示有关变量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.四、达标检测1. 两点之间的距离为（ ）A B C D 2. 以，为顶点的三角形是（ ）A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形 3. 两直线和分别过定点、，则 .4.已知点，六点，线段，能围城一个三角形吗？为什么？5.已知点，且，求的值.通过本课的学习，我的收获是：3.3.3-3.3.4 点到直线的距离及两平行线距离【学习目标】1理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2会用点到直线距离公式求解两平行线距离；3认识事物之间在一定条件下的转

29、化.用联系的观点看问题.一、课前预习阅读教材第106-109页，找出疑惑之处，完成新知学习探究一：问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？并画出图形.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，又怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?写出必要的推导过程结论1、点到直线的距离公式：已知点和直线，则点到直线的距离为： .注意：(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；(2)在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.(3)当A0或B0时，可以使用公式或数形结合来求距离.

30、探究二：两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间公垂线段的长.问题3：求两平行线， 的距离.学法指导：在两直线中任意一条上任取一个点，借助点到直线的距离公式来求解.结论2、两平行直线间的距离公式：已知两条平行线直线：，：，则与的距离为（请仿照问题3的求解方法，写出此公式的推导过程）注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程； （2）使两平行直线的方程的系数相等.二、预习自测1. 已知点到直线的距离等于1，则（ ） A B C D或2. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A B C D3. 点B(3，4)到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 .4. 分别求出点到直线的

31、距离. 5. 求两平行线：，：的距离.三、课中探讨首先独立思考探究，然后合作交流展示1.求点到下列直线的距离：（1）；（2）.2.已知直线是否平行？若平行，求间的距离.3.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求ABC的面积.学法指导在求底边上的高时要先求出底边所在直线的方程，再用点到直线间的距离公式求高.4.求过点且与，两点距离相等的直线的方程.四、达标检测1. 求点到直线的距离（ ）A B C D2. 两条平行线3210和3x210的距离是 .3. 经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）A0 B1 C2 D34. 过点引直线，使、到它的距离相等，则这条直线的方程是（ ）A B C或 D或5. 一直线过点，且点到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为 .6. 已知，则的最小值为 .7. 已知在中，点在直线上，若的面积为10，求点坐标.通过本课的学习，我的收获是：34