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1、导数专题(三)一一零点问题(2013昌平二模理)(18)(本小题满分13分)(零点问题)一八 一1 2已知函数 f(x) x alnx(a 0).2(I)若a 2,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(n)求f(x)在区间1,e上的最小值；(III)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求 a的取值范围.(18)(本小题满分13分)1 92斛：(I) a 2, f(x) -x 2ln x, f(x) x -, 2x.1f(1)1,f(1),2f (x)在(1,f(1)处的切线方程为2x 2y 3 0.：3分2(n)由 f (x) x -. x x由a 0及定义域为(0,)，令f(x)
2、0,得x Va.若痴1,即0 a 1,在(1,e)上，f(x) 0, f (x)在1,e上单调递增，1 因此，f(x)在区间1,e的最小值为f(1) 1.2若 1 金 e,即 1 a e2,在(1,逝)上，f(x) 0, f(x)单调递减；在(Va,e), f (x) 0, f (x)单调递增，因此f (x)在区间1,e上的最小值为f (Vo-) a(1 In a) 2若ja e,即a e2,在(1,e)上，f (x) 0, f (x)在1,e上单调递减，1c因此，f (x)在区间1,e上的最小值为f(e) 1 e2 a. 22221 2当 a e 时，fmin (x) -e a.：9分2综上
3、，当 0 a 1 时，fmin (x) 1；当 1 a e2 时，fmin (x) 1a(1 In a)；(III)由(II)可知当0 a 1或a e2时，f (x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点 当1 a e2时，要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则1a e即 1 2 ,止匕时，e a -e2.a -e2225a(1 Ina) 0, r 1- f(i) 2 0,1 2f (e) e a 0 2所以，a的取值范围为(e,1 e2).：13分2(2014西城期末理)18.(本小题满分13分)(零点问题)已知函数f(x) (x a)ex,其中e是自然对数的底数，
4、a R .(I)求函数f (x)的单调区间；(n)当a 1时，试确定函数 g(x) f(x a) x2的零点个数，并说明理由18.(本小题满分13分)(I)解：因为 f(x) (x a)ex, x R ,所以 f (x) (x a 1)ex . 2 分令 f (x) 0,得 x a 1. 3 分当x变化时，f (x)和f (x)的变化情况如下:x(,a1)a 1(a 1,f (x)0f(x) 5分故f(x)的单调减区间为(，a 1)；单调增区间为(a 1,) . 6分(n)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点. 7分理由如下：由 g(x) f (x a) x2 0 ,得方程 xex a x2
5、,显然x 0为此方程的一个实数解所以x 0是函数g(x)的一个零点.当x 0时，方程可化简为ex a X.设函数 F(x) ex a x ,贝U F (x) ex a 1 ,令 F (x) 0 ,得 x a.即F(x)的单调增区间为(a,当x变化时，F (x)和F (x)的变化情况如下:所以F(x)的最小值F(x)mF(a) 1 a.11分所以 F(x)minF(a) 1 a0,所以对于任意x R, F(x)0,x(,a)a(a,)F (x)0F(x);单调减区间为(令 f (x) 0 ,则 x 0 .因此方程ex a所以当x 0时，函数g(x)不存在零点.13分综上，函数g(x)有且仅有一个
6、零点(2015上学期期末丰台理)18.(本小题共13分)(图像交点、问题转化)已知函数f(x) x ex 1.(I )求函数f (x)的极小值;(n)如果直线 y kx 1与函数f(x)的图象无交点，求 k的取值范围.18.解：(I)函数的定义域为 R.因为f (x) x e x 1 ,所以f (x)x(,0)0(0,)f (x)-0+f(x)极小值所以当x 0时函数有极小值f(x)极小值=f(0) 0 . 6分1(n)函数 f(x) x 1 x.e1当 x 0时 f (x) 0 1 f 0，y k 0 11，e所以要使y kx 1与f(x)无交点，等价于 f(x) kx 1恒成立.人1x令
7、g(x) x 1 (kx 1),即 g(x) (1 k)x e , e(1 k)ex 1所以g (x)-q. e1.一当k 1时，g(x) 0 ,满足y kx 1与f(x)无交点; e11-当 k 1 时，g() (1 k) e1k e1k 1 ,k 1k 1十1A而0 , e1k 1 ,1 k一,1所以g() 0，此时不满足 y kx 1与f(x)无父点.k 1当k 1时，令g (x)ln(1 k),(1 k)ex 1xe当 x(, ln(1 k)时，g (x)0,g(x)在(，ln(1 k)上单调递减;当 x( ln(1 k),)时，g (x)0,g(x)在(ln(1 k),)上单调递增;
8、当 x ln(1 k)时，g(x)min g( ln(1 k) (1 k)(1 ln(1 k).由(1 k)(1 ln(1 k) 0 得 1 e k 1,即y kx 1与f(x)无交点.综上所述当k (1 e,1时，y kx 1与f(x)无交点.13分(2016东城上学期期末理)(19)(本小题共14分)(零点，问题转化)x e已知函数 f (x) a(x ln x).x(i)当a 1时，试求f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(n)当a 0时，试求f(x)的单调区问；(出)若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.解：(I)当 a 1 时，f/(x)ex(x 1)1-1)0，fe
9、1方程为y(n) f(x)ex(x 1)a(1-) xex(x 1) ax(x 1)所以所以/ x(eax)(x 1)2x0时，对于f (x) 0(0,)ax(x)0包成立,0x10.单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1) .(0,1)内有解.(出)若f(x)在(0,1)内有极值，则f (x)在x人 (e ax)(x 1)xe令 f(x)20 e ax 0 a 一xxx e 设 g(x) x (0,1),x所以 g(x) e (x 1) ,当 x (0,1)时，g(x) 0 包成立, x所以g(x)单调递减.又因为g(1) e,又当x0时，g(x) ,即g(x)在x (0,1)上的值域为
10、(e,),所以当 a e时，f(x) (e一axx 1) 0 有解. xxx设 H(x) e ax ,则 H (x) e a 0 x (0,1),所以H (x)在x (0,1)单调递减.因为 H (0) 1 0, H(1) e a 0,所以H (x) ex ax在x (0,1)有唯一解x0.所以有:x(0,x。)x0(x0,1)H(x)0f (x)0f(x)极小值Z所以当a e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一. 当a e时，当x (0,1)时，f (x) 0包成立，f(x)单调递增，不成立.综上，a的取值范围为(e,).14分(2015海淀一模理)(18)(本小题满分13分)(问题转化、
11、零点)1已知函数 f(x) aln x (a 0).x(I)求函数f(x)的单调区间； (n)若xf(x) 0 b,c(其中b c),求a的取值范围，并说明b,c (0,1).(18)(共 13 分)a1ax 1解：(I) f (x) (x 0). 2 分x x x(i)当a 0时，f (x) 0 ,则函数f (x)的单调递减区间是(0,).3分，人，1(ii)当 a 0 时，令 f(x) 0,得 x -.a当x变化时，f (x) , f(x)的变化情况如下表x(0,1) a1 a(1,) af(x)0f(x)极小值 1“、一1所以f(x)的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是(一，).
12、5分aa(n)由(i)知：f (x)至多存在一个零点，不符合题当a 0时，函数f (x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数,1在(-,)内是增函数， a7分(a 2ln a).e).所以要使一， 一， 一1，一，一 ，当a 0时，因为 f (x)在(0, 1)内是减函数，a，一r 一 ，1、八.1八x f(x)0 b,c,必须 f(一)0,即 alna 0.aa所以 a e.1122当 a e 时，f (-2) aln(-2) a 2alna a a aa2x2令 g(x) x 2ln x(x e),则 g(x) 1 - (xx x当x e时，g(x) 0,所以，g(x)在e,)上是增函数所
13、以 当 a e 时，g(a) a 2ln a g(e) e 2 0.1所以 f(-2) 0. 9分a11 ,1.因为1, f () 0, f (1) 1 0, aaa ，一 ，1 11所以 f (x)在(一2,)内存在一个零点，不妨记为b ,在(一，1)内存在一个零点，不妨记为a aac. 11 分11因为 f (x)在(0,)内是减函数，在(一，)内是增函数，aa所以xf(x) 0 b,c.综上所述，a的取值范围是(e,+ ). 12分1 11因为 b (-,-), c (一，1), a a a所以b,c(0,1). 13分(2015海淀上学期期末)(19)(本小题满分13分)(零点、三角函
14、数). 一 一.兀兀已知函数 f(x) a cosx xsinx, x 2, 2(I)判断函数f (x)的奇偶性，并证明你的结论； (n)求集合A x|f(x) 0中元素的个数;(出)当1 a2时，问函数f(x)有多少个极值点？(只需写出结论)(19)(共 13 分)解：(I)函数f (x)是偶函数,证明如下:对于冗冗x 2，则冗冗x 2，2.因为 f( x) acos( x) xsin( x) a cosx xsin x f (x),所以f (x)是偶函数._ .一 一 一TT TT(n)当 a 0时，因为 f(x) acosx xsin x 0, x 恒成立，22所以 集合A x| f (
15、x) 0中元素的个数为0. 5分_ ,. _TT TT当 a 0时，令 f (x) xsin x 0 ,由 x -,-, 2 2得x 0.所以 集合A x| f (x) 0中元素的个数为1. 6分当 a 0时，因为 f(x) asinx sin x xcosx (1 a)sin x xcosx 0, x (0,), 2所以函数”*)是0 -上的增函数.8分，2TT TT因为 f(0) a 0, f (-) 0,22TT.所以f (x)在(0,-)上只有一个零点.2由f(x)是偶函数可知，集合 Ax|f(x)0中元素的个数为2. 10分综上所述，当a 0时，集合Ax| f(x)0中元素的个数为0；当a 0时，集合A x|f(x) 0中元素的个数为1;当a 0时，集合A x| f(x) 0中元素的个数为2.(出)函数f(x)有3个极值点.13分