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1、常微分方程一、常微分方程解的概念通解：相互独立的未知常数的个数 二阶数常微分方程的解特解：未知常数确定其余解：既非通解，也非特解二、知识网络图y(x)变量可分离y(x)g(x)h(y)dyh(y)u 2y x(2)u(x)(u)xg(x)dxu,换元(x y), (xy), (-), (x2 y2) y线性y(x)P(x)yQ(x)Pdx(QePdxdx C)y1 ny(x)P(x)yQ(x)y n(伯努利)z(x) (1 n) P(x)z(1 n)Q(x)可 y(n)(x) f (x)p y,降 y(x)f(x, y)p(x)f(x, p)p y11y(x)f(y, y)p(y) - f (
2、y, p)常p微分方程y C1er1x C2er2x 2rxC2 sin x)齐次方程y py qy 0 r pr q 0 y (gx c?)ey e x(C1 cos x常二阶以上系数f (x) Fn(x)e xy* xkQn(x)e xl maxm,n*y线 y py qy f (x) f (x) e xFn(x)cos x Pm(x)sin xxke x Rl (x)cos x Sl(x)sinxn (n)n 1 (n 1)x yp1xy L pn 1xy, pny f(x/欧拉)x ety,(x) ety,(t),y,(x)e 2ty(t) y(t),L ,化为关于t的常系数线性方程乂
3、 k y2线 y p(x)y, q(x)y 0 y a% c2y2性 乂，丫2。3是丫 p(x)y q(x)yf(x)的特解解廿ky2 y3、构 y p(x)y, q(x)yf(x)的通解为 y C1(y1 、3)C2H2 y3) y1*y p(x)y q(x)y f(x) f?(x)、小 y例1.设方程例2.函数y(A)通解y - x2xc1e(B)C2三、典型例题In xx，则() y(Ci,C2为任意常数)是微分方程y特解(C)非解例3.求解下列微分方程:(1) xdy y 1x dx.解分离变量得dy两边积分得通解y x2xyln y ln2.y dxyx x2x x1 (1)dx,x
4、ln C解令y xxy2 udy两边积分得In u将u -代入得原方程的通解x(3) ycos(x解令xu 1 u2duarctanuy arctanL_ xxye2lny cosx2 y2 xy 2y(D)是解，但不是通解,Cxe x 02 dx或 xux11 u22 arctanue0 的-(D) 也不是特解.du-dxxy).du / 1dxsin x e解法一利用公式P解法二cosu ,utan- x2tan x cosx,sinx代入求解公式P(x)dx y eQ(x)eP(x)dxdx Csin xxsinx dy sinxe (e cosx)y dx1sinx、I(ye )(x
5、C)sinx excosysin 2y解方程可化成dxdyxcosxsin 2x ,通解为xcos ydy esin 2yecos ydydysinyC e 2sin y(6)求方程2x3yy(2x2解法一方程可化成).dy dx作变量代换dudx2y代入得 dxy x3 dy dx2dx x27y生dx2 -dxe x3 dudx C21、 一 ，一.2u y代回得原方程的通解x解法二原方程是齐次方程，作变量代换lnuC .y/x即可化为变量可分离方程，解略.解dpp 丁，dy方程化为p解得C1, 1p2dp dy 1所以1 y C1 2C1dydx积分可得方程的通解C2 2 y 5y 6y
6、2x xe .解对应的齐次方程y5y 6y12, 23。因此齐次方程的通解为f (x)xe2x,代入原方程可得2是特征方程的单根,2Ax2A比较两端同次哥的系数得2A因此求得一个特解为从而原方程的通解为-2 y C1八 2 y C13y C1yCid dy dx ,C1的特征方程为C1e2xC2e3x5r6 。有两个实根因此应设原方程的特解为1,2AC1e2xC2e3x0。解得i,Bx Ax B e2x,2x e2x e八八1(9) y 2y 2y -e 2x cosx cos3x .解：对应齐次方程 y 2y 2y 0的特征方程为故齐次方程的通解为 Y ex C1 cosx C2 sin x
7、2r对非齐次项 f (x)中的第一部分1 xe cosx ,由于2i是方程的特征根，故设*xy1xe A1 cosx B1sin x ,对非齐次项f (x)中的第二部分*y2则可设非齐次方程的特解为y-ex cos3x 2A2 cos3xxex A1 cosxB2 sin 3xB1 sin xex1 3i不是特征根，故设A2 cosx B2sin3x* . . . . 将y及其一、二阶导数代入原方程，比较系数得，A2A B1B20。故原方程的通解为：yex C1 cosxC2 sin x1 xex sin x4-ex cos3x .16(10)3x2 2xe y dx2 22 y3y x e解
8、这是全微分方程，可采用分组组合凑微法由原方程可得故所以原方程的通通解为0 y2 y32xe dx x e dy 3x dx,2d x e3x3y2dy 0, 0,例4.反求下列微分方程：(1)求具有特解yi ex,y2 2xe x, y3 3ex的三阶常系数线性齐次微分方程.解由特解形式可知，其相应特征方程的根为r1 r21, r3 1则特征方程为(r 1)2(r 1) r3 r2 r 1 0,故所求方程为 y y y y 0.(2)若y xex e2x, y2 xex e x, y3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次微分方程的 三个解，求该微分方程.x2x斛y1 y3e ,(y1y2
9、)(y1 y3) e则其相应的齐次万程为y y 2y 0,将 y1代入 yy 2yf (x),得 y y2y (1 2x)ex.例5.若y e2x (x 1)ex是方程y ay by cex的解，求a,b, c及该方程通解.解法一将y e2x (x 1)ex代入原方程比较系数得 a 3, b 2, c 1 .解法二由方程非齐次项知非齐次解中只会出现ex,则y e2x必为齐次的解，若xex是齐次解，则1为特征方程的二重根，于是y ex为齐次的解，则齐次方程的特征方程为(r 1)(r 2) 0,齐次方程为y 3y 2y 0,2是a 3, b 2,将y xex代入方程y3y 2y cex,得 c 1
10、故所求方程的通解为例 6.设 f (x) =sin x解f(x)xy cex(x0 x2x xc2exet)f(t)dt,其中f (x)为连续函数.求 f(x).sinxx 0 f (t)dtx0tf(t)dt,f (x) cosxf (x)设 f (x)sin x f(x)f (x),则 f (x) f(x)sin x ,且 f (0)x0 f (t)dt ,0, f (0) 1sin x的通解为 f (x) C1 cos x C2sin x将其特解x(acosx bsinx)代入f 则原方程的通解为f (x) C1 cosx(x) f (x) sin x ,得C2 sin x (xcosx
11、)/2 .x(acosx bsinx), a 1/2, b 0,由 f (0)0和f(0) 1可得，C10,C2例7.设f(x)在R上有定义，且1/2,则 f(x)f x f y1 f x f y(sinxcosx)/2.其中0存在,解令y0,有 f 00,f x yf xlimy 0ylimlimy 01 f x f y y 0解得arctan f x f0xC,由f0 0,得所求函数为1f2例8.设y y x在内具有二阶导数，且y 0,x x ytan 是yy x的反函数,d(1)试将x x y所满足的注 y dy2(2)求变换后的微分方程满足初始条件sin x(dx)20.y0变换为y0
12、32的解.x满足的微分方程;2、，dx 1 . r d x解(1) 一 一，则一Q dy y dy(2)设该方程的通解为 yy2 yC1exdx dy代入原方程得ysin x将其特解Acosx Bsinx代入方程，得1则其通斛为y C1e C2e sin x ;C2e x a 0, ba cosx1/2,bsin x,由 y 00, y 03，得y四、差分方程(仅数三要求)1、一阶常系数线性齐次差分方程yt i ayt 0,通解为yc(t) C ( a)t,2、一阶常系数线性非齐次差分方程 yt i ayt f(t), 通解为yt y/t) yt.其中yt是非齐次差分方程的特解.1)f(t)
13、Pm(t),(1)若 a 1,令 ytQm(t);(2)若 a 1,令 yttQm(t);2)f(t) dt Pm(t), (d 0)(1)若 ad0,令ytdtQm(t);(2)若 ad0,令yttdt Qm(t);例1差分方程2 yti 10 yt 5t 0的通解为二 一、一，一，,5解：原方程的一般形式为yt 1 5yt 5t,2其对应的齐次差分方程为yt 1 5yt0,其通解为yc(t) C( 5)t(C为任意常数)一一. 5.因f(t) t是t的一次多项式，且a 51,2 . *故设原方程的特解为 ytAt B ,56B -t.25 一代入原万程，得 A(t 1) B 5(At B)
14、 t,即6At A 2比较系数知A -, B-,故yt (t ),12721266)t 5从而原差分方程的通解为 yt yc(t) yt C( 5)t (t 12例2差分方程yt 1yt t 2t的通解为解：原方程对应的齐次差分方程为yt 1 yt 0,其通解为yc(t) C(1)t C(C为任意常数)因为 f(t) t 2t，且 a d 12 10,故设原方程的特解为yt* 2t(At B),代入原方程，得 2t 1A(t 1) B 2t(At B) 12t即At 2A B t.比较系数知 A 1,B2,故yt2t(t 2),从而原差分方程的通解为yt yc(t) yt C 2t (t 2)
15、.1.微分方程xy四、课后练习0满足初始条件v(1) 2的特解为xy 2 .2.微分方程2 xy1 oy 1 x 的通斛为 arctan y x x C . x3.微分方程xy4.微分方程dydx2，xy的通解为x M C .-(-)3满足Vx1 1的特解为y二2 x, 1 ln x5.微分方程(yx3)dx 2xdy 0 满足6 13x 1的特解为yx，xx 1556.微分方程xy7.微分方程(x八. 一小 11,12y xlnx满足y一的解为y -xlnx - x.939sin y)dy tan ydx 0 的通解为 x -sin y C cscy .28.方程(x1)y y ln(x 1
16、)的通解为 y (x 1 C1)ln(1x) 2x C2.9 .二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y210 . y y x 1 sin x的特解形式可设为11 .欧拉方程 x21.设 f(x)连续，且 o f(tx)dt 2f (x) x， -d-y 4xdy 2y 0(x dx2 dx3y 2e2x 的通解为 y Gex C2e3x 2e2,_,G c2 0)的通解为y * -1. x2y ax bx c x(Asin x B cosx).12.函数y Cex C2e2x xex满足的一个微分方程是y y 2 y 3ex.13.以 yxCeC2 cos2x C3 sin 2x为通解的一个微分
17、方程是 y y 4y 4y 0.14.设 yx有两个解y1x , y2x ,C为任意常数，则该方程通解是(B)(A)C V1y2Viy2 x(C)C y1y2(D) y xViy2 x15.若 y1ex, V2cos x 为 y R(x)yP2(x)y 0的两个解，则R(x) F2(x) .16.微分方程y(xV2)y满足初始条件y(1)2 o1y (1) 1的特解为y x2-3317.方程2yyV(0)22y y1，V(0)的特解为13x18.若连续函数f x满足19.设f (x)连续，且f (x)xsin xf - 3xt020.设f (x)连续，且满足0 fdt = xx0tf(x2x3x2 xe ，则 f x 3e 2e .1 2f (t)dt ,则 f (x) - x cosx 4t)dt,则 f(x)空.3 xsin x .4.1则 f(x)-x.322.用变量代换x COSt(0 t则其满足y1，y)化简微分方程(1 x2)y xy y 0, 2的特解为y 2x 由 x2.1