《最新1227-平面及其方程汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新1227-平面及其方程汇总.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、20131227-平面及其方程精品资料平面及其方程本节将利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将推导几种由不同 条件所确定的平面的方程.1.平面的点法式方程若一个非零向量n垂直于平面 ，则称向量n为平面 的一个法向量.显然，若n是平面 的一个法向量，则 n (为任意非零实数)都是 的法向量.由立体几何知识知道，过一个定点 M o(xo, yo, zo)且垂直于一个非零向量n = A, B, C有且只 有一个平面 .下面推导平面的方程.设M(x, y, z)为平面 上的任一点，由于n ，因此n MM.由两向量垂直的充要条件，得MoM x xo, y yo, z z。n=A,
2、B, C仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7所以由公式(6-io)可得(6-14)A(x xo) B(y yo) C(z zo) o.由于平面上任意一点M(x, y,z)都满足方程(6-14),而不在平面上的点都不满足方程(6-14),因此方程(6-14)就是平面的方程.由于方程(6-14)是给定点Mo(xo, yo, zo)和法向量n = A, B, C所确定的，因而称式(6-14)叫 做平面的点法式方程.例1求通过点Mo(1, 2, 4)且垂直于向量n =3,2,1的平面方程.解 由于n=3,2, 1为所求平面的一个法向量，平面又过点Mo(1,2, 4),所以，由平面的点法式方程(
3、6-14)可得所求平面的方程为整理，得3x 2y z 11 0 .例2求通过点M0( 1, 2,3)且与xOy平面平行的平面方程.解 显然k =0, 0, 1为所求平面的一个法向量,因此所求平面的方程为0 (x 1) 0 (y2) 1 (z 3)=0 ,z 3 0.练习：若点A(2,0, 1)在平面 上的投影为B( 2,5,1),求平面的方程.2.平面的截距式方程例 3 求过三点 A(a, 0, 0) , B(0, b, 0),解 所求平面的法向量必定同时垂直于C(0, 0, c) (abc 0)的平面 的方程.因此可取点与tC该平面的一个法向量n .即由于AB a, b, 0 , aC a,
4、 0, c,因此n AB AC (bc, ac, ab)因此所求平面的方程为bc(x a) ac( y 0) ab(z 0) 0,化简得bcx acy abz abc .由于abc 0 ,将两边同除以abc,得该平面的方程为(6-15)x _y _zabc此例中的A、B、C三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量a, b, c分别叫做该平面在x轴，y轴和z轴上的截距，方程(6-15)称平面 的截距式方程.注 利用截距式方程，为画不过原点的平面图象提供了极为便利的方法：只需找出平面与各坐标轴的交点，连结这三个点即为该平面，如图 6-17所示.图 6-173.平面的一般式方程展开平
5、面的点法式方程(6-14),得Ax By Cz (Ax0 By0 Cz0) 0 ,设 D(Axo Byo Cz。)，则Ax By Cz D 0 (A, B, C 不全为零).(6-16)即任意一个平面的方程都是x, y, z的一次方程.反过来，任意一个 含有x, y, z的一次方程(6-16)都表示一个平面.事实上，设Mo(x。，y。, z。)是满足方程(6-16)的一组解，则Ax0 By0 Cz0 D 0 .(6-17)式(6-16)减去式(6-17),得A(x x) B(y y) C(z z0) 0 .(6-18)由(6-18)可决定一非零向量n =A, B, C,它与向量 MMx %,
6、y y0, z 为 垂直，其中 M0(x0, y, z) , M(x, y, z).而M0为一固定点，M为任一点.因此平面(6-16)上任一点M与 M0的连线均与n垂直，即方程(6-16)表示一个平面.我们称方程(6-16)为平面的一般式方程.其中A, B, C为该平面的一个法向量.例4求过两点A(3, 0,2) , B( 1, 2, 4)且与x轴平行的平面方程.解 要求出平面的方程，关键要找出平面所过的一个点以及平面的一个法向量n.由已知，所求平面的法向量同时与 点和x轴垂直.即法向量同时与 aB 4, 2, 6和 i =1, 0, 0垂直.因此，可取aB i作为该平面的一个法向量.n AB
7、 i (0,6, 2)所以门=0, 6, 2为所求平面的一个法向量.再由平面的点法式方程(6-14)得所求平面的方程为0 (x 3) 6(y 0) 2(z 2) 0 , 整理得3yz 2 0.练习：1.求过点 M 1(2,-1,4) , M2(-1,3,-2) , M3(0,2,3)的平面方程。2.求过点M 1(1,-1,2) , M2(-1,0,3)且平行于z轴的平面方程。3.求经过点&3,2,1)和8( 1,2, 3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程.6.4.2 两平面间的关系我们知道，两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交.下面根据两个平面的方程来讨论它们之间的位置关系.设有两
8、个平面1与2,它们的方程为1： Ax B1y GzD10 （A1, B1, C1 不同时为零），2：A?xB2y C2zD20 （A2,B2,C2不同时为零）,则它们的法向量分别为n1 A, B1, C1和n2 A2, B2, C2 .两平面平行nj/n2A区立区.A2B2 C2D2两平面重合C1A2 B2 C2D2两平面相交A, B1, C1 与 A2, B2, C2不成比例.精品资料当两平面相交时，把它们的夹角定义为其法向量的夹角 S, n2）,且规定0特别地，当1cos cos. n1, n2| n n2 |11n2 I| A1A2B,B2 C1C2|C12(6-19)A1A2B1B2C
9、1C20.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9反之亦然，所以例5 :设平面的方程分别为x2y 2z 10, x解：平面和的法向量分别为ni(1, 2,2),电cosA n2n31 ( 1) ( 2) 112 ( 2)2 22, ,、2,2-2.(1)10A1A2B1B2求平面(1,1,0),平面C1C20.和的夹角的夹角余弦为(6-20)045练习：已知两平面 ：mx 7y6z 24 0与平面:2x 3my11z190相互垂直，求6.4.3 点到平面的距离在空间直角坐标系中，设点M （x。，y。，z。），平面：AxByCzD 0(A, B, C不全为| Axo By。 Cz。 D|(
10、6-21)零），可以证明点M到平面的距离为A2B2 C21 一一一例6求点P（2, 0, 一）到平面 ：4x 4y 2z 17 2解 由点到平面的距离公式得1 |2 4 0 ( 4) ( 2)2 17|,42 ( 4)22224 4.6精品资料练习：已知点A在z轴上且到平面：4x 2y 7z 14 0的距离为7,求点A的坐标.例7求两个平行平面x y 3z 1 0与x y 3z 5 0间的距离.解在一个平面x y 3z0上任取一点,如取点P( 1, 0, 0),则P点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离.所以I 1 1 5|12( 1)2326L 2 而.,n 11例8:已知原点到平面 的距
11、离为120,且 在三个坐标轴上的截距之比为2:6:5,求 的 方程.解：设截距的比例系数为k ,则该平面的截距式方程为上上二 12k 6k 5k化成一般式为 15x 5y 6z 30 k 0又因点O 0,0,0到平面 的距离为120,则有30k1120.15 25262求出k 4 286所以，所求平面方程为15x 5y 6z 120.286 0练习：1.已知点.A在z轴上且到点B(0, 2,1)与到平面:6x 2y 3z 9的距离相等，求点A的坐 标。2.求到两平面：3x y 2z 6 0和人工1距离相等的点的轨迹方程. 25 1课堂练习：1 .求过点A(3, 0,2)且与平面3x y 4z
12、10 0平行的平面方程.2 .求过点A(3, 1,1), B(1, 1, 0月平行于向量a = 1, 0, 2的平面方程.3 .求过x轴和点(1, 2,1)的平面方程.4 .求通过y轴且垂直于平面2x y z 5 0平面方程.5 .求过三点 A(1, 1, 2), B(3, 0, 2), C(0,3, 5)的平面方程.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7精品资料6 .求过点（1, 1,1）且在三个坐标轴的正方向上截得相等的线段的平面方程.7 .指出下列平面对坐标轴位置的特点:仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11(1) 2x 3y z 0 ;(2) 6y z 1 0; y 5 0；8.设平面Ax 2y z 10与平面3x By 2z 9 0平行，试求 A和B的值.9.求平面x y &z 50与yOz平面的夹角.10 .计算距离: (1)点(3, 1, 0)到平面 4x y 2d2z 4 0 ;原点到平面15x 10y 6z 190 0;平行平面 11x 2y 10z 25 0与 11x 2y 10z 20 0 .