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1、万有引力定律考题的分类解析湖北省枝江市一中 陈宏 作为中学唯一涉及并用于讨论天体运动问题的万有引力定律，是高考的一个重点内容。诚然，万有引力定律知识点不多，但是，需要用这个定律处理的习题题型多、综合性强，学生处理这类问题时感到困难。为了帮助学生掌握万有引力定律的解题方法，本文结合近几年的高考题谈谈处理这类问题的基本方法，并对这类试题进行分类解析。一、讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况。 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G。所以重力加速度g= G，可见，g随h的增大而减小。例1：设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g
2、,，则g/g,为A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。解析：因为g= G,g, = G,所以g/g,=1/16,即D选项正确。二、求天体的质量。通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。例2：已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.491011m, 公转的周期T=3.16107s,求太阳的质量M。解析：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： G=mr(2/T)2 M=42r3/GT2=1.96 1030kg.例3： 宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地
3、点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。（98年高考试题）解析：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有 x2+h2=L2 (1)由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得 （2x）2+h2=(L)2 (2)设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得： h=gt2 (3)由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G (4)联立（1）、（2）、（3）、（4）式解得M=。三、求卫星的高度。通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的
4、半径R可以求出卫星的高度。例4：已知地球半径约为R=6.4106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约为 m.(结果只保留一位有效数字)（97年高考试题）。解析：因为mg= G，而G=mr(2/T)2 所以，r= =4108m.例5：已知地球的半径为R，自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，在赤道上空一颗相对地球静止的同步卫星离地面的高度是 （用以上三个量表示）（90年上海高考试题）解析：因为mg= G，而G=m（R+h）2 所以，h=-R.例6：地球的同步卫星离地心的距离r可由r3=求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s,c的单位是m/s2,则A、a
5、是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度。B、a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度。C、a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度。D、a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度。（99年高考试题）显然，选项（A、D）正确。四、计算天体的平均密度。通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度。例7：如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?解析：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G=mR, 所以，M=而恒星的体积V=R3
6、，所以恒星的密度=。例8：一均匀球体以角速度绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？解析：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则G=m02R, 所以，02=G。由于0得2G，则，即此球的最小密度为。五、求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由G=m得V=由G= mr(2/T)2得T=2。由G= mr2得=由Ek=mv2=G。例9：两颗人造地球卫星都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比=2,则它们的动能之比等于A、2； B、； C、； D、4 （92年高考试题）显然选项（C）正确。例10：两颗人
7、造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：A、RA：RB=4：1；VA：VB=1：2。B、RA：RB=4：1；VA：VB=2：1C、RA：RB=1：4；VA：VB=1：2。D、RA：RB=1：4；VA：VB=2：1（95年高考试题）显然选项（D）正确。六、推导恒量关系式。例11：行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：T2是一个常量，即对任何行星都相同。证明：因为行星的质量M=（R是行星的半径），行星的体积V=R3，所以行星的平均密度=，即T2=，是一个常量，对任何行星都相同。例12：设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。证明：由G= mr(2/T)2得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。