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1、多维随机变量及其概率分布作者:日期:第三章多维随机变量及其概率分布【内容提要】-、二维随机变量及其分布函数【定义】设X X( ),Y Y()是定义于随机试验 E的样本空间上的两个随机变量， 则称(X,Y)为二维随机变量，称 F(x,y) P X( ) x,Y( ) y为其联合分布函数，而称：F1(x) P X( ) x 及F2(y) P Y( ) y分别为X,Y的边缘分布函数。二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x, y)具有如下性质：.非负性：x,y R,有 0 F(x,y) 1 ;.规范性：x,y R,有 F(x, ) F( ,y) 0,F( ,) 1 ;.单调性：当x(或y)固定不变
2、时，F (x, y)是y(或x)的单增函数；.右连续性：x, y R,有 F(x 0, y 0) F(x, y)；.相容性：x, y R,有 F(x, ) Fi(x),F(, y) Fz(y);.特殊概率：若x1 x2 , y1 y2，则P(xi X x2,yi Y y) F(x2,y2) F(x1，y2) Fd,%) F(x1，yi) 0。、二维离散型随机变量1 .二维离散型随机变量及其概率分布律若二维随机变量(X,Y)的一切可能取值为离散值(xi*)Ri, 2,其中i,j 1,2,.,且取到这些值的概率 p(xi,yj) P(X xi,Y yj) 0,i, j 1,2,.满足 p(K,yj
3、) 1,则称(X,Y)为 1 i,j二维离散型随机变量，而称p(xi,yj) i, j 1为其联合概率分布律，记为：(X,Y)p(xi,yj),i,j 1,2,.。.X,Y的边缘概率分布律：X NP1(X)P(Xxi)p(xi,yj),Y“P2(yj)P(Yyi)p(xi, yj);.X,Y的条件概率分布律：YX x NpYX(yj/xi)p(x,yj)p1(x)XYyj N pX. Y (xi/ Yj )P(xi,Yj);P2(yj).X与Y的相互独立7y1y2ynP(X)Xip(Xi, y1)P(Xi, y2)p(X1,yn)Pi(Xi)x2p(x2, y1)p(x2, y2)p(X2,y
4、n)Pi(X2)xmp(Xm, y1)p(Xm, 丫2)p(Xm, yn)Pl(Xm)P(Y)P2(Yi)p2(y2)p2(yn)12设D R为平面区域，则二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布函数及其取值落在D内的概率为F(x,y) PX x,Y yp(Xi,yj),P (X,Y) Dp(x,yj)。X x* y(xi * ) D.三项式分布：设n1为自然数，0p1 , p2p1p21为常数，则三项式分布的联合分布律为:P(X i,Y j)n! p1 p2(1 p1i!j!(n i j)!、n i jpJ一，其中0i, j i j2 .常用二维离散型分布而其边缘分布律、条件分布律为P(Xi)
5、0i jn i jn!pp2(1 pp2)n i i! j !(n i j)!C；p1(1n i5)P(Yj)0n!p；p2(1 p1p2)n i ji! j!(n i j)!Cnjp2(1n j p2)P(Yi)P(X i,Y j)P(X i)i p12 (1P12)np12q 1,1 p1P(XiYj)P(X i,Y j)P(Y j)cnj p21 (1p/ i j，其中P21且1。1 p2.二维超几何分布:设 1 n,M1,M2N为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为P(X i,Y j)i j n i jCMi CM2CN Mi M2CnCN，其中 0 i,j i j n;而其边缘分布
6、律、条件分布律为:i j n i jCMiCM2CN MiM2i n iCMiCN MiCNCNP(Yj)0i j n i jCM1CM2CN M1 M2j n jCM2CN M2CNP(Yi)P(X i,Y j)P(X i)j n i jCM2CN M1 M2n iCN M1P(Xi.Yj)P(X i,Y j)P(Y j)i n iCM1CN Mn jCN M.1 M2.二维Poisson 分布:设1, 20为常数，则二维Poisson分布的联合分布律为：2)P(X i,Yj)j!(i j)!0,其它而其边缘分布律、条件分布律为：P(Xi)0j!(i j)!i!2)i e( 1e2)P(Yj
7、)2)P(YjXi)P(Xi/Yj)j!(i j)!e 1 j!三、二维连续型随机变量P(X i,YP(X i)j)CijP1j(1 p)Pi1,12P(X i,Y j)P(Y j)2e (i j)!1.二维连续型随机变量及其概率密度函数若二维随机变量(X,Y)的一切可能取值充满了某一平面区域,且存在一个函数p(x, y) 0，使其联合分布函数可表为 F(x,y) P X x,Y yp(u,v)dudv ,且 p(x,y)dxdy 1,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，而称p(x,y)为其联合密度函数，记为(X,Y)| p(x, y)。设D R2为平面区域，则二维连续型随机变量(X,Y)的联
8、合分布函数、联合密度函数满足:F(x, y) P X x,Yy2Fp(u, v)dudv , p(x, y) ，而(X,Y)的取值洛在 Dx y内的概率为P (X,Y)p(x, y)dxdy。2.常用二维连续型分布.均匀U (D):1,右(x, y) Dp(x, y) S(D)，其中 0 S(D)0, 若(x, y) D平面区域D的面积;.二维指数分布e(r,):二维指数分布的联合分布为F(x, y)e y e(x yr xy),若x,y 0p(x, y)其中1, 20,2F0,其它X Fi(x) F(x,YFz(y) F(1 r1为常数,0,y)YX xg(x,y)XY yPxY(x, y)
9、.二维分布：其联合密度、x)(1 r y) r e ( x y r而其边缘分布及条件分布为0,p(x, y)R(x)p(x, y)p2(y)xy),若x,y其它其它y,若x其它0,0,(1(10,Pi(x)0,p2(y)r x)(1 rr x)(1 r边缘密度及条件密度分别为y(X,Y)Np(x,y) ()1-(x y) 1eFi(x)Fz(y)(其中0,其它0,其它0,y)y)其它y(ix(1x)y),若x,y其它,若x,y其它0均为常数x N P1(x)p(x, y)dy0,y N P2(y)p(x, y)dxny0,若y 0XY yNPy x (x, y)p(x, y)p2(y)()(x
10、 y) 1e (x y),若0 y0,其它YX xNpYx(x，V)p(x, y)pi(x)11()y (x y)1()()x 10,其它.二维正态分布 N( 1, 2,r,2、.2):二维正态分布的联合密度为:p(x, y)一21一2 exP1 2 J r12(1 r2)(x1)2 2r(-12) (J22其中1, 2 ,r,2R为常数，且1,而1, 2 0,而其边缘分布及条件分布为X p Pi(x)c/ 51p(x, y)dy - exp(x1)22 12，即 XN N( 1, 12),y N P2(y) 1p(x,y)dx一 exp22(y 2)22 2,即 y| n( 2,Yx xpY
11、x(x,y)p(x, y)11(x21)Pi(x)2 (1 r2)-exp2222(1 r2);即YX x“N 2 Tx1),(1 r2) 2。1四、二维随机变量函数的分布设(X ,Y)为二维随机变量，而f (x, y)为连续的确定型函数。.若(X,Y)为离散型随机变量，且(X,Y)N p(xi,yj),i, j 1 ,则Z f(X,Y)的分布律为:z|g(Zk) P(Z zjp(x,yj)；f (不,yj) Zk.若(X,Y)为连续型随机变量，且 (X,Y)N p(x, y),则Z f (X,Y)的概率密度函数为：Z g(z) 7- P(Z z) 7- p(x,y)dxdy ; dzdz f
12、(x,y) z.若连续型随机变量 X1,X2,.,Xn独立,且具有相同的分布函数为F(x),将X1,X2,.,Xn按其取值由小到大的顺序重新排为X1X2Xn,称X/X2, ,Xn为X1,X2,.,Xn的顺序统计量,则第k个顺序统计量Xk的分布函数为(其中f (x) F(x)为Xk的密度，1 k n)Xku)n kdu，特别:k F(x) k 1Fk(x) kCn 0 U (1五、min Xk1 k nmaX Xk1 k n km维随机变量及其分布X1 (X)Xn Fn(x)n11 F(x)nF(x)【定义】设XkXk( ) , k 1,2,.,m是定义于随机试验E的样本空间上的m个随机变量，则
13、称P X1X1,X2 X2 ,., X mXm为其联合也可分离散型与连续型，也有边缘分布、条件X (Xi,X2，Xm)为m维随机变量，而称F(x)概率分布函数；m维随机变量X (Xi,X2,.,Xm)分布等概念。常用n维随机变量的分布有1 . m维多项式分布：设m,n 1为自然数，0p1 , p2,.,pmPiP2Pm 1为常数，则m维多项式分布的联合分布律为(其中0 X1 ,x2, , Xm X1X2Xmn为整数)：P(X1 X1,X2 X2,.,Xm Xm)nip/pmm(1Xi! X2! Xm!(nP2X1X2Pm)n为X2Xm)!其边缘分布律、条件分布律仍为多项式分布。2. m维超几彳
14、s；分布：设 1 m,n,M1，M2,., Mm M1 M2Mm N为自然数，则m维超几何分布的联合分布律为(其中0 X, X2, ,Xm X1 X2Xm n为整数)：D/X V V V C%X2Xmn % X2(人 1 内,人 2x2,., 人mxm),M1ZM2=Mm = N M1 M2XmnMm ： CN，其边缘分布律、条件分布律仍为超几何分布。3. m维均匀分布： 设D Rm为m维空间区域，且其体积0 V(D)，则D内m维均匀分布的联合密度为(其中0 X,X2, ,Xm X1 X2Xm n为整数)：i/V(D),若(Xi，X2，.,Xm)P(Xi,X2,.,Xm)若(?2，.劣)4.
15、m维正态分布：设(1,m .2,., m) R为m维常向量,j mm为正定矩阵，行列式，m维正态随机变量P(X)一 (2)meXp1-(X)1(X )，正态随机变量的边缘分布、 条件分布及其线2为对角阵。性变换仍服从正态分布，且 X1, X2,., Xm相互独立【第三章作业】1、现有1 0件产品，其中6件为正品，4件为次品，从中随机抽取两次产品，每次取一件，令1 ,若第一次取到正品1 ,若第二次取到正品X, Y,0 ,若第一次取到次品0 ,若第二次取到次品在放回抽样与不放回抽样下分别求（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。解：由题意知（X,Y）的联合分布律及边缘分布律分别为放回抽样场合不放回抽样
16、场合X01P(X)X01P(X)04/256/252六02/154152516/259/253/5141551535P(Y)2/53/51P(Y)2/53512、现有10件产品 淇中5件为一级品，2件为二级品，其余为废品，从中不放回地随机抽取 3件产品，用X,Y分别表示所取产品中的一、二级产品的数目，求（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。解：由题意知（X,Y）的联合分布律P（X i,Y j） C5c2c3 i j/C；0，其中0 i,j,i j 3 ,故其联合X101P(X)1/42/414Y01P(Y)1/212分布律及边缘分布律分别如下表所示：012P(X)01/1206/12031201
17、12115/12030/1205120512230/120201200512310/12000112P(Y)7/157/1511513、已知（X,Y）的边缘分布律如下，且P（XY 0） 1,求其联合分布律及 P（X Y） o解：由题意知（X,Y）的联合分布律如下表所示01P(X)11/401400122411/4014P(Y)1/2121且 P(X Y) P(X 0,Y 0) P(X 1,Y 1) 0。若x, y 0，求常数A、（X,Y）的边缘密度及 其它Ae （x 2y）4、设（X ,Y）的联合密度函数为f （x, y）0 ,概率 P(0 X 2,0 Y 3), P(X 2Y 1), P(X
18、 Y)。解：由联合密度函数的性质有：1f (x, y)dxdy A o e xdx o e 2ydy A2,故A 2,且ee x ,若x 0X(x) f(x,y)dy,0 ,若x 02 2e 2y ,若y 0Yf2(y) f(x,y)dx，0 , 若 y 0_2x3 2y23P(0 X 2,0 Y 3) 2 e dx e ydy (1 e )(1 e ) 0.86252 ,P(X 2Y 1) 2 e (x 2y)dxdy 2 ；dx ；1 x) 2e (x 2y)dy 1 2e 1 0.26424 , x 2y 1P(X Y) 2 e (x 2y)dxdy 2 0 dy :e (x 2y)dx
19、 1 2/3 1/3。 x y若0 x 1,0 y 2，求（X,Y）的边缘密度 其它x2 xy, 35、设（X,Y）的联合密度函数为 f（x, y）0 , 及概率 P（X0.5/Y 0.5）。2-22-x(3x 1),右0 x 1解：由题设知：X N f1(x)f (x, y)dy 31,1(y 2)丫5)0 f(x,y)dy 6，若0y 2P(X0.5,Y 0.5)6、设(X,Y)的联合密度为解：由题设知：x N f1(x)Y、f2(y)P(X 2,Y4)7、两人约定于某日的其它P(X 0.5,Y 0.5)P(Y 0.5)y e f(x, y)0 ,f (x, y)dyf (x,y)dx 0
20、 0y ye dy 2 dx0.5dx 0其它0.52(3x xy)dy 50 (y 2)dyo36y，求其边缘密度及概率 P(X 2,Y 4)。，e ydx2(ye ydyye2)e ydy(1y)e y2_4e 3e 0.08039。12:00至iJ 13:00在指定地点会面，约定先到者最多等候 20分钟，假设两人行动独立且在12:00到13:00内任一时刻到达指定地点的可能性相同，求他们能会面的概率。解：用X,Y分别表示两人到达指定地点的时间(从12:00算起的分钟数，则由题设知(X,Y)在平面区域D (x, y) 0 x, y 60上均匀分布，故其联合密度为f (x, y)1/3600
21、 ,若(x,y) D,从若(x,y) D而他们能会面的概率为 P(X Y 20)f (x, y)dxdy 1y 2040 2( 一 )2608、设X ,Y独立，且其边缘分布为 P(X1)P(Y1) 1/2,求(X,Y)的联合分布及P(X Y)、P(XY 1)、P(X Y 0)。解：由题设知(X,Y)的联合分布P(X i,Y j)P(Xi)P(Y j) 1/4，其中 i,j 1,且P(X Y) P(XY 1) P(X 1,Y 1)P(X1,Y1) 1/2,P(X Y 0) P(X 1,Y1) P(X1,Y1) 1/2。9、设 X1,X2,X3,X4相互独立，且其边缘分布为P(Xi 0) 0.6,
22、P(Xi 1) 0.4,i 1,2,3,4，求行列式XXiX2X3X4的分布。解：令 P(XiX2X3X4)P(Xi Xi, X2 x2,X3 x3, X4 Md)P(Xi 1 i 4xi),则由题设知P(X1)P(X1)P(X0)X1X4p(1110)p(1101)P(X1 0、设(X,Y)在区域X2X3有3个可能的取值0,p(0110)p(1001)1) P(X(x,y) 0 xp(0111) 0.62042 2 0.60430.1344 ,p(1011) 0.62 042 2 0.60430.1344,1)0.7312。2.0y 1上均匀分布，求随机变量2Y的联合分布。2Y解：由题设知(
23、U ,V)的联合分布为P(XY) 14若(i,j)(0.0)P()P(U i,V j)P(Y若(i,j)(0,1)P(XX 2Y)2Y)1.212、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)4xy解：由题设知其边缘密度为x|g(x)f (x, y) dy104xydy14,若(i,j),若(i,j)，若 0 x, y其它2x其它(1,0)(1,1)1,求其边缘密度。Yh(y)f (x,y)dx10 4xydx2y13、设 X,Y 独立，且 X NG(x)其它1,yN f2(y)Ae y ,若y，求常数A及随机000 ,其它变量Z 2X Y的概率密度。解：由题设知A 1,而Z 2X Y的概率密度g(t
24、)为:g(t) dx)f2(y)dxdy二dt 2x y tdtt 2xfi(x)dxf2(y)dyf1(x)f2(t 2x)dx1t1 t v 1 tf2(t 2x)dxf2(y)dye dy (1 e )O t 20O若0 t 2。- e ydy -(e2 t e b ,若t 22 t2 214、.常数A, B,C;.(X,Y)的联合密度及边缘密.P(X 3),P(Y 4), P(X 3,Y 4);.判断X,Y是否相互独立。解：.由联合分布函数的性质知，常数 A, B,C满足:0 F(x, ) A(C2) B arctan(x 3)0 F( ,y) A(B. 2) C arctan(y.
25、4)1八A J2,B C-1xyF (x, y) (- arctan-)( arctan)1 F( ,) A(B.,2)(C.2)f (x, y)2f.（X,Y）的联合密度及边缘分布、边缘密度分别为1222 Z 2(x 9)(y16),x, y 0；Fi(x)F(x,1(2arctan -) , f1(x) F1(x) 33(x 9)F2(y)F(,y)1(2y、 ， 、 ， 、4arctan-) , fz(y)F2H)/ 2 4(y 16)P(X3)Fi1(2arctani).P(Y4)F21(aarctani)P(X3,Y4)F(3,4)9 arctan1)( arctan1) 216.由
26、于f (x, y)fi(x) f2(y)122(x2 9)( y216)，故X ,Y相互独立。15、设（X,Y）的联合分布函数为F(x, y)0.5x e0.5y e0.5(xy),若x,y 0，求其它.（X ,Y）的联合密度及边缘密度；.（X,Y）的边缘分布;.判断X,Y是否相互独立；.P(X 100,Y 100)。解：由题设知：(1). F1(x)F(x,)1 e0.5x,F2(y)F(,y)0.5y-e , x, y 0；。f (x, y) Fxy0.25e 0.5(x y), f1(x)0.5x0.5yE(x) 0.5e, f2(y)F2(y) 0.5e, x,y 0;.由于f (x,
27、y)x)f2(y)0.25e 0.5(x y),故 X,Y 相互独立；.P(X 100,Y100)1 F1(100) 1 F2(100)e100_ 443.72 10 。16、设X,Y相互独立，且 X N83）,Y |e（4）,求.P(X 1,Y 1);.（X,Y）的联合密度及边缘密度；.P (X ,Y) D ,其中 D (x, y) 3x 4y 3,x, y解：由题设知：(3x 4y)3x4 y.f(x, y) 12e, f1(x) 3e , fz(y) 4e.P(X 1,Y1)(1e3)(1e4)0.93281 ;.P (X,Y)f(x,y)dxdy112 dx0.3(1 40x) (3x
28、 4y)3e dy 1 4e0.80085。17、设 P(X 0,Y0)37,P(X 0)P(Y0)4十D，求P7max(X ,Y)0 及P min(X,Y)解：由题设知：P(X0,Y0)37P2P(X0,Y0)P(X 0) P(X0,Y 0)P3P(X0,Y0)P(Y 0) P(X0,Y 0)17，故17P4P(X0,Y0)1 (PiP2P3)P max(X,Y)PiP2 P35 7, Pmin(X,Y)0P2P3P4 47。1 8、设（X,Y）的联合密度为f (x, y)3x ,其它1，求Z XY的密度函数。解：由题设知Z XY的分布函数与密度函数分别为:G(t) P(X Yt)xf (x, y)dxdyy tdyf(x, y)dx,g(t) G (t)f(t3 y, y)dyt(ty)dy323(1t) ,右t(0,1)o若t (0,1)i, j 1,恒有 P(xi, yj) P1(xi)p2(yj) o二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示X(X1,X2,.,Xm)在 X (X1, X2,., Xm)Rm 处的联合密度为：