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1、12.3.1 角平分线的性质,一、学习目标 1. 会利用三角形全等知识探索、猜想、证明角平分线的性质 . 2. 会用尺规作已知角的平分线及运用角平分线的性质解决相关问题.,二、重点与难点 重点: 角平分线画法和性质及应用. 难点: 文字证明题的一般步骤.,在平分角的仪器中, 相等的线段 是 _ 和 _.,三、自主学习,阅读 P48 课文, 思考下列问题.,C,E,1,2,AB=AD,CB=CD,2. ABCADC 的依据 是 _ .,SSS,3. 由全等的性质, 进而推出 _ . 即AE平分BAD.,1=2,你能根据上述平分角的仪器得出尺规作图: 作一个角的角平分线的方法吗？,探究(一),1.
2、 将纸片上的角按下列的要求进行折叠,(1) 将AOB对折, 使OA与OB重合, 则折痕OC 就是它的_.,你能说明其中的道理吗？, PD=PE,角平分线,(2) 再折出一个直角三角形, 打开完原后折痕为 PD和PE, 则它们的大小关系是_.,A,O,B,C,O,B(A),C,A,E,B,D,P,PD=PE,OPDOPE ( ),AAS,1,2,探究(二),作法: (1) 以O为圆心, 适当长为半径作弧, 交OA于M, 交OB于N;,已知: AOB,求作: AOB的平分线,A,O,B,M,N,(2) 分别以M、N为圆心, 大于 MN的长为半径作弧, 两弧在AOB的内部交于点C.,C,(3) 作射
3、线OC. 则射线OC即为所求的角平分线.,理由: 由作法(1)和(2)得 _, _.,OM=ON,CM=CN,OMCONC ( ),SSS,AOC=BOC ( ),全等对应角相等,已知: OC平分AOB, 点P在OC上, PDOA 于点D, PEOB于点E.,求证: PD=PE,证明: OC平分AOB 1=2,试写出完整的证明过程,OPDOPE(AAS) PD=PE,在OPD和OPE中 1 =2 PDO=PEO OP= OP (公共边),又 PDOA, PEOB PDO=PEO= 90,2. 从上面的实验中, 你能得到什么结论?,角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离_.,3.
4、 这个定理的题设和结论分别是什么? 怎样用 几何符号语言表示这个定理?,相等,题设: _ _.,结论: _.,点在角平分线上,点到角两边距离,垂直距离相等,表示:,1=2 且 PEOB, PFOA, PE= PF,定理的作用: _ .,证明线段相等,四、课堂演练,求证： EB= CF,1. 如图, 在ABC中, C= 90, AD是BAC的平分线, DEAB 于E, F在AC上, BD=DF.,证明: AD平分BAC且 C= 90 , DEAB, DE= DF, RtDEBRtDCF ( HL ) EB = CF ( 全等对应边相等 ),在RtDEB和RtDCF中 BD= DF (已知) DE
5、= DF (已证),证明: 过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BP平分ABC（已知） PD=PE（角平分线上的点 到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等,结论: 三角形的角平分线的交点到三边的距离相等.,这个交点叫三角形的内心.,2. 已知: ABC的角平分线BP、CP相交于点P. 求证: 点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,E,F,D,五、小结提高,本节课我们学习了哪些内容?,1. 角平分线画法和性质及应用.,2. 文字证明题的一般步骤:,六、布置作业 习题 P51 第 2、5 题,(1) 明确命题中的已知和求证,(2) 根据题意, 画出图形, 并用数学符号写出 的已知和求证.,(3) 经过分析, 找出由已知推出要证的结论的 途径, 写出证明过程.,