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1、EX2算符2.1 证明下列常用公式(陈玉辉解答 项鹏核对)(1) A, BC BA,C A,BC证明： A,BC ABC BCA BAC BCA ABC BAC B AC CA AB BAC BA,C A, BC(2) AB,C AB,C A,CB 证明： AB,C ABC CABABC ACB ACB CAB ABC CB AC CAB AB,C A,CB2.2 若算符B与A,B对易，证明：(陈玉辉解答 项鹏核对)A,Bn nBn 1A,B证明：A,Bn A, B Bn 1 A, BBn 1 BA, Bn 1将n换成(n-1),就有re - n 1 _ pa _ _ _ n 2 rrc _
2、n 2 _A,B A,BB BA, B A, Bn A, BBn1 ABBn1 B2A, Bn 2 2A, BBn1 B2A,Bn2重复这种递推过程(n-1)次，即得A,Bn (n 1)A,BBn1 Bn 1A,Bn (n 1)_ _ n 1_ n 1_(n 1)A, BB B A,BnBn 1A,B#练习2.3证明：(输入人：杜花伟核对人：王俊美)(1)若A有逆，aw0,则aA也有逆，且(aA) 1 -A1； a(2)若A,B都有逆，则AB也有逆,且(AB) 1 B 1A 1 ;(3) (A B) 1 A11 B(A B) 1;(4) (A B) 1 A 1 A 1BA 12A 1BA 1B
3、A 1.( 为复数)；证明：(1)若A有逆，aw0,满足AA1 1,aa 1 1,则aAa 1A 1 aa 1AA 11-1-所以aA有逆，且(aA) 1 -A 1. a(2)若A,B都有逆，满足AA 1 1,BB 1 1,则ABB 1A 1 AA 11所以AB有逆，且(AB) 1 B 1A 1.(3)1(A B) 1A1A(A B) 111A1A(A B) 1 11A1( A B B)(A B) 1A1( A B)(A B) 1 B(A B) 1A11 B(A B) 1(4)由于(1) 1 (x极小，即x-0时)展为级数：(1)1123(A B) 1_11A(1 BA )故(A 1(1 BA
4、 1)A 1(1 BA 12BA 1BA 1)A 1 A 1BA 12 A 1BA 1BA 1#2.4 若线性算符A有逆，|仙 (i=1,2,3,，n)是A的有限维的定义域 的中的一组完全集。证明在 A的值域中A|小也是一组完全集，从而证明值域 的维数与定义域相同。证明：已知A为可逆算符得AA 1 A 1A 1| 小 (i=1,2,3,，n)是A的有限维的定义域中的一组完全集A |甲=|然定义域| 11 为n维的假设值域| 不是一组完全集，那么值域中的每一个| 在定义域中有且只 有一个| N 所以的| W 为数肯定小于n。又因为A算符是可逆的，所以得A-1 | =| 卜定义域| 维数小于n的那
5、么不论|小 是否为完全集都应该小于或等于 n维的。这样的话|仙 的维数与题目相矛盾由此得之A的值域中A|小也是一组完全集，而值域的维数与定义域相同。练习2.5有逆算符A的定义域是有限维的，若已知 AB 1,证明BA 1。证明：（何建贤解答 项朋核对）已知A是可逆算符，所以AA1 1和A1A 1又因为AB 1,即AB AA 1两边同时右乘得ABA AA 1A两边同时左乘A1得A 1ABA A1AA1A所以彳$ AB 1#练习2.6证明任何线性算符作用于零矢量| ）上，必得零矢量。证明：（高召习解答 孟祥海核对）设A为任意线性算符，由线性算符的性质得：A（|） （A|）令 0,由于|,0|0所以
6、A |0（A|）令A| |,所以A|0|0 0 |0#练习 2.7（2.7）式与（2.8）式还各有一个用 B,Ai型多重对易式表示的式子，试把它们求出来。（高召习解答 孟祥海核对）解：(1)由于B,ABB,AB, AB,A(2) B,A, AL L L L L L显然，对于B, A型多重对易式有B,A(i),A B,A(i 1)B,AA AB,AB,A(i1)即B, AA B,A(i1)AB,A(2)由于A(i), B B, A(i)n n且 AnB. A(i),BAn1i 1 i把(1)代入(2)得一 n nAnB. B,A(i)An 1i 1 in!i 1 (n i)!i!A，BAn(Dn
7、!(n i)!i!B, A(i)An#练习2.8试用数学归纳法证明：（陈玉辉解答 项鹏核对）nA,Bn Bn 1A, BBi 1 i 1证明：用数学归纳法，当n=1时原式成为A,B A,B原式显然成立；现设原式对 n成立，推出它对n+1也成立: A,Bn1A, B BnBA,Bn A,BBn nB Bn 1A,BBi 1 A, BBn i 1 nB(n 1) 1A, BBi 1 B(n 1) (n 1)A,BB(n 1) 1 i 1 n 1B(n 1) 1A,BBi 1这就证明了原式对n+1也成立，所以 nA,BnBn 1A, BBi 11 1#2.92.10 若算符A有逆，证明A的伴算符也有
8、逆，而且 i1A A 1证明：取一任意| )I) 1 ) AB ) A B )可见对于任意| ),确有|)存在，这个| )就是B )。若A| J A | 2)，用C作用在此式两边CA 1) CA 2) -11但此式就是I 1)I 2),所以A 存在，因此A的伴算符也有逆。又因A有逆，即AA 1 1贝U |)( AA1| ) ( | A1 A | )由于I ) (I )则 A1 A 1一411又因A有逆，所以A A1#2.11伴算符的定义式(2.24)或(|B ) (B I )可否改成对任意| )有：(|B ) (B | (许中平核对：田军龙)证明：取一任意| 都有(| B )( |B| )式中
9、的B是右矢空间的算符，此式右边的(|B|，的右矢)与左矢B B的内积，单用右矢空间的话说，就是右矢| )与右矢B| )的内积，在单一空间中，此式正是伴算符B的定义式，写成单一空间的形式就是：,B因此，（|B ） （B I ）可改成对任意| ）有：（|B ）（B | ）#练习2.12本节提到的由 |A ） 0断定A 0的定理对于实空间（即数乘中 的数是实数）是不成立的。试在三维位行空间（内积定义为标量积 X y）中举出 一个反例，证明此定理对实空间不成立。 （邱鸿广解答 田军龙审核）证明：在实空间中只要算符A为一个把矢量逆时针旋转90度的变换矩阵。则 当它作用到任何一个位行空间矢量上后再与原来的
10、矢量 点积都为零。但A不为零。所以不成立。01 0例：A 100001#2.13证明：若A,B是厄米算符，则当且仅当A,B对易时，算符AB才是厄米 算符。（李泽超解答 董廷旭核对）证明： 充分性：A,B对易，则BA AB； A , B为厄米算符，则A A ,B B现任取一 1则：（ |AB ） （ B A |（ BA ）（ AB）即：（AB ）是实数。即：AB是厄米算符。必要性：A , B为厄米算符，则A A ,B B ; AB为厄米算符：则AB AB B A则：（AB ； A ABAB BA 0即：算符A与B对易。#2.14证明，有逆的等距算符是幺正算符。(李泽超解答 董廷旭核对)证明：设算
11、符A是等距算符，则：A A 1(1)由题意知算符A有逆，则：A 1A 12).(用A 1右乘式(1)得：A A 1(3)由(3)式得A为幺正算符。#练习2.15设H是厄米算符，U是幺正算符，A是任意算符，问下列算符是厄 米的还是幺正的？(孟祥海解答 高召习核对)1 iHU 1(D UHU (2) AHA,(3) eiH , (4), (5) i-1 iHU 1证明：(1)先证：UHU 1是否为厄米算符，对任意矢量| 有：|UHU 1 | U |H|U U |H |U|UHU | |UHU 1 |即得证。再证：UHU 1是否为幺正算符，由上可知，(UHU ) UHUWJ(UHU ) UHU UH
12、HU只有当H H 1时上式才为1,即只有当H H 1时UHU 1为幺正算符。(2)厄米性的证明： * *| A HA | A |H | A A |H | A| A HA |即得证。幺正性的证明：由(1)中幺正性的证明(一般性与特殊性的关系)可知，AHA亦不是幺正(3)公式：eiH1!2!H2, H3i 3!厄米性的证明:iHIeI i IH IIH I 为实数,所以i|H |为复数。可见eiH为非厄米算符。幺正性的证明:iH、 iH I(e ) e I(1iH H 2IT -2T,h3i3!)I。号号号)1!2!3!即(eiH) eiH 1,可见 eiH为幺正的。(4)厄米性的证明:IJHI1
13、 iHI(1 iH )(1I( 2iH 1I iH (1 iH )I iH (1 iH )1iH ) |iH )(11 iH ) |I(1IiH)(1 iH)1I由于I 是任意选取的,所以取复数。可得，LH为非厄米的。 1 iH幺正性的证明:由练习2.3 (4)的公式得,(1 iH ) 11iH H iH H 1所以，1I(ri(1I即HiHiH)1 iH(1 iH )IiH) (1 iH)I2 I H I为非幺正算符。1 iH(5)厄米性的证明：U 1若iU为厄米算符，则U 1I(i iUU 1i J|U_JU 1IU_JU 1，、一、一U 1 一 一U 1 一 一也就是说,|（i广）|是,
14、的实数倍。可得厂）1不是实数。即iU为非厄米算符。U 1幺正性的证明：U 1设iU-1为幺正算符，则U 1I(iiUU 1U 1U 1IU 1) (iU)|1 U 1U 1 |(i-)U 1,U 1|(1)U 1。这是不可能的,一, U 1所以iU为非幺正算符。U 1练习2.16设T为任意线性算符,T12（T证明下列二算符：1T ），T2 五（T T ）是厄米的；证明算符T按厄米算符的分解:TT1iT2 , TT1iT2是唯一的，即证明若另有厄米算符&和与满足T S1 iS2时，必有Si=T1, S2=T2 .（熊凯解答赵中亮核对）证明：（1）厄米性11Ti 2(t T ) =2(t T )=
15、TiiT2(T T )2i(2)算符T按厄米算符的分解：1T 工 iT2 2(T T11(T T ) T22i)-(T T )T2i)-(T T )T2i假设上述分解不唯一，则存在有厄米算符S1和冬满足T&iS2,止匕时 S1WT1,1而TS1iS2,TS1iS2，则得 S -(T TT ) T2这与假设矛盾，所以上述分解是唯一的。#练习2.17算符的伴算符是什么?（项朋解答陈玉辉核对）解：把算符写成矩阵形式:*1*1*2*2*n*n的伴算符为*1*1*2*2*n*n练习2.18证明当j时,PiPj（项朋解答陈玉辉核对）证：在空间中取一组基矢,则投影算符P, Pj为,PPjTT1 iT2 2(
16、T Tij j当 i j 时，PiPj 0#习题2.19设P是空间中投向某一子空间的投影算符，1单位算符。证明算（1）是幕等的；（2）是投向这个子空间的补空间的投影算符。证明:(1)、pVi(1np) 1 p22Cn p3331) Cnpn 11)nCnn n n(1) Cnp由p的幕等性得:n(1 p) 1 p2CnP331) Cnp1)n 1Cnn n1) CnpVi(.ViC2 V)(Vi3(1)CVi Vi1)Vi Vi(1) C： Vi)(Vi1 P是幕等的；（2）、由基矢的完全性关系得:Vi ViViXvil只是某一空间的投影算符则：其补空间的投影算符为:Vi Vi一. 1 P是这个子空间的不补空间的投影算符。#习题2.20投影算符有逆算符吗？为什么？（田军龙解答 邱鸿广核对） 解：投影算符有逆算符。D、是一个投影矢量总能找到一个投影该矢量，的原矢量;、设p由投影算符对空间任何矢量）的作用是:得：p ) I ) p 22)又由设p 1) |2)得：)2)由得对于每一个I )必有)且只有一个I )投影算符有逆算符。#