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1、第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法,11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,今天我们来学习方程的根与函数的零点！,1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点） 2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点） 3.会求函数的零点.（重点）,探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？ （1）方程
2、x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 （2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 （3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3,方程,x2-2x+1=0,x2-2x+3=0,y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=-1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,(-1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x2-2x-3=0,y=x2-2x+3,函数的图象 与x轴的交点,x,y,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,.,.,.,.,0,.,方程ax2+bx+c =0(a0)的根,函数y=ax+bx +c(a0)的图象,判别式=
3、b24ac,0,=0,0,函数的图象 与x轴的交点,有两个相等的 实数根x1=x2,没有实数根,(x1,0),(x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1、 x2,一般结论,一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.,即方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与x轴有交点,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.,函数零点的定义：,注意：,零点不是一个点,零点指的是一个实数,方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与x轴有交点 函数yf(x)有零点,方程 的根是函数 的图象与 轴的
4、交点的横坐标.,由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y= f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.,函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标.,零点是对于函数而言，根是对于方程而言,例1 函数f(x)=x(x4)的零点为（ ） A(0，0)，(2，0) B0 C(4，0)，(0，0)， D4，0,D,由x(x4)=0得x=0或x=4. 注意：函数的零点是实数，而不是点.,探究：如何求函数的零点？,哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？,（1）,（2）,如何求函数的零点？,
5、1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-1,-2,-1,-4,-3,-2,观察二次函数f(x)x22x3的图象： 在区间-2，1上有零点_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0(填“”或“”) 在区间(2，4)上有零点_； f(2)f(4)_0（填“”或 “”）,x=1,4,5,x=3,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-2,-1,-4,-3,-2,-1,思考：观察图象填空，在怎样的条件下， 函数 在区间 上存在零点？,有,有,有,在区间(a,b)上,f(a)f(b)_0(填“”或 “”)在区间(a,b)上,_(填“有”或“无”)零 点；在区
6、间(b,c)上,f(b)f(c) _0(填“”或 “”)在区间(b,c)上,_(填“有”或“无”)零 点；在区间(c,d)上f(c)f(d) _0(填“”或 “”)在区间(c,d)上,_(填“有”或“无”) 零点；,有,a,b,c,【提升总结】,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。,例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)
7、内有且仅有一个 零点.（ ） （2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）,解：（1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且 f(a)f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个 零点. （ ）,如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.,（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)
8、内没有零点.（ ）,a,b,O,x,y,可知，函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b)0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。,如图,（3）已知函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b)0， 则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）,虽然函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b) 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.,如图,若函数y=5x2-7x-1在区间a,b上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于
9、0,C,【变式练习】,由表可知f(2)0，,由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点,用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象；,例3.求函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数.,解：,-4,-1.306 9,1.098 6,3.386 3,5.609 4,7.791 8,9.945 9,12.079 4,14.197 2,方法一,f(x)=lnx+2x6,从而f(2)f(3)0,函数f(x)在区间(2,3)内有零点,10,8,6,4,2,-2,-4,5,1,2,3,4,6,x,y,O,y=2x+6,y=lnx,即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求ln
10、x=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数,如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.,方法二：,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.,【提升总结】,求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间n，n+1(nZ),解：求方程 的根的个数，即求方程 的根的个数，即判断函数 与 的图象交点个数.由图可 知只有一个解.,【变式练习】,估算f(x)在各整数处的取值的正负：,令,由上表可知，方程的根所在区间为,+,.无数个,（ ）,（）,3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点（ ),A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3),B,4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 【解析】f(x)=2x+3x,f(-1)=- 0, f(0)=10.,B,方程有实数根 函数的图象与 轴有交点 函数 有零点.,零点的求法,代数法、图象法,如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。,