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1、第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程,生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！,1.推导出圆的标准方程. 2.掌握圆的标准方程.（重点） 3.能根据方程求出圆心及半径. 4.掌握标准方程的字母意义. 5.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）,1.思考:,在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,分析：,因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.,显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了.,1.圆的定义:,平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.,你看看我是 怎么形成的!,2.圆上点组成的集合:,P = M（x
2、,y) | |MC| = r ,M（x,y)是圆上动点， C是圆心， r是半径.,r,C,M,如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标(a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C(a,b) 的距离,|MC|=r.,则,圆上所有点的集合,P = M|MC|=r.,把上式两边平方得：,由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：,注意：,1.圆的标准方程,2.若圆心为O（0，0），则圆的方程为：,解: 所求的圆的标准方程是,把点,例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程, 并判断点 , 是否在这个圆上.,的坐标代入方程,左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，,
3、所以点,在这个圆上.,把点,的坐标代入方程,左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，,所以点,不在这个圆上.,如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到：,点在圆内 d r ;,点在圆外 d r .,点在圆上 d =r ；,点与圆的位置关系,【提升总结】,例2 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是,所以所求圆的方程为,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且 圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
4、 准方程.,解：因为A(1, 1)和B(2,2)，所以线段AB的中点D 的坐标为,直线AB的斜率:,因此线段AB的垂直平分线l的方程是,即x-3y-3=0.,x,y,O,A(1,1),B(2,-2),D,l,解方程组,得,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,比较例2和例3，你能归纳求任意ABC外接圆的方程的两种方法吗？,两种方法：待定系数法； 数形结合法.,1.若点(，)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部， 则实数a的取值范围是 ( ) A.-1a1 B.0a1 C.a1或a-1 D.a=1,A,2.已知A(0，5)，B(0，1)，则以线段AB为直径
5、 的圆的方程是( ) A.(x3)2y22 B.x2(y3)24 C.(x3)2y24 D.(x3)2y22 【解析】选B.圆的圆心是(0,3)，半径是r |5(1)|2.故圆的方程为x2(y3)24.,3. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上，求圆M的方程.,【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 根据题意得： 解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.,4.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？,解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系 （如右图）.,那么半圆的方程为,将x=2.7代入,得 3.,即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.,1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为,当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：,2.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题.,不想当元帅的士兵不是好士兵。,