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1、点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。2 X 定理在双曲线鼻a2M N两点，点4 1 (a0, b0)中，若直线l与双
2、曲线相交于 b2P(X0,y)是弦MN的中点，弦MN/f在的直线l的斜率为kMN ,则kMN 为Xob2-2，a证明：设MN两点的坐标分别为(Xi，y1)、(X2,y2)，则有2 Xi -2 a2 X2 -2 a2 y1 b22 y2 正1,1.2(1) (2),得红2X22a22yi y2b20.y2y1X2X1y2%X2X1b22 . a又 kMNy2 y1X2X1yi y2XiX22y02x0y。X0kMN Xb2-2 . a同理可证，在双曲线2y2a2X b2(a 0,b 0)中，若直线l与双曲线相交于M N两点,点P(X0, yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线y0a2l的斜率为k
3、MN，则kMN .X0b典题妙解22 X例1已知双曲线C: y2 1,过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点.3(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程. 22解：(1) a 1，b3,焦点在y轴上.a2v 1 v 1设点M的坐标为(x,y),由kAB - 得:-一, x bx 2 x 3整理得：x2 3y2 2x 3y 0.22所求的轨迹万程为 x 3y 2x 3y 0.(2) P恰为弦AB的中点，2AAc由 kAB12 得：kAB二二，即 kAB二.%b233直线l的方程为y 1 2(x 2),即2x 3y 1 0.3例2已知双曲线C：2x2 y2
4、2与点P(1,2).(1)斜率为k且过点P的直线l与C有两个公共点，求 k的取值范围；(2)是否存在过点 P的弦AB,使得AB的中点为P(3)试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.解：(1)直线l的方程为y 2 k(x 1),即y kx 2 k.y kx 2 k,由 22 得(k2 2)x2 2(k2 2k)x k2 4k 6 0.2x2 y22.直线l与C有两个公共点，k2 2 0,得4(k2 2k)2 4(k2 2)(k2 4k 6) 0.解之得：卜3且卜 五.2k的取值范围是(，J2) ( J2,J2)Q23).1,b2 2.设存在过点P的弦AB,使得AB的中点为P,则由kABV。xo
5、b2-2 得:k 22,ak 1.2(2)双曲线的标准方程为 x2y-1, a22由(1)可知，k 1时，直线l与C有两个公共点,存在这1的弦.这时直线l的方程为y x 1.(3)设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由kAB为x。b2-2a得：k 1 2,2.由(1)可知，k 2时，直线l与C没有两个公共点,设以Q(1,1)为中点的弦不存在.例3过点M ( 2,0)作直线l交双曲线C ： x2 y21于A、B两点,已知OPOA OB (O为坐标原点)，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：在双曲线C：x2 y21 中，a2-21 ,焦点在x轴上.设弦AB的中点为Q.OP OA OB,由平行四
6、边形法则知：OP2OQ ,即Q是线段OP的中点.设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为由kABy 2 x2整理得:4x0.配方得:(x2)241.点P的轨迹方程是(x2)2它是中心为(2,0),对称轴分别为x轴和直线x 2。的双曲线例4.设双曲线C的中心在原点，以抛物线 y2 2j3x 4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.(I)试求双曲线 C的方程；(n)设直线l：y 2x 1与双曲线C交于A, B两点，求 AB(ID)对于直线l : y kx 1 ,是否存在这样的实数k ,使直线l与双曲线C的交点A, B关于直请说明理由.ax 4 ( a为常数)对称，若存在，求出 k值
7、；若不存在,解：(I)由y22& 4得 y220,即 k2 6,且 k22 0.3.符合题意的k的值存在，k2 .1.(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(J7,0),直线 yX 1与其相交于 M N两点,MN勺中点的横坐标为则此双曲线的方程为(A.B.2C.5D.2.(02江苏)设A B是双曲线1上两点，点N (1,2)是线段AB的中点.金指点睛(1)求直线AB的方程;(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A B、C、D四点是否共圆，为什13、 P(-, 一)作直线l交双曲线于A、B两点.2 223.已知双曲线x2 1 ,过点3(1)求弦AB的中点M的轨迹；(
8、2)若点P恰好是弦AB的中点,求直线l的方程和弦AB的长.24、双曲线C的中心在原点，并以椭圆 252匚 1的焦点为焦点，以抛物线 y22j3x的准线为13右准线.(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l : y kx 3(k 0)与双曲线C相交于A B两点，使A、B两点关于直线.,一，i一人.，一l : y mx 6(m 0)对称，求k的值.参考答案21.解：在直线y x 1中，k 1, x 士时，y3b25又由 a2 2得 a22,b2 5.222-7a b c 7故答案选D.55yb2 35 b2一.由 kMN得 1 -4 -3x0a2 2a3kAB1.2.解：(1) a21,b22,焦点
9、在 x上.由 kAB Y0 by得：kAB 2 2,X0a所求的直线AB方程为y 21 (x 1),即 x y 1 0.(2)设直线CD的方程为x y m0,点N(1,2)在直线CD上,12m 0, m3.“得:2x.直线CD的方程为x y 3 0.又设弦CD的中点为M (x,y)，由kCD yx由 x y 3 0,得 x 3, y 6.y2x.点M的坐标为(3,6).x y 1 0,又由 2 y2 得 A( 1,0),B(3,4).x 1. 2由两点间的距离公式可知：| MA | | MB | | MC | | MD | 2,10 .故A B、C、D四点到点M的距离相等，即3.解：(1) a
10、21, b23,焦点在x上.设点M的坐标为(x, y).若直线l的的斜率不存在，则l x轴，这时直线l与双曲线没有公共点,不合题意，故直线l的的斜率存在.由 kAB x整理，得:6x2 2y3x3y 0点M的轨迹方程为6x22y23x3y 0.由kAByoxb2a得:32123, kAB 1.所求的直线l方程为(x1, 得 x22y3x 1.解之得:xi2,x21.|AB|.1 k2 |x2x1 |3 2.13, c , a2 b2225,b4.解：(1)在椭圆x- 匕 1中,2513焦点为 Fi( 2 .3,0),F2(2 .3Q).在抛物线y22后中，p 0,即 k2 6,且 k23. k故k的值为 1.