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1、v1.0可编辑可修改第五章习题几个典型的代数系统.设A=0,1,试给出半群A, 口 的运算表,其中口为函数的复合运算。.设G=a+bi|a,b Z, i为虚数单位,即i 2=-1.验证G关于复数加法构成群。.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算口如下：4 x,y Z,x 0 y=x+y-2问Z关于口运算能否构成群为什么.设A=x|x RAxw0,1.在A上定义六个函数如下：fi(x)=x,f 2(x)=x -1,f 3(x)=1-x,f 4(x)=(1-x) -1,f 5(x)=(x-1)x -1,f 6(x)=x(x-1) -1令F为这六个函数构成的集合，o运算为函数的复合运算。(1)给出运算
2、的运算表。(2)验证F, 口是一个群。.设G为群，且存在a G,使得G=ak|k Z,证明G是交换群。.证明群中运算满足消去律.设G为群，若VxG有x2=e，证明G为交换群。.设G为群，证明e为G中唯一的幕等元。.证明4阶群必含2阶元。设A=a+bi|a,b C Z,i 2=-1,证明A关于复数的加法和乘法构成环，称为高斯整 数环。.(1)设R,R2是环，证明R与R的直积RXR2也是环。(2)若R和R为交换环和含幺环，证明RXR2也是交换环和含幺环。.判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域，如果不能构成，说明理由。(1) A=a+bi|a,b Z,其中i 2=-1,运算为复数的加法和乘法。
3、(2) A=-1,0,1,运算为普通加法和乘法。(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。(4) A是非零有理数集合Q,运算为普通加法和乘法。.设G是非阿贝尔群，证明G中存在元素a和b,awb,且ab=ba.设H是群G的子群,x CG,令xHM=xhx-1|h CH,证明xHx1是G的子群，称为H的共腕子群。.设口口 Q Z-l OW-1 Q1 ”巩 口 Ji -Jj(1) G上的二元运算为矩阵乘法，给出G的运算表(2)试找出G的所有子群(3)证明G的所有子群都是正规子群。.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群，证明G:H=G:KK:H.令G=Z,+是整数加群。求商
4、群 Z/4Z,Z/12Z 和4Z/12Z.对以下各小题给定的群 G和G以及f:G 1-G2,说明f是否为群G到G的同态。如果是，说明G是否为单同态，满同态和同构，并求同态像f(Gi)和同态核kerf.(1) g 1=,G2=，其中R为非零实数的集合，+和分别表示数的加法和乘法。r i混偶数 f：z 一口力仅尸r1溪奇数G i=,G2=，其中+和分别表示数的加法和乘法A=x|xCCA |x|=1,其中C为复数集合。f:Z f A,f(x)=cosx+i sinxG尸,G=,+和以及 A的定义同(2).f:R f A,f(x)=cosx+i sinx.设f是群G到G的同构，证明f-1是G到G的同构
5、。.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格 ，说明理由。8.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。(1) L=1,2,3,4,5(2) L=1,2,3,6,12(3) L=1,2,3,4,6,9,12,18,36(4) L=1,2,22,.,2n,n C Z+(1)画出Klein四元群的子群格 画出模12的整数群Z12的子群格(3)画出3元对称群&的子群格.设L是格，求以下公式的对偶式(1) a A (a V b) 4 a(2) a V (b A c) . (a V b) A (a V c) b V (c A a) (b V c) A a.设L是格,a,b,
6、c C L,且a2.(3) S 3=0,1,*为普通乘法。(4) S 4=1,2,5,7,10,14,35,70,口和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。(5) S 5=0,1,2,*为模3加法，口为模3乘法。.设B是布尔代数，B中的表达式f是(a A b) V (a A bA c) V (b A c)(1)化简f.(2)求f的对偶式f。.设B, A, V, / ,0,1是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*, W a,bCB,(1) (a A b) V (a A b，)V(a / V b)(2) (a A b) V (a A ( bA c)，) Vc.对于n=1,.,5,给出
7、所有不同构的n元格，并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。.设B, A , V, / ,0,1是布尔代数，在B上定义二元运算 ,V x,y C B有x y=(x Ay，)V (x / Ay)问能否构成代数系统如果能,指出是哪一种代数系统。为什么.设G为循环群,f是群G到G的同态,证明f(G 1)也是循环群.设G=a纪15阶循环群。(1)求出G的所有的生成元。(2)求出G的所有子群。.设，p是5元置换，且(1) 计算(T T , T (T , (T , T , (T T (T(2)将(T IT , TT 1, (T 1 IT (T表成不交的轮换之积。,哪些为偶置(3)将(2)中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换 换。构成的偏序设 A= 1,2,5,10,11,22,55,110是 110 的正因子集，A, 集，其中&为整除关系。(1)画出偏序集A, &的哈斯图。(2)说明该偏序集是不是构成布尔代数，为什么