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1、质点动力学 质点动力学研究的是作用于质点上的力与其运动之间的一般规律。牛顿三定律是质点动力学的基础，也是质点系动力学和刚体动力学的理论基础。一、 质点运动微分方程牛顿第二定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即： （61）其中：分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程 （62）如果已知质点的运动轨迹，则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程 （63） 对于自由质点，应用质点运动微分方程通常可研究动力学的两类问题。 第一类问题：已知质点的运动规律，求作用在质点上的力； 第二类问题
2、：已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。 对于非自由质点，有些问题属于上述两类问题之一。当质点的运动规律未知，作用在质点上的约束力也未知时，这种情况就不属于上述两类问题。在研究这类问题时，首先建立质点运动微分方程；然后消去方程中的未知约束力，得到主动力与质点位置、速度和加速度的关系式，通常这个关系式以常微分方程（组）的形式给出，再通过求解微分方程（组）得到质点的运动规律；最后在利用质点运动微分方程求出未知的约束力。二、 质点相对运动微分方程 当研究质点在非惯性参考系下的运动与其受力之间的关系时，可选取一个惯性参考系为定系，非惯性参考系为动系，应用点的复合运动加速度合成定理和牛顿第二定律，就可
3、得到质点在非惯性参考系下的运动微分方程（简称质点相对运动微分方程），即： （64）其中：称为牵连惯性力、称为科氏惯性力，m为质点的质量，为质点在非惯性参考系中的加速度、和分别为质点的牵连加速度和科氏加速度。在某些特殊情况下的质点相对运动微分方程有如下形式1、 当动系作平移时，质点相对运动微分方程为 （65）2、 当质点相对动参考系静止时，质点相对运动微分方程为 （66）3、当质点相对动参考系作匀速直线运动时，质点相对运动微分方程为 （67）4、 当动参考系相对惯性参考系作匀速直线平移时，牵连惯性力和科氏惯性力均为零，质点相对运动微分方程为 （68） 在研究质点动力学问题时，首先进行受力分析和运
4、动分析，然后建立矢量形式的质点运动微分方程，然后将矢量形式的运动微分方程在坐标轴上投影，当运动轨迹已知时，选取自然坐标轴。 x2-1 解：当摩擦系数足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：将其在轴上投影可得：根据动量定理有： 即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：将上式在轴投影有：根据动量定理有：由此解得平台的加速度为：（方向向左）x2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：将上式在x轴投影：根据动量定理有：系统的
5、运动微分方程为：24 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。y (a) (b)根据变质量质点动力学方程有：将上式在y轴上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：x25 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有：船的质量为：，水的阻力为将其代入上式可得：将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得由初始条件确定积分常数：，并代入上式可
6、得：2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。oM 图a 图 b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它
7、对转轴的动量矩为其中：系统对z轴的动量矩为。初始时，此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可计算出方板的角速度为211 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：根据动量矩定理有：P整理上式可得： 由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：系统的动量在x轴上的投影为：系统的动量在y轴上的投影为：根据动量定理：由上式解得：，214 取整体为研究对象，系统的动能为：其中
8、：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：，因此系统的动能可表示为：，系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。 图A 图B解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量
9、守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为设为势能零点，则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有，即 (1)系统水平方向的动量为： (2)根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且最后求得：下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程 （a）ABAB 图C 图 D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有 （b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得其中相对加速度
10、为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得令，联立求解三个投影方程可求出218 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有： （a）将上式对时间求导并简化可得： (b )每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得： 将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成上述方程的解为：圆环脱离地面时的值为而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：
11、系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为，由系统对z轴的动量矩守恒，有：z其中：，则上式可表示成：由此解得：其中：，根据动能定理积分式，有：其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：将代入上式，可求得：则： 由可求得：219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为，由系统对z轴的动量矩守恒，有：z其中：，则上式可表示成：由此解得：其中：，根据动能定理积分式，有：其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：将代入上式，可求得：则： 由可求得：思考题与习题（质点
12、动力学）61 若作用在质点上的力为常力，则其运动可能是： 。A: 直线运动 B: 平面曲线运动 C: 空间曲线运动62 若作用在质点上的合外力的矢量与质点的速度始终垂直，则质点可能作 。A: 等速圆周运动 B：等速平面曲线运动 C: 等速空间曲线运动63 若作用在质点上的合外力矢量始终平行于某一固定平面，则质点可能作 。A: 直线运动 B: 平面曲线运动 C: 空间曲线运动64质量为m的质点铅垂上抛，所受阻力为（k为常量），坐标系如图所示。试确定质点的运动微分方程。上升阶段： ； 下降阶段： 。题64图A: B: C: D: 题66图ABRABC题65图65 质量为m的套筒在半径为R的固定圆环
13、上滑动（圆环在铅垂面内），一水平常力F作用在套筒上，若套筒在A处无初速开始滑动。不计摩擦，试确定能使套筒运动到B处，力F的最小值。66 质量为的质点用两个等长的系绳AC、BC（不计自重）铅垂吊起，两绳间的夹角为。（1）若，求AC绳剪断后的瞬时，BC绳的拉力；（2）求角为何值时，AC绳剪断的前后，BC绳的拉力不变。题67图题68图OABEuABCbD 67 OA杆由从静止开始以角加速度绕O轴在铅垂面内转动，当时，放在OA杆上的滑块B开始相对OA杆滑动，已知。确定滑块B与OA杆的静滑动摩擦因数。6-8 如图所示，A点到杆DE的距离为b,长为的细绳ABC的一端A固定在A点，绳子穿过滑块B上的小环，其另一端系在可沿铅垂杆DE滑动的滑块C上。若已知在图示位置时，滑块B的初始速度为u，沿水平杆向右运动，不计所有摩擦。求该瞬时滑块B和C的加速度,以及绳子的拉力。69 一小滑块A（视为质点）放在水平圆盘上，已知初始时系统静止，OAR，在外力偶作用下圆盘以角加速度（常量）绕铅垂轴O作定轴转动，t秒后，滑块A相对圆盘开始滑动，求圆盘与滑块A的静滑动摩擦因数。题69图题610图OAAOB610 半径为R的圆盘以匀角速度绕固定的铅垂轴O转动，其上缠绕的绳索（相对圆盘无滑动）的一端系在质量为m的套筒A上，套筒可在OB杆上滑动。若OB杆以匀角速度绕O轴转动，求系统在图示位置时绳索的拉力。