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1、附件1流形上的旋度公式证明和数值模型 分析和说明杨科中国 成都 610017 E-mail: 摘 要：旋度公式(又称Stokes公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐;不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪
2、以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、 柱面坐标系、广义球面坐标系等),用积分以及和式
3、极限的方法, 证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、 绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的旋度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.
4、本稿件相关的数值模型表明, 使用基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面 的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、 流体场、引力场等)在任意自由空间区域(闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算, 确立两种类型积分的逻辑关联关系, 实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学 拓扑学 物理学 Poincare猜想 向量场 自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系 复连通可定向闭合参数曲面坐标系 基于参数化空间点积法的曲面积分 流形上的旋度公式 证明 数值模型 和式极限基于参数化空
5、间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联工程意义上流形积分 解析积分值 任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立 (参见 流形上的散度公式证明 引言2)1.1流形上的旋度公式证明 . 31.2 环面(复连通可定向闭合曲面)坐标系旋度公式证明. 92.流形上的旋度公式数值模型 .13数值模型2.1 .13数值模型2.2 .213. 环面坐标系旋度公式数值模型.284. 流形上的旋度公式的反例: 关于Mobius带的空间环路积分与和曲面积分 4.1 流形上的旋度公式与Mobius带. .32 4.2 Mobius带的空间
6、环路积分与和曲面积分数值模型1.39 4.3 Mobius带的空间环路积分与和曲面积分数值模型2.43总结 . 47参考书籍. 481.1流形上的旋度公式证明:旋度公式 设光滑或分片光滑的有向曲面S的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)构成向量场A在有向曲面S上有一阶连续偏导数,则 (1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:/不是”任意曲面S”的参数表达式,而是”任意单连通、可定向闭合曲面S”的参数表达式/详见”流形上的散度公式证明 引言2 证明的前提条件
7、”说明a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u) (2)/在严格意义上, 参数表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)是任意单连通、可定向闭合曲面S在”直角坐标系”和”任意单连通、可定向闭合曲面S坐标系”之间的转换式其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值; 设定参数u,v的变化范围0,/n -,0,2,其中n为任意常数,并且n 1;为任意常数或连续函数表达式,并且/n-,使曲面S非闭合. (参见 Poincare 猜想:任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚
8、于n维球面)18/Poincare猜想在旋度公式涉及的三维欧氏空间,其对应的判断为任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面/待定系数a,b,c均不是由任意的正弦与余弦函数构成, a,b,c的取值必须服从于参数曲面S的”单连通、可定向闭合”的拓扑学属性; 详见”流形上的散度公式证明 引言2 证明的前提条件”说明 /开曲面的拓扑学分类还没有实现,也只能通过闭合曲面参数变化范围缺损的方式（即u0,Pi/n - theta,v0,2*Pi）描述非闭合曲面定义边界曲线L的参数表达式: cos(v), sin(v), (3)/由于在参数表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v
9、),c cos(u)中,待定系数a,b,c不可再次被解析 (即不可再识别其内含变量u和v), 不能象在”球面/环面坐标系旋度公式证明”或”流形上的旋度公式数值模型”中那样-将变量u的边界值带入曲面S的参数表达式,直接获得边界曲线L参数表达式-而只能设定对曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)具有依存关系的边界曲线 cos(v), sin(v), 其中,为依存于a,b,c的常数(0,0)或一阶可导连续函数表达式; 因为参数v的变化范围为0,2,边界曲线L闭合.(即 cos(v), sin(v), v0,2 构成依存于曲面S的一维单连通闭合流形或若干一维单
10、连通闭合流形的组合)18/将 cos(v), sin(v),转化为 cos(v), sin(v)实际上就是获得空间闭合曲线L在平面的投影; 参见”流形上的Green公式证明和数值模型 引言 证明的前提条件-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立”说明 向量场A在边界曲线L的环路积分: (4)/ 相对于由具体的、千变万化的三元函数构成的具体空间向量场,抽象空间向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是一种均衡、对称的抽象数据结构;在流形上的旋度公式证明中,客观上需要一种均衡、对称的抽象可定向非闭合曲面(包括其边界曲线)表达式与抽象空间向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R
11、(x,y,z)及其旋度匹配;Poincare猜想为抽象单连通可定向非闭合曲面表达式( 即a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u), u0,Pi/ntheta,v0,2*Pi)的实现提供了理论依据/ 在传统的直角坐标系Stokes公式证明中,则是”抽象可定向非闭合曲面:z= f(x,y) 的正向边界曲线”和”抽象空间向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”积分(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P175-177)/因为抽象向量场P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)具有普遍性和同质性,
12、以抽象函数P(x,y,z) 或Q(x,y,z), 或R(x,y,z)的变量x(或y或z)的内含子变量v为自变量积分,其积分结果仍然可以表述为P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z). 也就是说,以变量x,y,z的内含子变量v为自变量积分,不会改变抽象函数P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)本身的结构.因为如此,抽象函数结构P(x,y,z)或Q(x,y,z),或R(x,y,z)能够在积分以后保持原形. (参见附件3,”流形上的旋度公式和式极限证明”部分)/ “积分值为零”有明确的数学、物理意义:在数学意义上,积分值为零是逻辑推导的必然结果,反映了积分诸元素之间的逻
13、辑均衡状态;在物理意义上,积分值为零意味着”抽象向量场” 在 ”抽象空间闭合曲线(路径)”上的环流量恒为静止、待定的零;如果积分值为某一正数、负数或者某一表达式,则意味着”抽象向量场” 在 ”抽象空间闭合曲线(路径)” 上始终存在正向、反向的流量或者某个未知的值,这将是不可解释的现象根据曲面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面S的切平面法向量: =(5)从(5)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:, (6)计算向量场 A 的旋度,并将其从直角坐标形式(7)转变为参数曲面 S坐标形式(8): (7) = (8) /在空间直角坐标系,抽象向量场P(x,y,z),Q(x
14、,y,z),R(x,y,z)的旋度为 在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系.抽象向量场旋度的六个组成单元,为抽象微分函数结构,而其微分变量x,y,z皆含有子变量u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的曲面参数转换式为x = a sin(u)cos(v), y = b sin(u) sin(v), z = c cos(u)-与微分函数 (,),(,),(,) 的三个微分变量, 对应的坐标转换微分函数分别为 , 和 .“微分函数, 与坐标转换微分函数的乘积” (即两种微分函数的乘积) 构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的旋度./ 是”链式求导”还是
15、”坐标转换”? / 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为:/ 不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”, 解决的是抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”如何求导” 、”求导方式”的问题;而这里是要将抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)旋度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题;两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”,这是由坐标的空间属性决定的旋度(8)与曲面S的切平面法向量(6)的空间点积对变量u,v的积分: (9) = /因为抽象向量场的旋度 ,包含的四个微分函数单元,具有普遍性和同
16、质性,在上述公式推导中,以变量x(或y或z)的内含子变量u(或v)为自变量积分, 其积分性质可以被理解为对 ”四个旋度的微分函数单元 即,、坐标转换微分函数二者的乘积” 与 ”切平面法向量” 的 ”空间点积” 的积分.以变量x,y,z的内含子变量u(或v)为自变量积分,不会改变抽象向量场旋度的四个微分函数单元本身的结构. 抽象向量场旋度及其微分函数单元,或,或,或能够在积分以后保持原形;而与其三个微分变量,对应的三个坐标转换微分函数,即: , 和 则可以在积分以后被改变.(参见附件3,”流形上的旋度公式和式极限证明”部分)即(4)式=(9)式:亦可表述为 (1), 证毕1.2环面(复连通可定向
17、闭合曲面)坐标系旋度公式证明:旋度公式 设光滑或分片光滑的有向曲面S的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 在有向曲面S上有一阶连续偏导数,则 (1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量证明:定义环面S的参数表达式:(2+cos(u)cos(v),(2+cos(u)sin(v),sin(u) (2)设定参数u,v的变化范围0,2/n - ,0,2,其中n为任意常数,并且n1;为任意常数或连续函数(以v为自变量的三角函数)表达式,并且2/n- 2,使环面S非闭合.将变量u的两边界值带入环面S的参
18、数表达式,获得边界曲线L1,L2参数表达式:L1: (3)L2: (4)因为参数v的变化范围为0,2,边界曲线L1,L2闭合. 向量场A在边界曲线L1,L2的环路积分: (5)根据环面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵,获取环面S的切平面法向量(6): =从(6)式分别提取i,j,k项系数,获得环面S的切平面法向量: (7) 计算向量场A的旋度,并将其从直角坐标形式(8)转变为环面坐标形式(9): (8) (9) 旋度(9)与环面S的切平面法向量(7)的空间点积对变量u,v的积分:(10)= 即(5)式=(10)式:=亦可表述为 (1), 证毕2.流形上的旋度公式数值模型:数值模型2.1:
19、已知: 单连通、可定向非闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式 (1)其中,u0,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的旋度公式图1 单连通、可定向非闭合曲面（1）不规则、不对称解: 第一部分,自由空间环路积分实现:将变量u的右边界值带(即)入目标曲面参数表达式(1),获得目标曲面的边界曲线参数表达式(3):/ 与”公式证明” 设定对抽象单连通、可定向非闭合参数曲面a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v),c*cos(u)具有依存关系的边界曲线 cos(v), sin(v),不同,在”数值模型”中可以直接将变量u的边界值带入具体单连通、可定向非闭合参数曲面(1
20、)的参数表达式,直接获得边界曲线参数表达式图2 单连通、可定向非闭合曲面(1)的边界曲线(3)将边界曲线表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的环路积分(4):第二部分,自由(非闭合)曲面积分实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量: = (5)从(5)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面(1)的切平面法向量(6):/ 不同几何拓扑形状的曲面,有不同的切平面法向量计算向量场(2)的旋度(7): (7)将目标曲面参数表达式(1)带入旋度(7);并且实现旋度(7)与曲面切平面法向量(6)的空间点积对曲面参数u,v的积分(8):/
21、 与”公式证明”中涉及的抽象旋度函数不同,在”数值模型”中可以直接将目标曲面参数表达式(1) 带入具体旋度(7), 继之以”具体旋度(7)与切平面法向量(6)的空间点积”,进行曲面积分积分向量场在目标曲面的边界环路积分精确值(4),等于该向量场的旋度在目标曲面的曲面积分精确值(8),流形上的旋度公式运算并验证完毕数值模型2.2:已知: 单连通、可定向非闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式(1):其中,u0,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的旋度公式图3 单连通、可定向非闭合曲面（1）不规则、不对称解: 第一部分,自由空间环路积分实现:将变量u的右边界值(即)带入目标曲面参数
22、表达式(1),获得目标曲面的边界曲线参数表达式(3):图4 单连通、可定向非闭合曲面(1)的边界曲线(3)将边界曲线表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的环路积分(4): = /由于被积分表达式出现cos(cos(.),sin(sin(.)之类结构,积分结果没有以初等函数式表达的解析值,而只有任意精度浮点数值第二部分,自由(非闭合)曲面积分实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量(5): =从(5)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面(1)的切平面法向量(6):/ 不同几何拓扑形状的曲面,有不同的切平面法向量计算向量场(2
23、)的旋度(7): (7)将目标曲面参数表达式(1)带入旋度(7);并且实现旋度(7)与曲面切平面法向量(6)的空间点积对曲面参数u,v的积分(8):/ 与”公式证明”中涉及的抽象旋度函数不同,在”数值模型”中可以直接将目标曲面参数表达式(1) 带入具体旋度(7), 继之以”具体旋度(7)与切平面法向量(6)的空间点积”,进行曲面积分 = /由于积分变量u的右积分限为三角函数表达式,将其带入被积分表达式以后,将出现cos(cos(.),sin(sin(.)之类结构,积分结果没有以初等函数式表达的解析值,而只有任意精度浮点数值积分向量场在目标曲面的边界环路积分值(任意精度浮点数值)(4),等于该向
24、量场的旋度在目标曲面的曲面积分值(任意精度浮点数值)(8),流形上的旋度公式运算并验证完毕3.环面坐标系旋度公式数值模型已知: 环面(复连通可定向非闭合曲面)的参数表达式 (1)其中,u,v;以及积分向量场 (2)计算并验证环面坐标系旋度公式.图5 非闭合环面及其边界曲线CL1和CL2;积分向量场(红箭簇)及其旋度(蓝箭簇)解: 第一部分,非闭合环面空间环路积分实现:将变量 u 的左边界值 (即Pi/5) 带入环面的参数表达式, 获得边界曲线CL1 参数表达式 (3):(3)将变量 u 的右边界值 (即2Pi) 带入环面的参数表达式, 获得边界曲线 CL2 参数表达式(4): (4)将边界曲线
25、表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的曲线积分(5): V1 = (5)将边界曲线表达式(4)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(4)的曲线积分(6): V2 = (32)向量场 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 对闭合边界曲线 CL1,CL2 的环路积分 (7):V1 V2 = 第二部分,非闭合环面曲面积分实现:根据环面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取环面的切平面法向量(8): = (8) 从(8)式分别提取i,j,k项系数,获得Mobius带(1)的切平面法向量(9):(9)计算向量场(2)的旋度(
26、10): (10)将环面参数表达式(1)带入旋度(10);并且实现旋度(10)与曲面切平面法向量(9)的空间点积对曲面参数u,v的积分 (11):= 积分向量场在非闭合环面的边界环路积分精确值(7), 等于该向量场的旋度在非闭合环面的曲面积分精确值(11),环面坐标系旋度公式运算并验证完毕.4.流形上的旋度公式的反例-关于Mobius带的空间环路积分和曲面积分4.1流形上的旋度公式与Mobius带 众所周知,Mobius带是典型的不可定向非闭合曲面;如果将Mobius带用”流形上的旋度公式证明”的逻辑方法推导演绎,将会出现怎样的情况?旋度公式 设光滑或分片光滑的有向曲面S的正向边界L+为光滑或
27、分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 在有向曲面S上有一阶连续偏导数,则 (1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量证明(反例):定义Mobius带的参数表达式:(3 + v cos(u/2) cos(u),(3 + v cos(u/2) sin(u), v sin(u/2) (2)设定参数变化范围,u0,2,v-1,1,如图: 图6 Mobius带(具有不可定向,非闭合的几何拓扑属性)将变量v的左边界值(即-1)带入Mobius 带的参数表达式(2), 获得边界曲线CL1参数表达式(3): (3)将变量v的右边
28、界值 (即1)带入 Mobius 带的参数表达式(2), 获得边界曲线CL2参数表达式(4): (4) 图7 Mobius带及其边界曲线CL1和CL2 图8 Mobius带的边界曲线CL1和CL2拼接,呈闭合状态 抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)对边界曲线CL1曲线积分(5):V1 = 2P(x,y,z) (5)抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)对边界曲线CL2曲线积分(6): V2 = -2P(x,y,z) (6)向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 对拼接闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分(7):V1 V2
29、= 4P(x,y,z) (7)根据Mobius带参数表达式(2), 定义并计算偏导数矩阵, 获取Mobius带的切平面法向量(8): = (8) 从(8)式分别提取i,j,k项系数,获得Mobius带的切平面法向量: (9) 计算向量场A的旋度,并将其从直角坐标形式(10)转变为Mobius带坐标形式(11): (10) =旋度(11)与Mobius带的切平面法向量(9)的空间点积对变量u,v的积分:(12) = (12) 即(7)式(12)式用”流形上的旋度公式证明”的逻辑方法推导演绎,Mobius带的曲面积分与其边界曲线的环路积分在逻辑上不相等证明(反例)完毕.4.2关于Mobius带的空
30、间环路积分和曲面积分数值模型1已知: Mobius带(不可定向非闭合曲面)的参数表达式(3 + v cos(u/2)cos(u),(3 + v cos(u/2)sin(u), v sin(u/2) (1)其中,u0,2,v-1,1;以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的旋度公式(反例).图9 Mobius带及其边界曲线CL1和CL2;积分向量场(红箭簇)及其旋度(蓝箭簇)解: 第一部分,Mobius带空间环路积分实现:将变量v的左边界值(即-1)带入Mobius 带的参数表达式, 获得边界曲线CL1参数表达式(3): (3)将变量v的右边界值(即1)带入 Mobius 带的参数表达式, 获得
31、边界曲线CL2参数表达式(4): (4)将边界曲线表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的曲线积分(5): V1 = (5)将边界曲线表达式(4)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(4)的曲线积分(6): V2 = (6)向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 对拼接闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分(7):V1 V2 = (7)第二部分,Mobius带曲面积分实现:根据 Mobius 带参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取 Mobius 带的切平面法向量(8): = (8) 从(8)式分别提取i,j,k项系数
32、,获得Mobius带(1)的切平面法向量(9): 计算向量场(2)的旋度(10): = (10)将Mobius带参数表达式(1)带入旋度(10);并且实现旋度(10)与曲面切平面法向量(9)的空间点积对曲面参数u,v的积分(11):= (11)积分向量场在Mobius带的边界环路积分精确值(7),等于该向量场的旋度在Mobius带的曲面积分精确值(11),流形上的旋度公式(反例)运算并验证完毕.4.3关于Mobius带的空间环路积分和曲面积分数值模型2已知: Mobius带(不可定向非闭合曲面)的参数表达式(3 + v cos(u/2)cos(u),(3 + v cos(u/2)sin(u),
33、 v sin(u/2) (1)其中,u0,2,v-1,1;以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的旋度公式(反例)图10 Mobius带及其边界曲线CL1和CL2;积分向量场(红箭簇)及其旋度(蓝箭簇)解: 第一部分,Mobius带空间环路积分实现:将变量v的左边界值(即-1)带入Mobius 带的参数表达式, 获得边界曲线CL1参数表达式(3): (3)将变量v的右边界值(即1)带入 Mobius 带的参数表达式, 获得边界曲线CL2参数表达式(4): (4)将边界曲线表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的曲线积分(5): V1 = (5)将边界曲线表达式
34、(4)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(4)的曲线积分(6): V2 = (6)向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 对拼接闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分(7):V1 V2 = (7)第二部分,Mobius带曲面积分实现:根据 Mobius 带参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取 Mobius 带的切平面法向量(8): = (8) 从(8)式分别提取i,j,k项系数,获得Mobius带(1)的切平面法向量(9): 计算向量场(2)的旋度(10): = (10)将Mobius带参数表达式(1)带入旋度(10);并且实现旋度(10)与曲面切
35、平面法向量(9)的空间点积对曲面参数u,v的积分(11):= (11)积分向量场在Mobius带的边界环路积分精确值(7),不等于该向量场的旋度在Mobius带的曲面积分精确值(11),流形上的旋度公式(反例)运算并验证完毕.实际数据表明,在流形上的旋度公式(Mobius带反例)证明中,涉及抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 运算,Mobius带的曲面积分与其边界环路积分在逻辑上不等; 在流形上的旋度公式 (Mobius带反例)数值模型中, 因具体向量场的不同取值,Mobius带的曲面积分与其边界环路积分或者相等,或者不等.总结传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基
36、于空间直角坐标系投影法 (简称投影法)的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题 (例如电磁学领域的 Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组, 难于甚至不能获得关于复杂几何对象 (流形) 的解析解、数值解;传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green公式,
37、-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积
38、分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证, 确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的旋度公式 本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本稿件相关的数值模型表明, 通过参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体(流形)尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分、任意空间环路积分(甚至实现积分区间的艺术化);寻找向量场(
39、电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域(非闭合曲面,闭合路径)的积分计算途径和关联关系,寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点, 实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分, 实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.参考书籍:1基础物理述评教程潘根 科学版 2002.1 (P363-364,P385,P401)2费恩曼物理学讲义(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世纪出版
40、股份有限公司/上海科学技术版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P36-38,P213-229,P230-242,P259-289)3电磁学 高等教育版 2001.1 (P172-175)4电动力学及其计算机辅助教学科学版 2007.8 (P1-47)5场论 原子能版 2006.10 (2008.8 重印) (P13-17)6流体力学 冶金工业版 2010.2(P37-39)7应用流体力学 清华大学版 2006.3 (P46)8工程流体力学 人民交通版 2010.1(P88-96)9多维气体动力学基础(第2版)北京航空航天大学版 2008.6 (P15)10数学分析简明教程(
41、下册) 前苏联 . 高等教育版 1956.8 (P650-653)11工程数学: 矢量分析与场论谢树艺 高等教育版 1978.12 第1版 1985.3 第2版 2002.3 第23次印刷 (P53-57,P85,P90-91)12微积分(下册) 同济大学应用数学系 高等教育版 2002.1 (P239-246)13高等数学 多元微积分及其教学软件上海市教委 组编 上海交通大学 同济大学 华东理工大学 上海大学 编 科学版 1999.6 (P403-412) 14工科微积分(下册) 丁晓庆 科学版 2002.9 (P319-321)15高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 1
42、978.10 第1版 2007.6 第6版 2009.8 第9次印刷 (P175-177,P178-179)16托马斯微积分(第10版) Thomass Calculus(Tenth Edition) 高等教育版 2003.8 (P1137-1145)17微积分 M.R.Spiegel Schaums Outline of Theory and Problems of Advanced CalculusMcGraw-Hill Companies, Inc Copyright 1963, 37thPrinting, 1998 科学版 2002.1 (P192-195) 18庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明A complete proof of the Poincare and geometrization conjectures-Application of the Hamilton-Perelman theory