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1、湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)数学(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150 分。第I卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A= x|lg x0, B= x|xW1,则(B)A. An 田 B . AU B= R C . B A D . A B【解析】由 B= x| x0 = (1, +00),AU B= R,故选 B.2 .若复数z满足i( z 3) = 1 + 3i(其中i是虚数单位)，则z的虚部为(A)A. 1 B . 6 C . i D
2、 . 6i【解析】i z3i = 1+ 3i ,，i z= 1 + 6i ,，z=6+i ,故 z 的虚部为 1.故选 A.2 3 .函数f(x) =ln (x+1)的零点所在的大致区间为(B)xA.(0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)2 .【解析】f( x) = ln ( x+1)在(0,)函数单增 且 f (1) = in 2 20.所以函数f (x) = in (x+1)-的零点所在的大致区间为 (1, 2).故选B. x10 / 94.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”， 它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块
3、板组成的.如图是一个七巧板拼成的正方形, 若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是(C)A. 32 B.5167【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1,则大正方形的面积为 16,阴影部分的面63积为6,则所求的概率是P=2x5.设F1和F2为双曲线- a16=-则选C. 82y2=1(a0, b0)的两个焦点，若点 R0, 2b)、F1、E是等腰 b直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(C)21321A. y = 43x B . y = 与-x C . y = -3x D . y = -x【解析】由双曲线的对称性可知， 直角顶点为P,在等腰三角形PF1F2中，由| PF|2+
4、| PE|2 =| F1F212,得 c2+ 4b2 + c2+ 4b2=4c2,化简得 8b2 = 2c2,即 4b2=c2,把 c2=a2+b2代入 4b2= c2,得3b2=a2,即则双曲线的渐近线方程为 y= 土坐x,故选C.6.给出下列四个命题：“若*。为丫= f(x)的极值点，则f (x0) = 0”的逆命题为真命题;“平面向量a, b的夹角是钝角”的充分不必要条件是a- b0;若命题 p： x - 10；2x e r,均有 x + x+1 0 .命题“ xC R,使得x2+x+10”的否 其中不正确的个数是(A)A. 3 B . 2 C . 1 D . 0【解析】 “若 Xo为y
5、=f(x)的极值点，则f ( Xo) =0”的逆命题为：若 f (xo)=0, 则*0为丫= f(x)的极值点，为假命题，即不正确；“平面向量 a, b的夹角是钝角”的必 要不充分条件是a - b0,即不正确；若命题 p： x-10,即不正确；3个.故选A.7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是A. (30 , 42 B . (30, 42)C. (42 , 56 D . (42 , 56)【解析】依次运行程序框图中的程序可得：7,则判断框内m的取值范围是(A)第一次, 第二次, 第三次, 第四次, 第五次, 第六次,S= 0+2X1 =2, k= 2,满足条件,S= 2 + 2X2= 6
6、, k= 3,满足条件,S= 6+2X3= 12,S= 12 + 2X4= 20S= 20 + 2X5= 30S= 30 + 2X6= 428.如图,继续运行;继续运行;k = 4,满足条件，继续运行；k=5,满足条件，继续运行；k=6,满足条件，继续运行；k=7,不满足条件，停止运行，输出7.故选A.在四面体ABCDJL若截面PQMIt正方形，则在下列命题中，不一定正确 的是特称命题的否定为全称命题，即正确.所以不正确的个数是(C)A. ACL BDB. AC/截面 PQMNC. AC= BDD.异面直线PM与BD所成的角为45。【解析】由PQ/ AC QMZ BD PQL QMR彳# AC
7、! BD故A正确；由PQ/ AC可彳#AC/截面 PQMIN故B正确；异面直线 PM与BD所成的角等于 PM与PN所成的角，故 D正确；综上C是 不一定正确的，故选 C.9.已知抛物线 C： y2=2px(p0)的焦点为F,准线l ： x= 1,点M在抛物线C上，点M 在直线l : x=- 1上的射影为 A,且直线AF的斜率为小,则4 MAF勺面积为(C)A. 73 B . 2#C. 4-73 D . 8/3【解析】设准线l与x轴交于点N,所以|FN|=2,因为直线AF的斜率为43，所以/ AFN = 60 ,所以 |AF=4,由抛物线定义知，|MA=|MF,且/ MAF= Z AFN= 60
8、 ,所以 MAF 是以4为边长的正三角形，其面积为 *42=4m，故选C.10.若函数f(x) =2淄sinx xcos wx + 2sin 2w x + cos 2w x；3兀 在区间 一一2-,调递增，则正数1A.8 B.16 C.3的最大值为(B)114 D. 3【解析】因为f(x)=2，3sinx xcos 3 x+2sin 2 w x + cos 2 w x = J3sin 2 w x +1 cos 22Twx卜 cos 2 cox=q3sin 2 cox+1.由函数 y=f(x)在区间 | 一3 TT增知，所以-2-13兀2,结合30,可得00或f (x)0恒成立.当 xe 卜会
9、2 卜 x+ 4；，3 sin g+卜卜卜皇 1娘sin g+卜卜 T, 第.此时kw - 1,故选A.x cos x kx,，g (x) = cos x + sin x k=/sin Xx + 力一k,又g(x)与f(x)的单调性第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上.13 .已知等比数列 an的前 n 项和为 S,且 a1 = -, a2a6= 8(a42),则 S2 018= _22_017=2:- 22. 一
10、1 3【解析】由等比数列的性质及a2a6= 8( a4 2),得a4=8a4 16,解得a4=4.又a4=2q ,1AD= 1AB+:AC,若BC=xDC(入 cr),则 入=_ 331 ( 1 - 22 018 )2 017,2:故 q = 2, 所以 S 018 =-= 214.设D为 ABC所在平面内一点,1 23【解析】1 - 4fD为 ABC/f在平面内一点， AD= AB+aACB, C, D三点共线.若BO33.AC-AB=入AC-入AD 化为： AD= -1 超AC与Ab=:超 ：AC 比入入33一/曰1较可得： 入1,解得入=3.315 .记命题 p 为“点 M(x, y)满
11、足 x2+y2w a2( a0)” x-2y0,4若p是q的充分不必要条件，则实数 a的最大值为 ：5px-4y8,【解析】依题意可知，以原点为圆心，a为半径的圆完全在由不等式组 ix+y04围成的区域内，由于原点到直线4x3y + 4 = 0的距离为5,从而实数a的最大值为5.16 .已知函数f(x) = |x2 4| +x2+mx若函数f(x)在(0, 3)上有两个不同的零点，则14实数m的取值范围是_二=n - 2【解析】将函数f(x)在(0, 3)上有两个不同的零点等价转化为关于4x的方程f (x) =0在(0 , 3)上有两个不同的实数解，等价于函数 y=m和函数y= 0x2,的图象
12、有两个一一2x, 2x3 x、，14父点，所以头数 k的取值氾围是 n- 2.3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .(本题满分12分)在 ABC43,内角A B C的对边分别是 a、b、c + B).(1)求B的值；(2)若向量 m= (cos A, cos 2A) , n= (12 , 5)【解析】(1)因为ABCf, sin( A+ B) = sin C, 所以 asin A+ csin C bsin B= 2asin( A+ B) 变形为 asin A+ csin C bsin B= 2asin C且 asin A- csin C- bsin B=2asin( A
13、a=4,当mn取得最大值时，求 b的由正弦定理得:由余弦定理得:a2 + c2-b2=小ac.a2+ c2- b22cos B=2ac= 2 .一一兀一又因为 0B39即四面体 A CDE勺体积为8/2分 919 .（本题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近六年的年宣传费 Xi和年销售量yi（i =1, 2, 3, 4, 5, 6）的数据作了初步统计，得到如下数据：年份201220132014201520162017年宣传费x（力兀）384858687888 年销售量y（吨）16.818
14、.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费 x（）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式 y a-xb（a,b0）.对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：错误！ (ln xi) 275.324.618.3101.4（1）根据所给数据，求 y关于x的回归方程；（2）已知这种产品的年利润 z与x, y的关系为z=，2y5*.若想在2018年达到年利润最大，请预测2018年的宣传费用是多少万元?附：对于一组数据（U1，V1） , （U2, V2）,，（Un, Vn）,其回归直线V= 3 U+ ”斜率和截距的最小二乘估计分别为【解析】（1）对y=a - xb, （a,3 =错误！
15、， =错误！ 3 错误！.b0）两边取对数得ln y=ln a+blnx,令 Ui = ln中的x ,Vi = ln yi得v=ln a+b u,由题给数据，得:24.6 18.3u=k = 4.1 , =丁 = 3.05,错误！错误！错误！ = 101.4 ,于是b=错误！=错误！=错误！=错误,ln a=错误！ b错误！ = 3.05错误！ X4.1 = 1,得a=e,故所求回归方程为 y=e - %区.8分八 一 e e e(2)由(1)知，年禾1J润z的预报值为z=2y14x= e42x 14x= - 14(x14/2x)一 袅而7啦7e，所以当 而=7/即x=98时，Z有最大值.故当
16、2018年的宣传费用为 98万元时，年利7闰有最大值.12分20 .(本题满分12分)c c 49c c 1如图，已知圆F1的方程为(x+1)2 + y2=K，圆F2的方程为(x-1)2+y2=-,若动圆88圆F-内切，与圆E外切.(1)求动圆圆心 M的轨迹C的方程；(2)过直线x=2上的点Q作圆Q x2+y2=2的两条切线，设切点分别是 M N,若直线 MNW轨迹C交于E, F两点，求|EF的最小值.【解析】(1)设动圆M的半径为r,二动圆M与圆F1内切，与圆F2外切，| MF| =孚一，且 | MF| =W+r.于是，| MF| + | MF| =272| FE| =2,所以动圆圆心 M的
17、轨迹是以Fi, F2为焦点，长轴长为 2寸2的椭圆.从而，a=V2, c=1,2所以b=1.故动圆圆心 M的轨迹C的方程为x2 + y2=1.5分(2)设直线x= 2上任意一点 Q的坐标是(2 , t),切点M N坐标分别是(X3, y3) , ( X4, y4)； x3则经过M点的切线斜率k= ,方程是x3x+y3y =2,y3经过N点的切线方程是 x4x+y4y= 2,又两条切线 MQ NQ相交于Q(2 , t).2x3 + ty 3=2,则有i所以经过 M N两点的直线l的方程是2x+ty=2,12x4 + ty 4= 2,当 t = 0时，有 M1, 1), N(1 , 1), E1,
18、当 j, F11,乎 j,则 | EF =V2;2x + ty =2,当 two 时，联立 Sx2 2整理得(t2+8)x216x+8 2t2=0;kyi16x5+x6=E设E, F坐标分别为(x5, y5), (x6, y6),则2182tx5 . x6=E所以 EF| =1+一2 j - q (xs+xe) -xsxe =2V2t(+4)=2j2-t？225小，综上所述，当t = 0时，| EF有最小值、/2.12分21 .(本题满分12分)已知函数 g(x)=aln x, f(x) =x3+x2+bx.(1)若f(x)在区间1, 2上不是单调函数，求实数 b的范围；(2)若对任意xe1,
19、 e,都有g(x) x2+(a+2)x恒成立，求实数 a的取值范围；fx)x1,否存在两点P, Q使得 POQ1以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由.【解析】(1)由 f (x) =x3 + x2+bx,得f (x) =3x2+2x+b,因f(x)在区间1, 2上不是单调函数，所以f (x) =3x2+2x+b在1, 2上最大值大于0,最小彳1小于0,f ( x) = 3x2+ 2x+b=3x + 3j + b 3,max= 1也 彳16Vb5.4 分min = 5+b x2+(a+2)x,得(xIn x) ax2-2x,- x 1, e; x2
20、- 2x a ；x In x,in xW1Wx,且等号不能同时取，in x0,恒成立，即a0, 0ln x0,从而 t t(x)在1，e上是增函数 ,.二 t min( x) = t ( 1) = 1). . a W 1.82,x) (x) 0, 分由条件，F(x) =，-x3+x2, x 1,假设曲线y=F(x)上存在两点P, Q满足题意，则P, Q只能在y轴两侧, 不妨设 P(t , F(t)(t0),则 Qt, t3+t2),且 tw1, poq以 o为直角顶点的直角三角形，Op- Oq= 0,t2+F(t) (t3+t2) =0(*)是否存在P, Q等价于方程(*)在t0且t wi是否
21、有解，当 0t1 时，方程(*)为一t2+ain t(t +t ) =0,即-=(t + 1)in t ,a1设 h(t) = (t + 1)in t(t1),则 h (t) =in t+,+ 1,显然，当t1时，h (t)0,即h(t)在(1, +0)上为增函数，h(t)的值域为(h(1) , +00 ),即(0, +8)，当a0时，方程(*)总有解， 对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上存在两点P, Q使彳# POQ以QO为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上.12分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答 时请写清题号。2
22、2 .(本题满分10分)选彳4-4:极坐标与参数方程x = 2x,在直角坐标系中，圆 C: x2 + y2= 1经过伸缩变换1 厂 后得到曲线 Q.以坐标原点 =1的解集；(2)当 xC R时，求证 f (x) g(x).12, x- 1,【解析】(1)由题意，f (x) = ；2x, - 1x1,当 x1 无解；当一1vxv1 时，f(x) =2x1,11解得x2，所以2xl时，f(x)=2河恒成立，所以f (x) 1的解集为目+ .5分(2)当 xCR时，f(x) =|x+ 1| 一 | 1 x| w|x+1 + (1x) | =2;g( x) = | x + a2| + | x b2| | x+ a2-(x- b2) | = a2+ b2.而 a+b=(a+b) 2ab( a + b) 2x(a+b)22-=2当且仅当a=b=1时，等号成立，即 a2+b22,因此，当xC R时，f (x) w2w a2+b2wg(x)，所以，当 xCR时，f(x) g(x).10 分