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1、最新中考数学共边定理及其应用与推广精品文档共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、 推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受 制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢？本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供 U 2土 厂大快省参考 .、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶 点的连线被公共边所截得的线段比S ABCCM 定理 如图1,设直线AB与CD交于M ,则有（共有四种情形）.S ABDDM收集于网络，如有侵权请联
2、系管理员删除这个定理的证明基于一个基本的事实：共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下AB CM AM CM_ AM标唬 DM .由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在 没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到 易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应
3、用 .二、共边定理的应用1 .有关线段的问题例1凸四边形ABCD的两边AD,BC延长后交于点K ；两边AB,CD延长交于L ,对角线KF KGBD, AC延长后分别与直线 KL交于F,G ，如图2.求证：.LF LGD图2该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线.但此题倘若利用共的线段比.此题是数学大师华罗庚在1978年全国中学生数学竞赛题前言中提到的有趣的几何题.题目的 证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件 边定理来解决会变得很简单，具体证法如下证明 KFSJKBDSJKBDLFS LBDS KBLCD AK
4、CL gADS ACL SACKACDS ACKS ACLKGLG注该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比2 .有关面积的问题例2在 ABC的三边BC,CA,AB上，分别取点一 1 一X,Y,Z ,使 CX BC , 3rr 1一，一BZ AB.连AX,BY,CZ三条线，围成 3LMN,如图3.问LMN的面积是ABC面积的几分之几？解由于MBC先求SLLMN与ABC不是公边三角形,NCA, LMN来计算.MBC .S ABCS MBCS ABM S BCM S ACMS MBC为计算AYCYAZBZ将其转化为与ABC公边的三角形又 S NCAS MBC27
5、 S ABC .同理，S2LAB 7 S ABC S LMN17 S ABC .3 .有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB与CD交于一点M ，但是如果AB与CD不相交呢，会有什么情况？首先会不会有 AB与CD不相交的情况呢？当然会.当S ABC S ABD，且CD与AB同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图 4：D.这个几何事实描.下面我们通过一个AQ证明：BQS AOPPOBPN AM NBgPMS AOP SSgSS AOB SS PMN S g- S BMN SAMNMNPAOBPPOB通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了 述为
6、:若点C,D在AB的同侧，CD/AB的充要条件为S ABC S ABD .有了这一定理就可以不用平 行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法” 例题来说明其应甩例3已知线段 AB与一条平行于 AB的直线l ,取不在AB上也不在l上的一点P ,作PA,PB分别与直线l交于点M , N ,连结AN , BM交于。，连PO交直线AB于Q ,如图5.求证：AQBQ .S AMN 1S BMN注在证明最后一步中运用了AB/1 ,推导出了 S amn S BMN .实际上此题还解决了在平面内给定两点A, B和平行于AB的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB的中点的操作
7、方法.类似的方法还可以证明出 PQ平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个结 论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底 人 PN AM口此外，在这个过程中还有一个结论 g1 ,实际上得到了平行线分线段成比例定理NB PM共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重 心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理共面定理:设直线PQ与平面ABC交于一点S ,如
8、图6,则有VP ABCVQ ABCPSQS该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢？(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了 .为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的