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1、期末复习（一）三角形的初步知识01知识结构，三边关系三 三角形的概念内角和定理及其推论角I三角形的中线、高线、角平分线形 的 初 步 知 识定义与命题f命题的组成命题的分类f全等三角形的性质全等三角形的判定全等图形一全等三角形角平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理尺规作图02重难点突破重难点1三角形的三边关系【例11（萧山区期中）已知等腰三角形两条边的长分别是 3和6,则它的周长是（B ）A. 12B. 15C. 12 或 15D. 15 或 18【方法归纳】判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段.在已知等腰三角形的两边长求其周长时， 需注意:（1） 一
2、定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；（2）一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形.变式训练1 .（海宁新仓中学期中）两根木棒的长分别是5 cm和7 cm,要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是（B ）A. 2 cmB. 4 cmC. 12 cmD. 13 cm重难点2三角形形内角和定理及其推论【例2】 如图，在4ABC中，AB = AC,9=30 ,E为BC延长线上一点，9BC与/ACE的平分线相交于点D,则/D等于（A ）BCEA. 15B. 17.5C. 20D. 22.5【方法归纳】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要
3、求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质 求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义、 平行线的性质等知识的运用.变式训练2 .如图，AB/CD, ZB = 68 , E = 20 ,贝上 D 的度数为（C ）DA. 28B. 38C. 48D. 88重难点3三角形的三条重要线段【例3】 如图，AD是4ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，SmBC = 41,则 SzBFC=. 4【思路点拨】根据三角形面积公式得 Sbfc = Saefc, Smec=Smec, Saaeb=S NEB , Smbd= SMDC, 从而 SzBFC = 一Sabc.
4、4变式训练3 .在AABC中，AC = 5 cm, AD是AABC中线，若AABD的周长比AADC 的周长大2 cm,则BA=7 cm.4 . (1)如图所示，在 AABC 中，/A=40 , B=72 ,CE 平分/ACB, CD MB于点D, DFJCE于点F,求/CDF的度数；(2)在(1)中，若/A= & /B= (3(%?队 其他条件不变，求/CDF的度数.（用含口和B的代数式表示）解：(1)根据题意，在 4ABC 中，”=40 , B = 72 ,所以/ACB = 68.因为CE平分/ACB,所以/ACE = 34.所以 / CED =ZA+Z ACE = 74 .因为CD，AB,
5、 DF1CE,且/ECD为公共角，180 f B所以/CDF=/CED = 74 .(2)由(1)可知，/CDF=/CED=/A+/ACE, ZACE180 B所以 / CDF =.2重难点4线段垂直平分线与角平分线的性质【例4】 如图，在4ABC中，/ACB = 90 ,BE平分/ABC,交AC于点E, DE垂直平分AB于点D,求证：BE + DE = AC.证明：./ACB = 90 , . AC JBC.ED JAB, BE 平分4BC,. CE = DE,DE垂直平分AB, . AE=BE.AC = AE + CE,.BE+DE=AC.【方法归纳】 在利用线段垂直平分线的性质求线段长度
6、时，通常是根据线 段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求 线段的长.变式训练5 .如图，在4ABC中，/BAC90 ,AB的垂直平分线 MP交BC于点P,AC的垂直平分线NQ交BC于点Q,连结AP, AQ,若4APQ的周长为20 cm,则 BC 为 20cm.6 .如图，zABC的三条角平分线交于。点，已知4ABC的周长为20, ODJAB, OD = 5,则AABC 的面积为 50.重难点5全等三角形的性质与判定【例5】 已知4ABN和4ACM的位置如图所示，AB = AC, AD = AE, /1 = /2.(1)求证：BD = CE;(2)求证：/M=/N.【
7、思路点拨】（1）要证BD=CE,可通过转化证zABD二zACE,根据SAS 得证；（2）要证/M=/N,可通过转化证 ACM二 ABN,由（1）可知/C =/B.因为/2= /1 ,所以/CAM = / BAN.再结合AB = AC,即可根据 ASA”得证.AB = AC,证明：(1)在4ABD 和4ACE 中，/1 = /2, AD = AE,.BDFCE(SAS). BD = CE. / 1 = /2, .1+/DAE=/2+/DAE,即/BAN = / CAM.由(1),得4ABD二4ACE, /C= /B,在AACM 和ABN 中，AC = AB,I /CAM = / BAM ,/.A
8、CMABN(ASA).M=/N.【方法归纳】三角形全等的证明思路：f找夹角-SAS已知两边找另一边7SSSf边为角的对边一我任一角-AAS 已知一边边为找夹角的另一边-SAS 和一角角的找夹边的另一角ASAI邻边I找边的对角-AASr找夹边-ASA已知两角I找任一角的对边fAAS变式训练7.(成都中考)如图，MBC二公BC,其2A = 36 , C=24 ,贝LB =120第7题图第8题图8.（杭州大江东区期中）如图，已知AD是4ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使4AED二zAFD,需添加一个条件是：AE = AF或/EDA=/ FDA 或/AED= /AFD.03备考集训一、
9、选择题（每小题3分，共30分）1 .下列长度的三条线段，能组成三角形的是（C ）A. 1, 2, 4B. 4, 5, 91 . 4, 6, 8D. 5, 5, 112 .（竦州校级期中）下列语句不是命题的是（B ）A.两直线平行，同位角相等B .作直线AB垂直于直线CDC.若冏= |b|,则 a2=b2D.同角的补角相等3 .如图，已知4ABE二zACD, /1 = /2, ZB=/C,不正确的等式是（D ）A. AB = ACB, ZBAE = /CADC. BE = DCD. AD = DE4 .（杭州大江东区期中）如图，在4ABC和4DEC中，已知AB = DE,还需添加两个条件才能使4
10、ABC二4DEC,不能添加的一组条件是（C ）A. BC = EC, /B=/EB. BC = EC, AC = DCC. BC = EC, ZA=ZDD. ZB=/E, ZA=/D5 .如图，将两根钢条 AA、BB的中点。连在一起，使AA、BB可以绕着点。自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出AB的长等于内梢宽AB,那么判定4OAB二OAB的理由是（A ）A.边角边C.边边边B.角边角D.角角边第5题图 第6题图6 .如图，在4ABC中，AB = AC, DE是AB边的垂直平分线，分别交 AB、AC于点D、E,空EC的周长是14 cm, BC = 5 cm,则AB的长是（B ）A.
11、 14 cm B. 9 cmC. 19 cm D. 12 cm7.如图，AD是AABC中/BAC的平分线,DEMB 于点 E, Smbc = 7,DE = 2, AB = 4,则 AC 长是（A ）A. 3B. 4C. 6D. 5第7题图第8题图8 .如图所示，在4ABC 中，/BAC : ABC : BCA=3 ： 4 ： 5, BD, CE 分别是边AC, AB上的高，BD, CE相交于点H,则/ BHC的度数为（B ）A. 120 B. 135C. 125 D. 1309 .（竦州期末）如图，在方格纸中，以 AB为一边作AABP,使之与4ABC全等，从P1, P2, P3, P4四个点中
12、找出符合条件的点 P,则点P有（C ）A. 1个B. 2个C. 3个第9题图第10题图10 .（杭州大江东区期中）如图，四边形ABCD是正方形，直线a, b, c分别 通过A、D、C三点，且a/b/c.若a与b之间的距离是5, b与c之间的 距离是7,则正方形ABCD的面积是（B ）D. 148A. 70B. 74C. 144二、填空题（每小题4分，共24分）则外角ACD = 121度.11 .如图，在 4ABC 中，/A=58 , B = 63 ,第11题图第12题图12 .如图，若 AABEAACF,且 AB=5, AE = 2,则 EC 的长为 3.A13 .如图，已知4ABC的周长为2
13、7 cm,AC = 9 cm,BC边上中线AD = 6 cm,MBD 周长为 19 cm, AB = 8_cm.14 .（杭州萧山区月考）已知三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm, 一个内 角为40。，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有 4个.15 .当三角形中一个内角是另一个内角的 3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108 ,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18费6 .心16 .如图，在四边形 ABCD中，给出了下列三个论断： 对角线AC平分/BAD;CD = BC;/D+/B=180.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一
14、个论断作为结论，则可以得出 3个正确的命题.三、解答题（共46分）17. （10分）如图，已知:AD是4ABC的角平分线，CE是4ABC的高，/BAC = 60 , BCE = 40,眩ADB的度数.解：AD是4ABC的角平分线，/BAC = 60 ,.DAC=/BAD = 30 . .CE 是 4ABC 的高，/BCE =40 , .B = 50 , ADB = 180 / B-ZBAD = 180 -50 -30 M00 .18. （12分）如图，AD是AABC的边BC上的中线，AB = BC,且AD把AABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长.解：设 AB=BC = 2x,.AD是4
15、ABC的边BC上的中线，. BD = CD = x.若4ABD的周长是3 + AD,则2x + x=3,解得x= 1. AC = 41 =3.若4ABD的周长是4 + AD,则2x + x=4,解得x=4.34 5 .AC=3-=- 3 3综上，AC边的长为53或一319. （12 分）如图，在 4ABC 中，AB = CB, ZABC = 90 ，点D 为 AB 延长线上一点，点E在BC边上，且BE = BD,连结AE、DE、DC.求证：zABE二zCBD;(2)若/CAE = 30 ,也 BDC 的度数.解：(1)证明：在4ABE和4CBD中，AB = CB,zABE= ZCBD = 90
16、 ,I BE = BD,.BEWGBD(SAS).(2) .在 AABC 中，AB = CB, ZABC = 90 .BAC=/ACB = 45 . .zABEWGBD, . AEB=/BDC. AEB为AAEC的外角， . AEB=/ACB+/CAE = 45 由0 45 . BDC = 75 .20. （12分）（杭州青春中学期末）如图1, AB = 4 cm, AC必B, BDMB, AC= BD = 3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t（s）.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t=1时，ACC
17、P与 BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；(2)如图 2,将图 1 中的 “ACLAB, BD1AB” 改为CAB= / DBA = 60。，”其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得 ACP与4BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明 理由.解：(1)当 t=1 时，AP=BQ=1, BP = AC=3,A AP = BQ,在AACP 和4BPQ 中，A=/B = 90 , AC = BP , .CP 二出PQ(SAS). . ACP=/BPQ. APC + / BPQ = / APC + / ACP = 90 . CPQ=90 , 即线段PC与线段PQ垂直.若 AACP 二 zBPQ,则 AC=BP, AP=BQ, (3 = 4 t,1t=1,解得t=xt,lx=1.若 ACP 二 4BOP,则 AC=BQ, AP=BP,f3 = xt,lt=4t,r=2,解得 3x-2.t= 1,综上所述，存在lx= 1f t=2,或 3使得AACP与4BPQ全等.I x 2