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1、方法勾股定理知识点归纳和题型归类一.知识归纳1 .勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别 为a , b ,斜边为c,那么a2 b2 c2 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方 法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有 空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列 出等式，推导出勾股定理常见方法如下：4SSO形EFGHSO形 ABCD 4 1ab （b a）2 c2，化2简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形
2、面积的和为1 ,2,2S 4 ab c 2ab c2大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2 ,所以2, 22a b c、,1方法三：S弟形2(a b) (a b),一一 一 一 1 -1 2 .，一SW2S ADE S ABE 2 二ab 二 c，化间行证223 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的 数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三 角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因 而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是 直角三角形4 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中，C 90 ,贝U c qa b2 , b Jc
3、2 a2 ,a c2-b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数事关系可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c满足a2 b2 c2, 那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为 形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理 时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a, b, c为三边的 三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2,时，以a, b, c为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2,时，以a, b, c为三边的三角形是
4、锐角三角形；定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一种表现 形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a, b , c满足a2 c2 b2,那么以a , b , c为三边 的三角形是直角三角形，但是 b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说 成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时， 这个三角形是直角三角形6 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个 正整数 称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b, c为正整 数时，称a, b, c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 等用含字母的代数式表示 n组勾股数：
5、丢番图发现的：式子m2 n2,2mn,m2 n2（m n的 正整数）毕达哥拉斯发现的：2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1（n 1的整数）柏拉图发现的：2n,n2 1,n2 1 （n 1的整数）7 .勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长 的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各 是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添 加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便 正确使用勾股定理进行求解.8 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之 间的数量关系判断一个三
6、角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长 边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的 平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体 的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既 要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又 要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完 成对问题的解决.题型一：直接考查勾股定理例1 .在 ABC 中，C 90 .已知AC 6 , BC 8 .求AB的长已知 AB 17, AC 15,求BC的长别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积m。题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有
7、两棵树，一棵高 8 cm另一棵高2 cm ,两树相距8 cm , 只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 数的树梢，至少飞了 题型四：应用勾股定理逆定理, 是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为是否为直角三角形判定一个三角形b,c,判定 ABC a 1.5, b 2, c 2.5b 10, ab 18,例 4.如图 Rt ABC, C 90 AC 3,BC 4,分BC 10 cm ,AB AC 。题型二：应用勾股定理建立方程例2 .在 ABC 中,ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD =已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15,则这个三
8、角形的面积为 已知直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则这个三角形的面积为 例 3 .如图 ABC 中， C 90 ,12 ,CD 1.5, BD 2.5,求 AC 的长例7.三边长为a , b , c满足 c 8的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 8.已知 ABC 中，AB 13 cm , BC边上的中线AD 12 cm,求证:1、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60。 方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏 东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到 M岛，乙船到P岛，两岛相距 34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？如果把这
9、根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端 恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦 苇的长度分别为多少？2、为美化环境，计划在某小区内用 30平方米的草皮铺设一边长为 10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。典型题训练一.勾股定理1 .在 RtABC中,AC=12, AB=20,求 BC的长。3、如图，铁路上 A B两站（视为直线上两点） 相距25千米，G D为两个村庄（视为两个点），DAL AB于 A, CBL AB于 B, DA=15 千米，CB=10 千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站 E, 使得C、D两村到E的的距离相等，则 E应建在 距A多少千米处？4、在河L的
10、同侧有两个仓库 A B相距1640米, 其中A距?210米，B距河570米，现要在河岸上 建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最 短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？2 . 4ABC中，若 AC=1 BC=13 AB边上的高 CD=12, 求 ABC的周长。二.勾股定理的逆定理1 .已知，在 ABC中，/ A, / B, / C的对边分别是 a,b,c, a n2 1,b 2n,c n2 1（n 1）,求/ c的度数。5、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面1尺。2 .如图，A,B是公路l（l为东西走向）两旁的两个 小村庄，A村到公路l的
11、距离AC=1km B村到公路 l的距离BD=2km B村在A村的南偏东 45方向上.(1)求出A, B两村之间的距离；(2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等，请用尺2 .有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到 A点的正上方B点，若油罐底 面半径是4m,高是7mli兀=3,问梯子最短是多 少米？北东S最短路径问题1 .如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm, 3cm和1cm, A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线
12、路是多少？2 .如图，折叠长方形的一边 AR使点D落在BC 边的点F处，BC=10cm AB=8cm求EC的长。3 .如图，有一块直角三角形纸片， 两直角边AC=6cmBC=8cm现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹)3 . 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方向仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90o ,继续航行70海里，则距出发地 250海里，你 判断船转弯后是否沿正西方向航行？三.折叠问题1.如图，矩形纸片 ABCD43, AB=8cm把矩形纸片 沿直线AC折叠点B落在点E处，AE交DC于点F
13、, 若 AF=6.25cm,4.如图，四边形 ABCD边长为9的正方形纸片， 将其沿MN叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点 A ,且 B C=3,求CN AM的长。2.如图所示，在 ABC中，AC=10 BC=17； CD=&AD=66 (1)求BD的长；(2)求 ABC的面积。六.勾股定理的证明1.一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现 了勾股定理一种新的验证方法.如图，火柴盒的 一个侧面ABC陶下到AB C D的位置，连接 CC ,设AB=a, BC=b AC=g请禾用四边形 BCCD的面积验证勾股定理：a2 b2 c2。四.网格问题1.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1, ABC的三个顶点在格点上，求 ABC中AB边上 的高。五.面积问题1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的 边长分别为6和8,求b的面积。