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1、巧用四点共圆证圆有许多重要的性质，如果同学们在把这些性质学好的基础上，能巧妙地应用这些性 质来证题，将会取到事半功倍的效果。下面举例说明：例L已知：如图1,圆6和圆O?相交于A、B两点，CD是两圆的外公切线，C、D 是切点，CB延长线交AD于E, DB延长线交AC于F。求证：DE DA=DB DF。图1证明：联结AB。CD是圆Oi的切线，CB是圆Oi的弦, . ZBCD = ABAC同理 ZBCD+ ZBDC+ ZCBD= 180 而 /CBD = /EBF, ZBAC+ ZBAD+ ZEBF = 180即+= 180。. .尸、A、E、5四点共圆：.DEDA=DBDF例2.已知：如图2, A
2、A5D和AAEC分别是以AA3C的边AB、AC向外作的等边三 角形，联结BE、CD相交于F。求证：AF平分证明：,45。和AAEC都是等边三角形,:.ZDAB= ZEAC = 6(fZDAB + ZBAC = ZMC+ ZCAB即 ZDAC=ZBAE ： DA = BA, EA = CAAZMCm A5gsAS)Z1 = Z2, Z3=Z4v Z1=Z2, N1和N2在AF的同侧，.A、D、B、F四点共圆/. ZDBA = ZDFA （同弧所对的圆周角相等） 同理 NEC4 = ZEE4 ZDBA = ZECA /. ZDM = ZEFA即AF平分ZDFE例3.己知：如图3,在AEAF内有一点
3、C,作CEAAE于点E, CFXAF于点F, CB/AF 交AE于点B, CD/AE交AF于点D。图3求证：AC? =AE +A/证明：过点D作。WL4C于点M过点B作6NL4C于点NV CF1AF, DM1AC,.M、C、F、D四点共圆:.ADAF = AMAC (1)同理B、E、C、N四点共圆:.ABAE = ANAC(2)又因为AADM三ACBN,四边形ABCD为平行四边形，所以AM=CN(1) + (2)得ABAE+ADAF=ANAC+AMAC=AC(AN + AM) = AC( AN + CN) = AC2即4。？=48 4七=4。4尸说明：以上三例，都是利用了四点共圆，再根据圆的有
4、关性质来达到证题目的的。证明四点共圆有下述一些基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上， 若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边 的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为 直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。)方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外 角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆.方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点 分成的两线段之积相等
5、，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长 相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另 一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（根据托勒密定理的逆定 理）方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要 求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基 本方法中选择一种证法，给予证明.判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度，并且任何一个外角都等于它的内对角。如四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF, AC、BD 交于 P,则 A+C=180 度，B+D=180 度，角ABC二角ADC （同弧所对的圆周角相等）。角CBE= D （外角等于内对角） ABPADCP （三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP （相交弦定理）EB*EA=EC*ED （割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED （切割纹定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆/定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD （托勒密定理 Ptolemy）3