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1、抛物线问题解法拾零应用抛物线的定义及其有关结论解题，往往能缩短解题过程，找到简捷的解题方法。举 例如下：1、 活用定义例1.在抛物线y：=12x上求一点P使这一点到定点M(4, 6)的距离与到定点N(3, 0)的距离之和最小。解：由抛物线可知点N为焦点，抛物线的准线l：x=3设抛物线上点P(x“yJ要 求点P使I PM | +1PN |最小。由抛物线定义可知IPN |等于P到准线1的距离d因此PM +|PN| 的最小值即为过点M作准线1的垂线段的长，因此所求点P的纵坐标yk6,代入抛物线方 程可求得xf3所以所求点P的坐标为(3, 6)。2、 运用抛物线的性质解题性质1.若P：(x“ yj,
2、P：(x=, %)为抛物线y=2px (p0)的过焦点的弦的两端点,则%y广-P：例2.过抛物线焦点的直线交抛物线于P、Q两点，经过点P和抛物线的顶点的直线交 抛物线准线于M。求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。证明：设抛物线方程为/=2Px (p0)焦点坐标为F (勺0)年,准线方程为 1: x=-y P (xlt yjQ (x：, y：)直线MP的方程为y = &x联立方程组解得M (一4 2-詈）2x1直线MQ的斜率为勺=2匹 _ 2xiy2 + pyx项(占+)又 乃=一2且y：=2占 2七%+ 弘=2内(一及)+ PX =J k： = 0又抛物线的对称轴为x轴屋=0且MQ与x轴不重合
3、顺*轴 即MQ平行于抛物线的对称轴。性质2.抛物线y三2Px (p0)的过焦点的弦AB与抛物线轴所成角为。则IAB二3一 sin- a例3.已知抛物线y：= 6x过焦点F的直线AB与x轴成45c角，求直线AB夹在抛物线之 间的线段的长。解：由性质2可得弦长AB- 2yp =12sin- 45性质3.如图AB是过抛物线户2Px (p0)的轴上一点M(m,O)的弦,N(-m,O)与点M关于 原点对称，则ZANM =ZBNM .例4.已知抛物线yJ2Px (p0) PQ为过抛物线斗 V/A焦点的弦，N为准线与对称轴的交点且PQ_LNQPMx轴于点M,求证PM： =.-证明：连结PN由题设可知：焦点F
4、 (巳，0)N ( 一2，0),显然F、N关于原点对称2，ZPNF =NQNF又 NNQP =NPMN =90 . N、P、M、Q四点共圆力.ZMPQ =ZQNM ZMQP =ZMNP -/. ZMPQ =ZMQP . 既为等腰三角形 PM = QM性质4.已知A、B为抛物线武二2Px (p0)上两点,0为抛物线顶点0AJ_0B,且A(x yj、B (x：, yj 则 XiXc = 4p: yiy2 = - 4p:例5.已知直线1： y = x-2与抛物线/二2x相交于两点A、B, 0A10B,求线段AB 中点M的轨迹方程。解：设 M(x, y) A(xi, yj Ba, y：) 贝lj Xi+xc = 2x yi+y= = 2y又y = 2x yl = 2x2 ：. (y + y2)2 = 2(x)+x2)而 y,% = - 4p: =-4，4y: +8 = 4x 即 y: = x - 2 ( x，2)