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1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面;2、线性运算：加减法、数乘;3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设） =（4，%，&）,后=（么也），则 ab =（axbx,a b ,az b ） Aa = （Aax,Aa Aaz）.5、向量的模、方向角、投影: 1）向量的模：团=J + V+z?；2）两点间的距离公式：=八一%）2 + （%）2 + （4 43）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角x a y Z4）方向余弦：cos 冏cos/?二司cos片可
2、cos2 a + cos2 p + cos2 y = 15）投影：Pr/i=Ncos0,其中夕为向量7与万的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积：万石二|五|同cos一一 一 21）a a a2）5 _L b。a - b = 0a = ahY + ah，+ a_b.人 人y y z.2、向量积：c =axb大小：|万|bsin0 t方向：),5符合右手规则1) axa = 0 * -2) a II b O axb = 0一 一i j kaxb = a,.”、，ci 丁入)z久 by bz运算律：反交换律b xa =-axb(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S :/(x, z) = 02、旋
3、转曲面：yoz 面上曲线 C : /( z) = 0,绕y轴旋转一周：yZx? + 22)= 0绕Z轴旋转一周：/(士6 +y2,z)=03、柱面：(F(x9y) = 0尸(x,y) = 表示母线平行于Z轴，准线为J八 的柱面z = 04、二次曲面22九工y 一21)椭圆锥面：户炉一X2 （ y2 （ z2 _12）椭球面：/+炉+ / =222%_ 1旋转椭球面：户十户+”=1 222%VZ3）单叶双曲面：2十右22 -Cz-exC-x222xyz_4）双叶双曲面：下一炉一/二22% y _5）椭圆抛物面：户+后=222- y6）双曲抛物面（马鞍面）:.2）222j 二二17）椭圆柱面：2十
4、人2 -122二二=18）双曲柱面：.25229）抛物柱面：x = ay（四）空间曲线及其方程JF（%, y,z） = 01、一般方程：I 一 、八 G（x,y,z） = 0x = a cos t y = a sin tZ = btX = X。）2、参数方程：1、=、（，），如螺旋线: z = z（r）3、空间曲线在坐标面上的投影F(x, y, z) = 0Gy,z) =。消去-得到曲线在面上的投影(五)平面及其方程1、点法式方程：A(x %) + B(y y0) + C(z z)=。法向量：H = (A,B,C),过点(项)，？。)2、一般式方程：Ax + By + Cz + D = G截距
5、式方程：3、两平面的夹角：1=（A，B，G），2=（42，鸟,。2）,cosj t I- +3/2 +CGJ-j + Bt + c：+ +ill j_ n? A4 + u + gg =04、点 （项），X），z0）到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离:_ |Ar（）+ By。+ Q + DJa2 + b2+c2(六)空间直线及其方程In 一般式方程：Axx + By + Gz += 0Ax + y + D）= 0X7o y-)o Z-Zo2、对称式(点向式)方程：京 = 一 = 7-方向向量：s=（m,n,p）f 过点（Xo，M），Zo）x = x0 + mt3、参数式方程
6、：Z = Z（）+ pttnm2+nin2 + pxp2C6S(p =4、两直线的夹角：?!=（町，巧,P1）,另=（加2，%，2），/797/977+ nf + yjm； + % +L）IL, mm2 + nn2 + pp2 = 0m. nx Pi/ m2p,5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，Am + Bn Cpsin （p = ,1y）A2 +B2 +C2 -yjm2 +n- + p1L/T1O Am + B + Cp =。ABCLn o =-=一m n p第九章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区
7、 域，有界集，无界集。2、多元函数：z = /（x,y）,图形：3、极限一用 f（x,y） = A（x,y）f（7）.比）4、连续：，呼 J，）= /（%，%） （x,y）Txo，y（）5、偏导数：/x0,y0)=lim/(%+Ar,%)-/(/，儿)/Oo, )o+) 一/(%，)0)Ay6、方向导数:5f df 8f,-cos0, A0,函数有极小值, 若ACB?。，AvO,函数有极大值；若AC-B2。，函数没有极值；若AC82=0,不定。2）条件极值：求函数z = /（x,y）在条件9（x,y） =。下的极值令：L（x, y） = f（x, y） + X奴X, y） Lagrange 函
8、数L =0解方程组4=0叭X, y） = 02、几何应用 1）曲线的切线与法平面x = xQ）曲线：Jy = y）,则上一点M（x,yo，z。）（对应参数为4）处的 z = zQ）a/ = y_y（）二 z - z。切线方程为：x&）,/9）/&）法平面方程为：x&）（x 一项）+ y4）（y y。）+ z4）（z zO） = o2）曲面的切平面与法线曲面Z :尸（x,y,z） = 0 ,则E上一点M（xo，y,z）处的切平面方程为：工（Xo，yo，Zo）（x Xf0 + FyaoQjZoXy iJ + gaoQ&ZoXz Zo）。、= y 一 = z -Z。法线方程为：工Qo，yo，z。）F
9、yQo.jZo） 口加打人） 第十章重积分（一）二重积分1、定义：JJ7（x，y）db=!短，%）% D4=12、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标a xbG（y）4x46（y）cydff 于（X, y）dxdy =dyj：/（x,y）d DCy2）极坐标(P，8)月|（，）夕22（e）aepJJ7(x,y)ckdy = J：呵;:D/(cos O.p sin 0) pdp（二）三重积分1、定义：JJL/5 y，Z）d u = lim fqk，Z 4）为 k=l2、性质：3、计算：1）直角坐标凡/(x,y,z)du =乩 dxdyJ；/(Z)dz“先一后一 后一
10、”“先二2)柱面坐标x pcos3) =，sin/9 , JU。/(羽y,z)du=JjjQ/(pcose,Qsine,z)N.d6dz z = z3）球面坐标x = vsin0cosv y =v sin 0 sin 3 z = rcos(p川 J(x,y,Z)du = Qf(r sin (j) cos O.r sin sin 0, r cossinQJrdQJ，(三)应用曲面 s : z = /(x, y), (x, y) e D 的面积:A=JL/+华)2+(衿 dxdyJJ/)I dx dy第十一章曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分1、定义： ”(元,)心二吟/(。,7)3 /=1
11、2、性质：1) a/(x,y) + /?(x, y)ds =/(x, y)ds + 4g(x, y)ds.2) J/(x,y)ds = /(x,y)ds + y(x,y)ds. ( = ,+,). I3)在L上，若/(x,y)Kg(x,y),则/(x,y)由Lg(x,y)ds.4） ds = /（ i为曲线弧上的长度）3、计算:设/（X,y）在曲线弧L上有定义且连续，上的参数方程为X = 9。),y = ,(a t “，之0=10C交错级数：Z（T），明之0 =1 X002）级数收敛：若1%S=S存在，则称级数收敛，否则称级数Z发散 81 =1 = 1X0C3）条件收敛：2收敛，而ZWJ发散；
12、 =171=100绝对收敛：收敛。 =12、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；8882）级数Z%, Za收敛，则、（“ 士2）收敛； ”=1=1=1X3）级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；71 = 1004）必要条件：级数Z“收敛=lim乙=0.（注意：不是充分条件！） 8/1 = 13、审敛法CC正项级数：，%之。 =11）定义：！吧s = s存在； 002） 收敛OS有界； =100003）比较审敛法：、“，！“为正项级数，且“匕？（ = 1,2,3,） /|=1/?=1000C0000若！?收敛，则！收敛；若Z 发散，则发散/?=!n=l=1n=l00004）比较法的推论：Z“，为
13、正项级数，若存在正整数机，当 机时, /|=1/?=1x%kv“,而 收敛,=18则Z收敛；若存在正整数m ,当,加时,H = 10C8u“Nkv”,而Z匕,发散，则Z明发散. =171=1885）比较法的极限形式：Z%, !?“为正项级数，若阳;=（04/+8）, ?=1=1v nX0088而IX收敛，则收敛；若!吧;或阳；=+8,而！发散，则Z” =1/?=!v nv n/t=l=1发散.0086）比值法：Z“为正项级数，设吧看=,，则当/vl时，级数收敛; n=lUnn=l00X则当/1时，级数发散；当/=i时，级数Z“可能收敛也可能发散./1=1=10C 87）根值法：Z%为正项级数，
14、设1皿加“二/，则当/vl时，级数Z%收敛; /t=l100X则当/1时，级数Z%发散；当/=i时，级数Z可能收敛也可能发散./r=l=1008）极限审敛法：Z“为正项级数，若!叫小孙。或!吧,%=+8,则级数 /|=1 8X发散；若存在1,使得（0/+8）,则级数Z%收敛.=128=1交错级数:莱布尼茨审敛法：交错级数：Z（T）“，满足:=1心+18./? = 1任意项级数：008绝对收敛，则士明收敛。=1=18常见典型级数：几何级数：aq” =0收敛,发散,同V1同之18 10 -级数：n= 收敛,发散,P1P1（二）函数项级数001、定义：函数项级数Z“（x），收敛域，收敛半径，和函数;
15、=1X2、寨级数：Z%Xn=0收敛半径的求法：I吧伊卜夕，则收敛半径一，0 p +8 PH = 0, p = +8+ OQ,夕=03、泰勒级数8 f(n)(X )/W = y -A-(x-x0)n HmH(x) = lim一8?i-x=0尸(/? + !)!（一。严=0展开步骤：（直接展开法）1）求出）（幻, = 1,2,3,;2）求出/）（%）, =。,1,2,;3）写出二一丁（八一/）；=0！尸+1）4）验证则凡二但黄/（XT。严二是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）8 11)/=ZX，XG(-O0,+C0);/i=0 ,2)sinx = (1 严=012+l(2 +1)!,X(
16、-OO,+CO).3)81COSX =(_)+】 口“=o(2n)!x e (-o,+oo)4)5)I JL-二 Z /，X(-l, 1).1 - x =01 三.(-1)3, xe(-l, 1)1 + X =06)8 (-IYln(l + x) = V %n+I, xe (-1, 1=o + 17)114-X28Z(-1) /，xe(-l, 1)=088)(l + x)=+ Z=1大, A t (一 I，1JIV.4、傅里叶级数1）定义：正交系：Lsinx,cosx,sin2x,cos2x, .,sinx,cosx 函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间-匹4上积分为零。傅里叶级数：/)=
17、? + (？ cosnx + a sin nx) 2=i1 1系数：an= f(x)cosnxdx (n = 0, 1, 2,)Imbn = f(x)sinnxdx (n = l, 2, 3,)兀I、2）收敛定理：（展开定理）设f （力是周期为2的周期函数，并满足狄利克雷（Dirichlet ）条件:1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2）在一个周期内只有有限个极值点,则f （力的傅里叶级数收敛，且有x包 + ( % costly + sin )= 2“=i“X),x为连续点x为间断点3）傅里叶展开:1, 2,)1 r乃求出系数:an= /(x)cosA?xdx ( = 0, 丸I! r万bn= /Wsinnxdx ( = 1, 2, 3, ) 兀i写出傅里叶级数/(# = ? + a cosnx + bn sin nx).根据收敛定理判定收敛性。