高中ko讲义数学一.docx

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1、第2章数列舆级数81 Jf2- 3数薪内法.色帚纳法营帚纳法是封一些他别的事物群加觐察、言己金轧 探言寸道些他别事物的共同特性，然彳爰符所得结果推廉到其他未系墨觐察的同I事物中，优中概括出同I事物一普遍性的结谪。配合本P. 131-1La符自然数按下列规律排列，每一列比前一列多一他I数，如下表所示:第1列1第2列2、3第3列4、5、6第4列7、8、9、1 0第5列11、1 Q 1、3 1 4 1 5就求第100列第3(0数是多少?唐3就前5列所呈现的数值，可以值繇内出规律：(1)第n列有n彳固速的自然数(2)第n列的最彳麦一彳固自然蚣 1+2 + 3+-+ n 99故第99列的最彳麦一彳固自然

2、数卷 1 + 2 + 3+-+ 99=-2-( 1 +99 ) = 4950,所以第100列的第3彳固数是4950 + 3 = 4953演糠1.用覃位房的不朗察焊接如下圄系列的四面架，圄中的小圈圈。表示焊接黑占。Bl E-1有雨屑共4(0焊接黑占，M E-2有三唇共10(0焊接黑占，Bl E-3有四唇共 20(0焊接黑占。曲依此规律，推算圄 E-5有六唇共有多少他焊接黑占？ 91.指考乙H E-1 H E-2Hl E-3麴E-1有雨眉，共有1 + ( 1+2)彳固焊接黑占；H E-2有三JW,共有1 +(1+2 )+(1+2+3)彳固焊接黑占；Bl E-3 有四Jg,共有 1 + (1+2)+

3、(1+2+3) + (1 + 2 + 3 + 4)偃I焊接黑占；依此规律可推算Bl E-5的焊接黑接1 + ( 1 + 2)+( 1 + 2+3) + ( 1 + 2+3 + 4)+ ( 1+2+3+4+5)+( 1 + 2+3 + 4 +5+ 6)=1+3+6+10+15 + 21=56(1!)卜演糠2.用黑、白雨槿IS色的正方形地碟依照如下的规律排成若干圄形:拼第95(0圄需用到多少境白色地石-2fL2n的大正三角形内，共有n IS求 ai、a2、a3、a4。(2)找出an的一般式(用n表示)。.M1)ai=3, 32=3+2=3 ( 1 +2 )=9,83=3 + 2+3= 3 ( 1+

4、2 + 3 )= 18,a4=3 + 2W+34+4X3 = 3 ( 1 + 2+3+4 )=303n , 一 an=3 + 2X3+ 3X3+ nX3 = 3 ( 1 + 2+3+ n ) = 2- ( n+1 )他K位小正三角形,如果每(0K位正三角形的遏都是一根火柴棒，jtiS此遏H悬n的大正三角形共用了 an根火柴棒。图第1低1BI需用到1现黑色地石机 8境白色地石机往彳麦各Bl每增加1现黑色地石机需多加5现白色地石机因此第95低1BI需用到白色地碑共有8 + 5X94=478 (B )第2章数列典级数 83*数帚纳法段P ( n )表典自然数n有的叙述，如果(I) n=no畤，P (

5、 no )成立。(n0是某一低I固定的自然数)(2)若 n=k ( k no )畤，P ( k )成立，JW n = k+1 畤，P ( k+1 )也成立。那麽封一切自然数n no,叙述P ( n )都成立。 配合本P. 135 P. 136就利用数m帚纳法it明:封所有自然数n,12 + 22+ 32+-+ n2n ( n+1 ) ( 2n+1 )，区成立。0(i)常 n = 1 畤，12= 11? 1 + 1 ) ( 2X +1 ),所以原式成立(II) lz n=k畤，原式成立，即12+22+ + k2=k ( k+1 ) ( 2k+ 1 )12+22 + k2+( k+1 )2k (

6、k+1 ) ( 2k+1 )+ ( k+1 )(k+1 ) ( 2k2+k+6k+6)(k+1 ) ( 2k2+ 7k+ 6 )( k+1 ) ( k+ 2 ) ( 2k+ 3 ) (k+1 )( k+1 ) +12 ( k+1 )+1故n= k+ 1畤，原式也成立由(i)(ii)雨彳固步,骤知，封所有自然数 n,原式区成立演糠 3. 就利用数孥营帚纳法It明:封所有自然数n,13+23+33+-+ k3B( i)常 n= 1 畤，13= 1 =n2 ( n+1 )2412. ( 1 + 1 )24，区成立。,所以原式成立13+ 23+ 33+ + k3=k2 ( k+1 )(k+1 )2 (

7、 k2 + 4k + 4 )4第2章数列典级数89(k+1 )2 ( k+ 2 )2( k+1 )2( k+1 )+12=4=4，故n=k+1畤，原式也成立由(i )(ii)雨彳固步,骤知，封所有自然数 n,原式区成立-dM?L4就利用数m帚纳法it明：封所有自然数n, + 十 +1_ 1 _1 3 3 2. 1 + 1=-n 区成立。1.3 3. 5( 2n1 ) ( 2n+1 ) 2n+1所以原式成立(i)常 n = 1 畤,(ii) n=k畤，原式成立，即11. 3+ 1 + +3. 51_ k(2k 1 ) ( 2k+1 ) 2k+ 11一+1. 31一十十3. 511(2k1 ) (

8、 2k+ 1 )2 ( k+ 1 )12 ( k+1 )+1k1k(2k+ 3)+12k+1 + ( 2k+ 1 ) ( 2k+ 3 广(2k+ 1 ) ( 2k+ 3 )2k2 + 3k+1( 2k+ 1 ) ( k+1 )一(2k+ 1 ) ( 2k+ 3 ) ( 2k+ 1 ) ( 2k+ 3 )k+1k+ 1= ,2k+32 ( k+1 ) + 1故n= k+ 1畤，原式也成立由(i)(ii)雨彳固步,骤知，封所有自然数 n,原式区成立演糠 4. 就利用数孥营帚纳法It明:封所有自然数n,1111. 22. 33. 41n+=，区成乂。n(n+1) n+1(i)常 n= 1 畤,111

9、 一 .1所以原式成立1 . 221 + 1(ii)避:n=k 畤，11原式成立，即11. 2 + 2. 3 + + k ( k+1k+1一十十十十2. 3k(k+1 )(k+1 )( k+1 )+1k1 k ( k+2 )+1k+1( k+1 ) ( k+2 )( k+1 ) ( k+2 )(k+1 )2k+1 k+1(k+1)( k+2 ) k + 2( k+1 )+1故n=k+1畤，原式也成立由(i )(ii)雨彳固步,骤知，封所有自然数 n,原式区成立第2章数列典级数 91*一J!5就利用数m帚纳法it明：封所有自然数n,1. 2 + 2. 3+ 3. 4+n ( n+1 ) = 3n

10、 ( n+1 ) ( n + 2 )，区成立。(昼Mi)常 n = 1 畤，1. 2 = 2=4. 1. ( 1 + 1 ) ( 1+2 ),所以原式成立 3(ii) n=k畤，原式成立，即1 . 2+2. 3+ k ( k+ 1 ) = ；k ( k+1 ) ( k+ 2 ), JW 3n = k+1 畤，1 . 2+2. 3+ k ( k+ 1 ) + ( k+1 )( k+1 )+11=o k ( k+1 ) ( k+2 ) + ( k+1 ) ( k+2 )31=o ( k+1 ) ( k+2 ) ( k+3 )31、=v( k+1 )( k+1 ) + 1( k+1 ) + 2，3故

11、n= k+ 1畤，原式也成立由(i)(ii)雨彳固步,骤知，封所有自然数 n,原式区成立演糠 5. IS利用数孥营帚纳法It明:封所有自然数n, 一一 一一11. 3 + 2. 4+3. 5+ n ( n+2 ) = 1n ( n+1)( 2n+7)，区成立。一、1电(i)常 n= 1 畤，1. 3 = 3 = y. 1. ( 1+1 ). ( 2X1 + 7 ),所以原式成立(ii)避:n=k畤，原式成立，即1 口1. 3+2. 4 + 3. 5 + k ( k+2 ) = yk ( k+1 ) ( 2k+ 7), JWn= k+1 畤，1. 3+2. 4 + 3. 5+ + k ( k+2

12、 ) + ( k+1 )( k+1 )+21=6 k ( k+1 ) ( 2k+7 )+( k+1 ) ( k+3 )1.=5(k+1 )k ( 2k+7 ) + 6 ( k+3 )121=6( k+1 ) ( 2k2+13k+ 18 ) = 6( k+1 ) ( k+ 2 ) ( 2k+ 9 )1、=6( k+1 )( k+1 )+12 ( k+ 1 ) + 7，故n=k+1畤，原式也成立由(i )(ii)雨彳固步,骤知，封所有自然数n,原式区成立第2章数列典级数95-6ilqISn悬自然数，浦t 3. 52n+1 + 23n+1，仰17的倍数an=3. 52n+1+23n+1(i)常 n

13、= 1 畤，ai=3. 53+24=391 = 17X23,所以 a1是 17 的倍数(ii)避:n=k 畤，ak是 17 的倍数，即 3. 52k+1 + 23k+1 = 17m, m是自然数，JW3. 52(k+1)+13(k+1)+1=3X25X52k+1+ 8X23k+ 1= 8 ( 3, 52k+1 + 23k+ 1) + 17X52k+ 12112J1=8X17m+ 174X51 = 17 ( 8m+3X51 ),所以ak+1也是17的倍数由（ii）网固步骤知,封所有自然数 n, an 17的倍数卜演糠6.段n悬自然数，副潢32-1 + 52.1，仰16的倍数。an=32n+1 +

14、 52nT(i)常 n= 1 畤，a1 = 33+5=32=162,所以 a1是 16 的倍数(ii)避：n=k畤，ak是16的倍数，即32k+1 + 52k 1 = 16m, m是自然数，32k+1= 16m52k 1, 1IJn= k+1 畤，32k+3+52k+:9 32k+1+25. 52k 1=9 ( 16m-52k 1 )+25. 52k 1 =9. 16m 9. 52k 1 + 25. 52k 1=9. 16m+16. 52k 1 =16 ( 9m+52k1),故门=卜+1畤，ak+1卷16的倍数由(i)(ii)雨步骤知,封所有自然数 n, an 16的倍数强数列 an 满足 a

15、1 = 1, an+1 = 2an+ 1。就推测数列 an的第n：S （用n的式子表示）（2） 就用数孥营帚纳法It明（1）中推测的结果o(1) 31=1=21-1,82= 2ai+ 1 = 3 = 2 1,a3=2a2+ 1 = 2X3 +1 = 7= 23- 1,a4=2a3+ 1 = 2X7 + 1 = 15= 24-1,由此推测an = 2n-1(2) (i) n= 1 畤，ai=1 = 21-1(11) n=k 日寺，ak = 2k-1, |ijak+1=2ak+1 = 2(2k- 1 )+1 =2k+1- 1,故口 = 1自然数，32k+ 1 = 7m-2k+ 2, 即J n=k+

16、 1 畤，ak+ 1=32k+3 + 2k+3=9, 32k+1+2. 2k+2=9 ( 7m-2k+ 2) + 2. 2k+2=9. 7m7. 2k+2=7 ( 9m-2k+ 2)由(i)(ii)雨步骤知,封所有自然数 n, an，悔卷7的倍数8SL8、/1111 ,就遹： 彳 + 干 + 产2_n基寸所有自然数n，区成立。111112十22+k2+(k+1 )212-7+117n2。OMi)常n=5畤，25=3225 = 5；故原不等式成立(ii)避:n=k ( k5 )畤，原不等式成立，即 2kk2, JWn= k+1 畤，2k+1 ( k+1 )2 = 2. 2k ( k+ 1 )22

17、. k2-( k2+2k+1 )= k2-2k- 1 = ( k-1 )220 (因 k5 ),得2k+1( k+ 1 )2,故n = k+1畤，原不等式成立由(i)(ii)雨步骤知，封所有自然数 n 5,原不等式区成立第2章数列典级数99自我糠雪题1.符大小相同的BI板排成右I1的I1案，由内而外，第一屑1 11,第二屑排成正六遏形，每遏 2(0, 第三屑排成正六遏形，每遏3(0,如此共排了一懵 二旧20,言青曲共用了多少他圄板？解：第1唇1帆第2唇6帆第3唇6X2帆. .第20眉6X19低1,所以共用了 1 + 6+6X2+64+ 6 M9= 1+6 ( 1 + 2+ 19 )= 1 +

18、6X19(1 + 19 )= 1141 固)2.有一孥童符同檬大小的正立方H稹木堆稹如右圄,由上往下数，第一唇堆一他I,第二唇堆三低I,第三唇堆六他，如此共堆了 20屑。言青曲:(1)第20屑有黑他I稹木？余恩共用了多少他稹木？解：(1)第1唇堆1帆第2唇堆(1+2 ) = 3 (彳固)，第3唇堆(1+2+3 )=6 (彳固),20 ( 1 +20 )以此舞(推，第 20唇有1 + 2+-+20 =2=210 U固)稹木(2) 20唇共堆了1 + ( 1+2 ) + ( 1+2+3 )+ + ( 1 +2+3+ 20 )2020 k ( k+ 1 )1 202=乙(1+2+k )=乙 2= 2

19、 乙(k+k )3. 就利用数孥营帚纳法It明：封任意正整数 n, 12 - 22 + 32 - 42+ - - ( 2n2 )2+( 2n1 )2=n ( 2n1 )。耋柬高中瞪：(i)常n=1畤，12=1X( 2-1 )，所以原式成立(ii)避:n=k畤,原式成立，即12 22+ 3242+一(2k 2 )2 + ( 2k 1 )2= k ( 2k 1 ), JW13 22+ 3242+一(2k 2 )2 + ( 2k 1 )2( 2k )2+( 2k+ 1 )2=k ( 2k 1 )-( 2k )2+( 2k+1 )2= 2k2-k-4k2+4k2+4k+1= 2k2+3k+ 1 = (

20、 k+ 1 ) ( 2k+ 1 )=(k+1 )2 ( k+1 )1,故n = k+ 1畤，原式也成立由(i)(ii)雨步骤知，封所有正整数 n,原式，悔成立4. 就利用数孥营帚纳法It明:封所有自然数n,IS( (i)常 n = 1 畤,2X55 刈8X11111二 区成立。(3n1)( 3n+ 2 ) 6n+ 4(ii)避：n=k 畤,2X5 10 原式成立，即6X +41所以原式成立2X5 + 5X8 + 8X11 + +12X5 + 5X8 + 8X11 + + ( 3k- 1 ) ( 3k+ 2 ) +(3k- 1 ) ( 3k+2 ) 6k+4 即13( k+1 )13 ( k+1

21、 ) + 2k1k ( 3k+5 ) + 26k+4 ( 3k+ 2 ) ( 3k+5 )2 ( 3k+2 ) ( 3k+5 )3k2+5k+2( k+1 ) ( 3k+2 )k+1k+12 ( 3k+2 ) ( 3k+5)2 ( 3k+ 2 ) ( 3k+ 5 )6k+ 106 ( k+1 ) + 4故n = k+ 1畤，原式也成立由(i)(ii)雨彳固步骤知，封所有自然数 n,原式区成立5. IS n悬自然数，浦t: 42n+1 + 3n+2 13的倍数。S:an=42n+1 + 3n+2(i)常 n=1 畤，a1 = 43+ 33= 91= 13X7,所以 a1是 13 的倍数(ii)避

22、:n = k畤，ak是13的倍数，即42k+1+3k+2= 13m, m是自然数，JW42 ( k+1 ) +1 + 3(卜+1)+2=423 + 33=16.42-1+3. 3k+2= 13. 42k+1 + 3. ( 42k+1 + 3k+2)= 13. 42k+1 + 3. 13m= 13 ( 42k+1 + 3m ),所以ak+1也是13的倍数由(i)(ii)雨彳固步骤知，封所有自然数n, 42n+1+3n +2,反悬13的倍数6. 就利用数孥营帚纳法It明： 1111 2n ,基寸所有自然数 n,彳+万+勺+ +，仰成立。济（i）常n= 1 畤,12 X1干=1 =,所以原式成立11

23、 + 1(ii)n= k 畤,原式成立，即1 2k十十可十十忆丁，2kT+E+W十十口十二?十二7二F2k+ 1 因.k+12 ( k+1 )( 2k+ 1 ) ( k+2 )-2 ( k+1 )2(k+1)(k+2)(k+1 ) ( k+2 )2k+12 ( k+1 )故,k+11111於是1 + 2+3 + k+k+12k+12 ( k+1 )k+1k+22 ( k+1 )一(k+1)+1 所以n=k+1畤，原式也成立 由（i）（ii）雨彳固步,骤知，封所有自然数 n,原不等式区成立第2章数列典级数103L52)a粽合穗雪1.在等差数列 an中，a1 + a100= 50,求a50+a51

24、之值。解：避:公差d,由 a1+a100 = 50,得 a+( a +99d ) = 50,即 2a1 + 99d=50, 故 a50+ a51 = ( a1 +49d )+( a +50d ) = 2a +99d=502.某巨蛋球埸EK共有25排坐位，此K每一排都比其前一排多 2他I坐位。小明坐在正中那一排（即第13排），樊琪此排共有64（0坐位，求此球埸E癌共有多少他坐位?解：每排的坐位数恰成一等差数列,首项卷a,公差d = 2,252a + ( 25 1 ) d= 25X( a+12d ) = 25X64=1600 ( H )3.已知一等差数列共有十且知其奇之和悬15,偶之和悬30, J

25、W下列哪一悬此数列之公差?(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5解：避:公差卷d,即a1 + a3 + a5 + a7 + a9=a2 + a4 + a6 + a&+ ao =15 III30|得 d + d+d+d + d=15,得 5d=15, 故 d = 3, il(C)4. 一等比数列共有十（每一皆数），且知其奇之稹悬15,偶之稹悬480,刖卜列哪一他1逗项悬此数列之公比?(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5解：避:公比卷r, JWa a3 a5 a7 a9= 15|a2 a4 a6 a8 a10= 480 |得5=32= 25,故 r = 2, i1(B)5

26、 .某次球比赛共有128位逐手参加，探覃淘汰制，每输淘汰一半的退手,剩下一半的退手迤 入下一输。在第1输被淘汰的逐手可攫得1葛元，在第2输被淘汰的逐手可攫得2离元， 在第k输被淘汰的逐手可攫得2离元，而冠窜刖可攫得128离元，的全部比赛奖金共 有多少离元？1羊：比骞樊金共有64X1+ 32X2 + 16X22+ 8 27= 64X7+ 128=576 (离元)6 .在等比数列an中，a1 =1,a4=2yj5,an+2= an+1+an,n 1,求an的公比。解：避:公比卷r,an+2 = an+1+an,得 a1rn+1 = a1rn+a1rnT,r1 2=r+1,即1 5r r 1=0,解

27、得 r = -2，a4= a1r3= r3,故r3 = 2-，万V0,所以r=1 j57 .四他I正数a、b、c、d中，a, b, c成等差数列；b, c, d成等比数列，已知a+b+c= 12, b+c+d=19,求此四教。解：因 a, b, c 成等差，故 2b=a+c, 3b=12,得 b = 4,c= 4r, d = 4r2,3 ,、5即j4 + 4r+4/= 19, 4r2 + 4r 15= 0, ( 2r 3 ) ( 2r+5 ) = 0,故= ”或 r = ”,3但r0,得二万，於是 c = 4r = 6, d = 4r2=9,而 a = 2,32al 1 +-32n- +-=

28、2, 求 3a+ b 之值。所以 a=2, b=4, c=6, d = 98 .段a典b均悬im,若_3+号+33+34+33 +bba b34 + 32n 1 + 32n +=232、,a)+( 33 +ba b34 )+十(32n 1 + 32n) + ,= 2a b3十 Ta b3+9a b3+9）1十卷十十（1）n1 +1 a b11 a b) + y(y + )+ -+ (-1)n 1(5+? )+-= 23a+ b 故916即 3a+ b= 169 . IS一凸多遏形各角之度量成等差数列，已知最小角是 120。，公差是50,求遏数。解：避:遏数卷n,即n彳固内角和卷y2X120。+

29、 ( n- 1 )X5。=180X n-2 ),整理得 n225n+144 = 0, ( n-9 ) ( n16) = 0,故 n = 9 或 n = 16(1)若 n = 9 畤，最大角=120 +( 9-1 )X5 = 160(2)若 n = 16 畤，最大角=120 +( 16- 1 )X5 =195,不合所以遏数 9第2章数列典级数10710.K察右列3M典4X4方格中的数字规律：如果在10M0的方格中，仿右列的规律填入数字，JW所填入的100dI数字的余恩和是多少？解：符方格想像成共10 B的堆架：最底唇（第一唇）有10X0彳固1 ;第二唇有9X9彳固1;第三唇有8X8彳固1;依此I

30、推，最上唇（第10B ）有1 X彳固1,所以10唇的数字和是12+22+32+ - + 102=-6-. 10. 11. 21 = 38511.、. n 2222sn= z ak=5- + 京 + -53- +-+ 守，刖 k=1 S= lim Sn=。 ，n fco-1(2)若| S-Sn |500, 因 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625,故最小自然数n=4IS C1悬K位BI （半彳至悬1 ）, T1悬C1之内接正三角形，C2悬T1之内切BI, T2悬C2之内接正三角形，依此I推。令ai表Ti之面稹, 解：正三角形T1中，遏晨悬yjl ,故 a1 =

31、J .后.I-= -4-3,1 -，一1又OA三2即C2的半彳络悬 ,一，3於是T2的 ,a21a3a411 二彳，同理至=丁 =彳，0cb 3 L 113 ；E 1所以 Z 8 =彳/ ( 1+7 + 76+ ) = 4 x-= . 313 .若瓢等比级数 1 + ( 3x+ 2 )+( 3x+ 2 )2+ - + ( 3x+2 ).1 +收敛，其中 3x+24(1)求x的靶机。(2)若此级数的和，求x之值。3解：(1) | 3x+ 2 |v1 且 3x+ 2%，即1v3x+2v1 且 xw-2,3故得1Vx V !, 312 1-( 3x+2 ) 3 56x 2=3,故 x= - 614

32、. ig n是自然数，且nx2。、1111(1)后式求(1 彳)(1-9) ( 1-76) - ( 1彳)的结果(2) 就利用数孥营帚纳法It明(1)的结果-1111n2- 1XX 2 n解：(1) ( 1一%)( 1)( 176) 一( 1苒)22- 132- 14 (i)常n = 2畤，1 tt = =,故原式成立242X2(ii)n=k畤,原式成立，即1111 k+ 1(1-7) ( 1-T) ( 1-布)-(1-记)=丁，即n = k + 1 畤，11111、(1-7) ( 1-T) ( 1布).( 1记)17；777- 122 X 32 X 421 32% 3X5二亍x x(n 1 ) (n+ 1 )1 n +1n+1=x=k+ 1 =2kk+ 1 =2k11-717(k+1 )212 (k+ 1 )22 n2nk+ 1 k ( k+2 )2k X ( k+ 1 )2k+ 2( k+1 )+1=2 ( k+1)2(k+1)故n= k+ 1畤，原式也成立由(ii)雨步骤知,封自然数n 2, (1)中所求的结果区成立13+23+ k3+( k+ 1 )3k2 ( k+ 1 )23=4+( k+ (ii) 1 )=1 2020120X21 必120X21= -2(2k1 2+ Z k ) = y(6+2)= 1540 (彳固)稹木1- 9i=11 4