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1、专题训练（六）_ “三线合一 ”好解题?类型之一证明线段相等1.已知：如图6-ZT-1所示，在等边三角形 ABC的AC边上取中点 D, BC的延长 线上取一点 E,使CE=CD.求证：BD = DE.解析欲证BD = DE,只需证Z DBE = Z E.根据等腰三角形的 “三线合一 ”和等边三角 1一， 一一 形的性质可得/ DBE =Q/ABC =30 .再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得/ E= 30.由此可得结论.证明：ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，BD AC , BD平分/ ABC ,1，,，一 ,.ZDBE = 2/ABC = 30.（等腰三角形的三线合一 ）
2、.CD = CE, .1.ZCDE= / E.ZACB 为4CDE 的外角，/ACB = 60 , .zCDE + ZE = 60. .zCDE = ZE=30.又. / DBE = 30 , BD = DE.（等角对等边）2.如图 6-ZT-2 所示，点 D, E 在4ABC 的边 BC 上，AB = AC , BD = CE.求证：AD = AE.A图 6-ZT- 2解析本题可通过全等三角形来证线段相等.在 ABD 和 4ACE 中，已知 AB = AC,BD = EC且/B=/C,由此可证得两三角形全等，即可得出AD = AE的结论.也可根据等腰三角形三线合一来证明.证明：过点A作AF，
3、BC于点F.图 ZT 6 1,. AB=AC, AJBC,BF= CF.（等腰三角形底边上的高是底边上的中线）又 BD= CE,BF-BD=CF-CE,即 DF=EF,. AF是DE的垂直平分线，AD = AE.?类型之二证明两线垂直3.如图 6ZT3 所示，在 ABC 中，AB = AC , / ABD = / ACD ,求证：AD BC.图 6-ZT- 3解析首先证明/ DBC = / DCB ,可得 DB = DC ,再加上条件 AB=AC,公共边 AD =AD ,可利用 SSS证明ABD AACD ,进而得到/ BAD = / CAD ,再根据等腰三角形 顶角的平分线与底边上的高线重合
4、可证出ADLBC.本题通过证明 AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法.证明：延长 AD 交 BC 于点 M , . AB = AC ,ZABC = / ACB.又/ ABD = / ACD ,BC / ABD = / ACB / ACD ,即 / DBC = / DCB , . DB = DC.AB = AC , DB = DC ,.AD是线段BC的垂直平分线，AD BC.B M C图 ZT 6 2，一.1 ,4.如图 6-ZT-4,在ABC 中，AB = AC , D 为 AC 上一点，/ DBC =,2BAC.求证:AC BD.图 6-ZT-4解析首先过点 A作AEBC交BC于点E
5、,交BD于点F.由AB =AC ,根据等腰三1一，1，角形 二线合一 的性质，可彳#/CAE=2/BAC ,又由Z DBC =-ZBAC ,在4ADF与4BEF中，易证得 Z ADF= Z BEF = 90 ,即可得ACBD.证明：如图ZT-6-3,过点A作AELBC于点E,交BD于点F.图 ZT 6 3,. AB=AC, AE BC,/ CAE =，/ BAC.（等腰三角形的“三线合一” ）又. / DBC=1/ BAC , 2 ./ CAE = Z DBC. / 1=/ 2, / ADF = 180 -Z 2-Z CAE, / BEF= 180 -Z 1-Z DBC, ./ ADF =/
6、BEF. AEXBC, ./ BEF =90 . ./ ADF = 90 .-. BD AC.?类型之三证明角的倍分关系5.已知：如图 6 ZT 5所示，AF平分/ BAC , BCXAF,垂足为 E, AE=ED, PB 分别与线段 CF, AF相交于点P, M , / F= /MCD.求证：/ BAC = 2/MPC.B图 6-ZT- 5一 ，一，、一1一，,一 ，一解析先由AF平分/ BAC证明/ BAE =/BAC ,再根据等腰三角形三线合一 和1 一一，一线段垂直平分线的性质证明/ CDE = / BAE.从而/ CDE = ZBAC.然后在 MDC 和 MPF1中证明 / MDC
7、=/MPF.进而得 /MPF = /MDC , /MPC= Z CDE = 2 ZBAC 即可.证明：.AF 平分/BAC, BCXAF,1 ./BAE =/CAE=2/BAC , CE=BE.CEXAE , AE = ED,. AC = CD.一 ，1，zCDE = / CAE = 2/BAC.1 .BCXAF , CE=BE,. CM =BM.zCMA = / BMA.又. / BMA = / PMF,2 .zCMD = ZPMF.又. / F= / MCD ,/MPF= 180 -(Z F+ Z PMF) , ZMDC = 180 -(/MCD + / CMD), .dMPF= / MD
8、C.1皿PC = / CDE = / CAE =2ZBAC.zBAC =2/ MPC.?类型之四 证明线段的倍分关系6.如图6-ZT-6,在4ABC中，AB = AC ,点E为BC上一点，EDLBC于点E,交CA的延长线于点 F,求证：AD = AF.图 6-ZT-6解析方法一：由AB=AC,根据等边对等角的性质，可得/B=/C.又由DEXBC,根据等角的余角相等和对顶角相等，可得ZF=ZADF,又由等角对等边，可证得 AD =AF.BEG C图 ZT 6 4方法二：过点 A作AGLBC,由等腰三角形的“三线合一”可得/ BAG =Z CAG.再由平行线的性质证明/ F=Z CAG , / A
9、DF = / BAG .进而可得结论.证明：（方法一）AB =AC ,，ZB = /C.DEXBC,，zC+/F=90 , zB+/BDE = 90.zF= ZBDE.1 . zADF = / BDE ,.zF= / ADF. AD =AF.（方法二）如图ZT 64,过点A作AGBC于点G,. AB = AC ,/BAG = / CAG.（等腰三角形“三线合一 ”）. AG BC, ED BC. AG /EF.zF= Z CAG , ZADF = / BAG.zF= ZADF. AD =AF.7. 2013五河期末改编如图6ZT 7所示，过等边三角形 ABC的边AB上一点P,作PE AC于点E
10、.Q为BC延长线上一点，且 PA= CQ ,连接PQ交AC边于点D. 求证：（1）PD=DQ;1 (2)DE = 2AC.图 6-ZT- 7解析过点P作BC的平行线交 AC于点F,通过证明4PDF和4QDC全等，可推出 PD=DQ;1.一（2）由4APF是等边二角形和 PE AC ,可推出 AE = EF =外5.由 PDF和 QDC全等,一,r ,1可得出FD= CD = 2FC,进而可得 DE的长.证明：（1）过点P作PF / BC,交AC于点F.图 ZT 6 5.ABC 是等边三角形，/ B = Z ACB = 60 . 又 PF/ BC,2 .Z APF=Z AFP = Z B = Z ACB =60 .APF 是等边三角形.PA=AF=PF.又. PA=CQ,，PF=CQ. PF/ BC,FPD=Z Q.在 PFD和 QCD中，/ FPD=Z Q,/PDF=/QDC,PF=QC,， PDFA QDC.(AAS)PD=QD.1(2)由知PA=AF,又 PELAC,. AE = EF=AF.(等腰三角形的三线合一 )1由知 PDF口QDC,FD = CD=FC.1111 . DE = EF + FD = -AF + 产=(AF + FC) = AC.