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1、高等代数习题答案(一至四章)第一章多项式习题解答1、(1)由带余除法，得=*工)=一个一(2) q(x) = x2 +X-19r(x) = -5x+ 72、(1)p + l + nr = 0 q-m = 0(2)由Vm(2-p-nr) = 0 q + l- p-m =0m=Q 或, p = q+iq = ip + in2 =23、(1)q(x) = 2x4 - 6x3 + 13x2 - 39x +109, r(x) = -327(2)4、(1)有综合除法：/(x) = 1 + 5(x-1) + 10(a-1)2 + 10Cy-1)3 + 5(%-1)4 + (x-1)5q (x) =x2-2/
2、x-(5 + 2/), r(x) = -9-8z(2)/(x) = 11 - 24(x + 2) + 22(x + 2)2 - 8(x + 2)3 + (x + 2)4(3)/(x) = 24(7 + 5i) - 5(x + /) + (-l-z)(x + i)2 - 2/(x + /)3 + (x+/)45、(1)x+1(2) 1(3)r2 16、(1)2 、 2U (X ) =-X-l , V (.x) =x+2(2)= - A + , U(X)= X X-1(3)u (x) =-x-l, v(x) = x3 + x2 -3x-27、“=或r = 2u = -2t = 38、思路：根具定义
3、证明证：易见d (x)是f (x)与g (x)的公因式。另设奴x)是f (x)与g (x)的任意公因式，下证仪x)，(x)。 由于d(X)是f (x)与g(X)的一个组合，这就是说存在多项式S(X)与t(X),使d(X)=s (x) f (x) +t (x) g (x)。从而奴x)|/(x),或x)|g(x),可得次x)|d(x)。即证。9、证：因为存在多项式 U(X), V(X)使(f (x), g (x) =u (x) f (x) +v (x) g (x),所以(f (x), g (x) 11 (x) = u (x) f (x) 11 (x) +v (x) g (x) 11 (x),上式说
4、明(f (x), g (x) h (x) 是f (x) h (x)与g (x) h (x)的一个组合。另一方面，由(/(x),g(x)|/(x)知(/(x),g(x)M(x)|/(x)/?(x)。同理可得(f(x),g(x)M(x)|g(x)/?(x)从而(/(x),g(x)/?(x)是|/(工)人(工)与 g(x)/?(x)的一个最大公因式，又因为(/(x)，g(x)|(x)的首相系数为 1，所以(/(x)/?(x),g(x)/7(x) = (/(), g(x)(x)。10 .证 存在 U (x), V(X)使(戈)=”(工)/(五)一】.(x)?。)有因为 f (x), g(X)不全为 0
5、, 所以(/(x)g(x)w0，由消去律可得I = (幻. /%)+ )幽(/ g)=(/(现 g(x (/(顼g )所以 (/(x), g(x)g(jc)。1L由上题结论类似可得。12 .证由假设，存在叫巾及，(X)/2)使/(X)/(X)+ n*)耳(2=1 (1)的.)/()+吗(为力(工)=1(2),将(2)两式相乘得(x)2(x)/(力+(x)%(x)g(x)+/(x)v2(x)A(x)/(x) +“&凡(x)g(%M(x) = I 所以(/(x),g(x)/?(x) = l13 .证由于(/(立昌5)= 1 (1 3, & 3) = 1 (X)=1反红应用第12题结论，可得& (x
6、)g2(x)g”(x) = l同理可证(力(立品 O)&*)gQ)= 1 (九名住息-多)=从而可得(/。)以工者心瓜&(力)=114 .证 有题设知/(x),g(x) = l,所以存在 v (x), V(X)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=l 从而u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=l 即u(x)-v(x)f(x)+v(x)f(x)+g(x)=1 所以(/(x),/(x) + g(x) = l 同理(g(x),/(x) + g(x) = l 再有 12 题结论，即证(/(x)g(x)J(x)+g(x) = l-1土万15 、。216、(1)由x-2
7、得三重因式(2)无重因式。一 15117、当t=3时有三重根x=l,；当t=由二重根X = 一4218、4s + 27q = 019 a=L b=-2 o八 X）= 1+X +襄 2+/（X）= f（x）-i- - xn20、证因为f（x）的导函数2!（”1）! 所以m 于是(/(Y) J。)二J(Y)二J3) = 111 -11 从而f(x)无重根。/（工）=学广由于a是/“X）的k重根，故ag（X）=三仆）-白八 X）121、证因为 22 是g“（H）的k+I重根。代入验算知a是g （x）的根。所以s-2=k+l=s=k+3,即证。22、证 必要性:设戈。是f（x）的k重根，从而是,（X）
8、的k-1重根，是/（X）的k-2重根。，是 的一重根，并且不是尸的根。于是/）= /）= /（入）=,而。充分性由f-&）= 而/,知/是尸.的一重根。又由于一（/）二,知是 /伊幻的二重根，以此类推，可知/是f （x）的k重根。23、解：例如：设/（x）=LVl,那么/（町=/以。为m重根。/H + 124、证要证明就是要证明f （1） =0 （这是因为我们可以把炉看做为一个变量。有题设由dW）,所以/（1）二 也就是f=0,即证。25、当n为奇数时，H-1+1xn -l = （x-l）x2 -（e+n）x+Yx2-（e2 -,l2）x+Yx2 -（s 2 +e 2 ）x+l当n为偶数时/r
9、-1+lXn-l = （X+ l）（X - l）x2 -+ n ）X + 1 x2 - （e2 - 2 ）X + 1x2-（S + 亏）=+127、（1）利用剩余除法试根：有一有理根：2（2）有两个有理根：-白，-22（3）有五个有理根：3, -1, -1, -1, -lo28、（1）因为1都不是它的根，所以犬+ 1在有理数域里不可约（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2,则侧多项式在有理数域上不可约。（3）不可约(4)不可约(5)不可约第二章行列式习题解答1、均为偶排列2、(1) 1=8, k=3(2) 1=3 k=63、解：1234521435 L羽 25431 L .25341.4、当n=4
10、k, 4k+l时为偶排列当n=4k+2,4k+3时为奇排列5、26、正号7、一41。23%2。44，一2。23。3441 一8、(1)原式=(-1)=加，(2) =(一1)1！(3) =(-1)-5-！9、解：行列式展开得一般项可表示为列标八八八只可以在123,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式 中每一项的乘积必为0,因此行列式只为零。10、解：含有X4的展开项中只能是空。33。44,所以X4的系数为2；同理，含有炉的张开项中只能是。12%。33。44,所以r的系数为“。11、证：有题设，所给行列式的展开式中
11、的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0,这说明带正号与带负 号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决 定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带 符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。12、解(1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有X,所以若该行列式的第一行展开时含有的对1 q .q Cl a?- 2应项系数恰为(-1)T乘一个范得蒙行列式Ai =12, 4. = 615、(i)A” =6 Ar=，A”=o，Aa=o,X A4 . JX A3 =o
12、A4=o, A31=15, Ar =-6, A“=-3,44 =0,=7，=0, A, =1, A,. =-2A31=-5, 432=5,怎=5, A34 =0o(2) A=7, A)=-12, A3=3,=6 A” =4, A7=-l,13316、(1)1(2)(3) -483(4)-12817、(1)按第一行展开，原式=X”+(1严)严。(2)从第二列起个人列减去第一列：当n=l时，原式=q -当n23时，原式=0,当n=2时，原式=(% q)(4一),(3)( xi - in)(-ni)n 1 1=1(4)(-2) (n-2)!(5)各列加到第一列得：(一1)1( + 1)( 1)!18
13、、提示：(1)分别将第i (1=2,3n+1)行乘以加到第一行一一- %(2)从最后一行起，分别将每一行乘以x后加到起前一行。(3)导出递推关系式(4)同(3)(5)解：左边=1001+1111 +a2 1 1 1 1111 1-1 %一】0 10生 100 100 1y 40014010“2011. 1+%1-100.%01 1 *1 *111 11+4一】00000019、(1) d=-70, 4 =-70,乙=-70, 4=-70, d. =-70(2) 6/=324, 4=324, J. =648, d-324, d. =-6484.J(3) d =24, 4=96, d.=-336,
14、 4=-96, d-168,4=312(4) 6/=665, 4=1507, d,=-U45, J, =703, J =-395,4=212上.JrJ4 10574229/ 37 d4 794 212v * V v . V , 3 A.- A- -4 人 0-d 665- d 133 d 35 d 133 d 66520、证明：由/=得Co +clal +,+*qt =b卜(|+。1%+。2生*= b?I/+GC/斤+= bn这是一个关于以，的线性方程组，且他的系数行列式为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。21、13.5613.48第三章 线
15、性方程组 习题解答（5）无解（6）无穷多解1、（1）无穷多解（2）无解（3） （-8,3,6.0）（4）无穷多解2、（1）夕=（q+ ；%一4一；& B = ac（33、证有题设，可以找到不全为零的数&使用因+治 +尤4+% = 显然（十产。事实上，若a二,而人人，人不全为o,使尢囚十七4十十左必二成立，这与4,线性无 关的假设成立，即证故=一亡巳即向量少可由4,%，巴线性表出。4、证 设有线性关系匕%+幻%+ + %,二。带入分量，可得方程组%勺+%用+ + 收* 二3二口,.,/?），所以许 +24%+ ”(Z*A)，Z/X”，EM)47+% + . + %,仍是方程组的一个解。即证。第四
16、章矩阵1、解：（1）-17+b+ca + b+cAB BA = (%)3x32、2,a2 + b2 +/2ac+b2a+h+c2ac + b2a2 + / + /4+b+c /箕中 %i=b-ac，AB BA =a+ac+cBA =-a+ ac + c2a+ /-2、0-2 Jb + ab + c2b + b?/? +加+ c2e+1、 c+ab+bc+ac + aal2=az -b2 +c2 - b-ab-cf %3=b +2ac-a -2ca -be11生2 = 2ac-2b，生3 = c/+2+C2, a3l = 3-c2 -2a， tz32 = c-hc.2、z21) 3I。z792)
17、32-4 -2、4-2、8,（3）采用数学归纳法，可证2、,1 110 1/（0 1事实上，当n=2时有11结论成立。当n=k-1时归纳假设结论成立，即(4)采用数学归纳法：可证i n ri d【0i0cos 夕-sincosn伊isine cos) 、sin砂 sin 碎cos,侬 J事实上，当n=2时，有飞0，0-sine _ zcos2(5-sin2 单cos J 、2cos(9sin-cospginp zcos2c? -sin20、cos2(5-sir(5, Sin2。 cos2) 结论成立。当n=k-l时，有教学归纳法成立，即“cos 3 -sin 0 丫 t % os(A-l )、
18、sE cos(3 J (sin(A-l)0-sin(A-l)cos(4 -1)于是当n=k时有cos. -sin。 cos。,Sing cos。J sin i-i /-sin。 cos。cos 9 J sin。-sin。)C0S(9 )zcos(-)(9vsin(A - 1)夕一in(kT)p) jcop -sin夕)cos(&-)p , (inp cos夕 JJ其中* = cos伏-113 cos (fl - sin(A -1) sin =cos同理可得/% % bJ6)(x, y7 )q2 的仇 C 仇C Jx2 = -sin ? x? =wnkw, 工” cojktp 因而有cop -s
19、inV /co$呻-sin in cos(5? J ($inw cos”.0、=m戈+ %少+/4产 +%2)+N4x + 4,+c) yJ1=+ 2丘町:十22)尸 + 2BX + c7）注意到/ -1-】-11-1-1-iV-I-I2000040000400、003=22000010000100、00这意味着.若令-4 =r 1-1-1-1-11-I1-1-I-1-1-1-1;-1-1JT分两种情形讨论为偶数.印刀二2女，于是An = A2k = ( A2 )k= E = 2nE为奇数.即 = 2A + 1 ,于是An = Al = (A2yk A = 2 EA = TAI 2.丁4n=
20、2kn = 2A + (8)采用数学归纳法可证-jiA(叱0、,事实上当n=l时，结论显然成立，现在归纳法假设(m-1)(m-2)3A2(H-)An2J H-l r./于是葭i oymm-叱-0 z 1 = o犷vo O zj 00结论成立3、解1)2 1 1? f2/(J)= 3 12-3J 一 oj118 2 4 = 112 5-3、T 0 -b J -(2),(2 1) f 2 1)/(4)=-5+31-3 3 J 1-3 3j4、fO H(a解1)若记力=E+，并设6二10 oj卜r0 lYa by(a 6Y0于是10 oJL(a b8 =可交换的矩阵为 10 ”J其中，(2)同理记r
21、000 QA=E+ 002B= 437i必V2与并设l -勿-3、1心成 z2/t 1020x1=0 乃那 to o 口 o o 7J11 勺0 0、1 2-010-i oj、0 0 I,P 勺 0 0、,513、2-0 1 0=8 0 31 ”10。】J12 1 -2,q0、7-5J 30-5 +3OA 仅o01一1512/1-155)to3,1=00阿上/丁六%rn仅n)仅八a0,与力可交换，即 E+=E +d)(1。儿 d) (c d)(0 Ojj、.，c d,0nIo o I-,o o)町，所以J故c=0, a=d, b任意，从而所有与Aa, b为任意常数。b cyh 。b2 C2Jr
22、oob仇h2c2于是0010、2 I u所以02d0243b + h + A I2b + c、 g + C 2% +c /比较时应的（i, j）元，可得2,c =。生= 2i ,于是所有与A可交换的矩阵为k &一针1q32C,I 2C16LIA + c.2 其中牝C为任意常数.“b匕,9iOabc、bC、，03）设3二qaq与A可交换，即001albq一alb,G09A%）e00,eb,Jb,JgJ0100、0、1于是所以所有与月可交换的矩阵为枚得其中a, b, c为任意常数。5、与4,小平“。丙2戈3%即叽匹证设3 =X2l 电2 圣” 与月可交换.于是由4B =三1%工22卢标 =B4 =
23、* 44 4% Xn居2 Xnn ) n 1ni,nn /k.i a,” 启启 1/T ZT/启 Rfl / n nn nin nn有ax. =aixij(i,j =3-,w) BP (a.-a, ).r; = 0 (当q w 生时).有因为q. w% ,所以/= O(f w J), 于是与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。瓦之 43与力可交换其中q是qx%阶矩阵)，则由/6二比九可得吁岛=B声旦(i,j = l当i j时,由口耳二4沟及因而必有约=0.于是与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵。证 1)因为月4z0 % 0、 0 3 0作见: 00= &/= - , 10 a .0.1007、00
24、，所以I =。23=用=Z?3I =。献=2)因为J列-00即当Awl 时41 = 0,当 A = 2 时 44=0.0、为0即0、.00%-0：_AE= :*: =EvA=叩为2 行00a仇I川 )100,所以当 H /时。由=0.当A /时%凌=0且%.=。力.3) A与任何矩阵相乘可交换,必与与相乘可交换,于是由.4耳=E1A得%二%WL2)，%二y)因此A时数量矩阵。8、证 AB+C) = ABAC= BA + CAB+C)AA( BC) =(AB)C = (/?X)C= B(AC)= B(CA) = (BC)A9、证充分性，若U = 因为/ 二百(3 + 为F二；(+28+)=；(2
25、台+ 2功二18十七)=/ 所以/=彳q2 匚 1 匚必要性.若/=力，则了25+2七)= s(4+E)鼻8-彳七二3七即证七上.10、证设% 心即,：+/+疝拿、/= 4生27七” 2=*对+成+项* 必见2凡JI *,+尾+匕则由工2二0有片+说+： + + 4：=0=】2因而必有4+%+4 + 4一 +，+4 = 0(12，/)，即证A=o。11、证AB二BA时有4 = /18 = (84)(力8),所以AB是对称矩阵。反之当/4 =(RB)时有月8 = (/)= 8 =区412、设力是任一WX/7矩阵.因为A = - XhA +一月 A1 = (A + r)H(A - Ar) 2222
26、22且1(月+4)是对称矩阵，.月-4)是反对称矩阵，所以结论成立, 2213、证由题设知nX. + -+xx了，+I力1n* +，,+戈斤 x： + +x；%:+，+工： n-i .n-! Jt . n2/r-2 . 2k-hA+符 $+A；,M +居 1/r-I覆A；=n一芭）n （巧-N）=n a -3见 证 充分性,若同=0,则齐次方程组/x = o有非零解* =（也，也）只要取飞 00、h 00台=安0 也。0/即可。必要性.设6 = （* %3纥）工0 .使月4二0 .这里华氏且是8的列向量.不失一般性,设8尸0,则由/4 =。7得 （/牛/吗纥）=。因此，*4二，即4r =有非零解，从而15、有题设知n维向量空间中的所有向量都是其次线性方程组AX=0的解，故方程组的基础解析含有n个 线性无关的解向量，所以r （A） =0,即证A=0。16、证1）若4C = 0,设B = （biM C = 9Qi，因加射（。=J不失一股性，可设V1I +”2%+ 九 =0% +%3 + -, + 瓦。=。工