常微分方程试题库综述.docx

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1、17常微分方程一、填空题1 .微分方程+n+ry2+x2=0的阶数是答：12 .若M (x, y)和N (x, y)在矩形区域R内是(x, y)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x,y)dy =0有只与y有关的积分因子的充要条件是)(x一1M)= (y)3 . 称为齐次方程.答：形如dy =g(y)的方程dx x4 .如果 f (x, y) M , dy = f (x, y)存在dx唯一的解y =中(*)，定义于区间x-xo h上,连续且满足初始条件丫0=中仪。)，其中答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件b、 h = m i n& -) m5 .对于任意的(

2、x,yi) , (x,y2)亡R ( R为某一矩形区域)，若存在常数 N(N0)使则称f (x, y)在R上关于y满足利普希兹条件.f(x,v) -f (x,y2)三 N y1 - y26 .方程曳=x2 +y2定义在矩形区域R:-2 x2-2 y 0,(或不含x轴的上半平面)13 .方程dy =x2 sin y的所有常数解是. dx答：y=k：,k=0,-1,2,14 .函数组中1(x),52(x)，中n(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等于零.答：充分15 .二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是.答：线性无关(或

3、：它们的朗斯基行列式不等于零)16 .方程y“-2y+y =0的基本解组是答：eX, xeX17 .若y =cp(x)在 S +g)上连续，则方程dy =5(x)y的任一非零解与dxx轴相交.答：不能18 .在方程y + p(x)y + q(x)y =0中，如果p(x) , q(x)在(*,+)上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上与x轴相切.答：不能19 .若y=%(x), y = %(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同令点.答：没有20 .方程型=斤/的常数解是. dx答：y = 一121 .向量函数组X(x), Y2(x)，Yn(x)在其定义区间I上线性相关的条件

4、是它们的朗斯基行列式 W(x) = 0, xe I .答：必要22 .方程dy =x2+y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . dx答：xoy平面23 .方程x(y2 -1)dx+y(x2 -1)dy = 0所有常数解是 .答：y = 1, x = 124 .方程y“+4y =0的基本解组是 .答：sin 2x, cos2x25 . 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 答：2二、单项选择题1 . n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( A )个.(A) n(B) n-1(C) n+1(D) n+22 .如果f(x,y), 1(X,y)都在xoy平面上连续，那么方程 5

5、=f (x, y)的任一解的存在 fydx区间(D ).(A)必为(-, +苗)(B)必为(0, +o)(C)必为S 0)(D)将因解而定3.方程电=x3 + y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( D ). dx(A)上半平面(C)下半平面(B) xoy平面(D)除y轴外的全平面4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( C ).(A)不是其对应齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解5.6.方程由 dx(A)方程曳 dxT冗 -y过点(一,1)共有(2(B)无数=%以二7 +2( B )奇解.(A)有三个(B)

6、无)个解.(C)两(D)7.n阶线性齐次方程的所有解构成一个(A) n维(B) n+1 维8.方程dy =3y3过点(A ). dx(A)有无数个解9.(C)有一个(D) 有两个(0)线性空间.n -1维(D)(B)只有三个解(C)只有解(D)只有两个解fy (x, y)连续是保证f (x, y)对y满足李普希兹条件的(条件.(A)充分(B)充分必要(C)必要(D)必要非充分10.二阶线性非齐次微分方程的所有解(A)构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间(B)(D).构成一个3维线性空间构成一个无限维线性空间11 .方程dy = jy的奇解是(d ). dx(A) y=x (B) y=

7、1(C) y = 1(D) y = 012 .若y = %(x), y=%(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为(C ).(A)中 i (x)邛 2 (x)(B)中i(x)十%(x)(C) CWi(x) -%(x)+%(x)(D) CQ(x)+=x)13 . fy(x, y)连续是方程dX = f (x,y)初值解唯一的(D )条件. dx(A)必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)充分14 .方程以= 7y+1 ( C )奇解. dx(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个15 .方程 dy=3y3 过点(0, 0)有(A ). dx(A)无

8、数个解(B)只有一个解(C)只有两个解 (D)只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1 .曳=dx x y融 dx x . y3 x 2ydy,2 _dyy3解： = +y ，则 x=e (fye dy + c) 所以 x = +cydy y y2另外 y=0也是方程的解2 .求方程生=*+丫2经过(0,0)的第三次近似解 dx解：(x)=0/V19-1L/V2O 9+LX2X125X十 X/V2 中3(x) -X :2 2(x)dx= x2 x5-X11-J x8022044001603.讨论方程曳=y2 , y(1)=1的解的存在区间dx解：dy- =dx y一 .一. i两边积分 -=

9、x cy所以方程的通解为 y=x ci故过y（1）=1的解为 y=x -2通过点（1,1）的解向左可以延拓到-七，但向右只能延拓到2,所以解的存在区间为（-二,2）4,求方程（dy）2 +y2-1=0的奇解 dx解：利用p判别曲线得2,2, 八p + y -1=02p =0消去p得y2=1即 y =1所以方程的通解为y=sin（x+c）,所以y=1是方程的奇解11x5. (cosx +一)dx 十(一一2)dy =0 yy y解：四=-y1 =N=-y， , ML=N-,所以方程是恰当方程 .y二 x:yexcu1=cosx 十一1 xy得 u =sinx+工+中(y)LV1xy2-l wy

10、 y所以中(y) =ln y故原方程的解为sin x In y =c2 C 26. y +y 2ysinx =cosx sin x解：y= _y2+2ysinx+cosx _sin2 x故方程为黎卡提方程.它的一个特解为y = sin x，令y=z+sinx , 则方程可化为 dz = -z2 dx即 ysin x =1- , 故 y=sinx+-1 x cx c2327. (2xy -3y )dx + (73xy )dy = 0解：两边同除以y2得72xdx -3ydx dy -3xdy =0 y,2s J-dx - d 3xy - d = 0 y所以 x2-3xy-7=c ,另外 y=0

11、也是方程的解 y8.9.dy xy二二 d 2dx 1 x当y #0时，分离变量得dy x=2dxy 1 x等式两端积分得ln y| =(ln(1 + x2) +ln,C即通解为y = C 1 x2dy o 2x3y = e dx解齐次方程的通解为3 xy = Ce令非齐次方程的特解为y 二 C(x)ex代入原方程，确定出 C(x) = 1e5x C5原方程的通解为y = Ce 工x + 1e2x 510. dy = y xy5dx解方程两端同乘以y,，得工dy 工 y - = y x dx令y，=z,贝U _4y)曳 =史，代入上式，得 dx dx1 dz z = x4 dx通解为z 二

12、Cex - x 4原方程通解为_4 c _4x1y = Ce - x -4 一 .,22、 . 一11. 2xydx (x - y )dy =0解因为也=2x =里，所以原方程是全微分方程. .y二 x取(x, yo) =(0, 0),原方程的通积分为xy 202xydx - 0 ydy = C即x2y -1 y3 ; C312. dy = y In ydx解：当y#o, y#1时，分离变量取不定积分，得-d = fdx +C通积分为yi nyin y =Cex13. yy (y )2 3x2=0解原方程可化为2(yyx2) =0于是y包，x2 = C1dx积分得通积分为121 3_y =C

13、1x-x C223Il1-(y)21x x解：令y = xu ,则叽udxdu .x二.1分离变量,dx取不定积分，得xdu,代入原方程，得 dx2-udu2.1 - u(C*0)dx二一 In Cx通积分为： arcsin - = In Cxx15.解令x=u,则dxx；x,代入原方程，得u x=u t a nu dxdu x -dx=tan u当tanu#0时，分离变量，再积分，得du .dx八1= L +ln Ctanu xIn sin u = In x +ln C即通积分为：sin y = Cxx16 .立=5dx x解：齐次方程的通解为y - Cx令非齐次方程的特解为y = C(x)

14、x代入原方程，确定出 C(x) = ln x C原方程的通解为y = Cx + xln x17 . (x2ey -y)dx xdy =0解积分因子为1(x)5x原方程的通积分为x x yy1 (e - 2)dx dy 二Ci1 x0即ex Y =C, C = e C1x18. yy (y)2 =0解：原方程为恰当导数方程，可改写为(yy ),： = 0即yy = C1分离变量得ydy =C1dx积分得通积分12-y2 二Cx C2219. y (x - In y ) = 1解令y = p,则原方程的参数形式为1.x = In p PP由基本关系式曳=y，有dx,1,11、，dy = y dx

15、 = p (- )dpP P 1=(1 )dPP积分得 y = p - In p C得原方程参数形式通解为1 .x = ln p, py = p - ln p + C20. yy y2 2x =0解原方程可化为(yy x2) =0于是y - x2 = C1dx积分得通积分为1 y2 ; C1x -1x3 C22 321 . (x3 xy2)dx (x2y y3)dy -0解：由于网=2xy =州，所以原方程是全微分方程.y二x取(x, y) =(0, 0),原方程的通积分为：(x3 xy2)dx 0y y3dy = C1即 x4 2x2y2 y4 = C四、计算题.、一.1 一一.1 .求方程

16、y - y =1ex的通解.2解对应的齐次方程的特征方程为：2 -1 二0特征根为：,1 =1, - 2=-1故齐次方程的通解为：y =Ciex C2e因为0f =1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为y1(x) = Axex11代入原方程，有 2Ae + Axe - Axe =2e , 可斛出 A =4. 二,VV1v故原方程的通解为y =C1ex C2e 1xex42.求下列方程组的通解一 2y dtdy=3x 4ydt方程组的特征方程为-24 人即2-3-2 =0特征根为 11 =1 ,力一2 = 2.% =1对应的解为：x；at=J e%1其中a1,b是4 =1对应的特征向量的分量

17、，满足-1-1 - 2 a10二_ 34-1 _b1_0可解得 a1 =1, b1 = -1.同样可算出入2 =2对应的特征向量分量为a2 = 2, b =-3 .所以，原方程组的通解为ett-eC ：2e2t 1+ C22t3e13.求方程y*5y = sin5x的通解.解：方程的特征根为儿=0, % =5齐次方程的通解为y = & C2e5x因为a 士iB =均不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程,比较系数得1确定出A = - 50原方程的通解为-25A + 25B = 1-25A-25B =01 B =505x 1 ,.、y = C1 C2e( cosx -s i 5x)50

18、4.求方程y* 5y=5x2的通解.解对应齐次方程的特征方程为九2-5九=0,特征根为 = 0 , % = 5 ,齐次方程的通解为y = C1 C2e5x因为=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1 (x) = x(Ax Bx C)代入原方程，比较系数确定出1A = 3,2 C 二25原方程的通解为C2e51x3 3Zx 525yi(x) = Asi r5x Bc o 5x五、证明题1 .在方程dy= f(y/(y)中，已知f(y),邛(x)在(*,+)上连续，且(1) = 0 .求 dx证：对任意Xo和卜。| 1,满足初值条件y(xo) = yo的解y(x)的存在区间必为(口, +

19、口). 证明：由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y=1是方程的两个常数解.任取初值(Xo,y0),其中Xo w (，+出),|yo| 0 或 W(x) 0故 W(x)是(，+o)上的严格单调函数.5 .试证：若已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求它的通解证明：设黎卡提方程的一个特解为y =y令 y=z+y,dy= dz +d-y又dy =p(x) y2+q(x)y + r(x)dxdx dxdxdz2dvp(x)(z y) q(x)(z y) r(x)-dxdx由假设 dy = p(x)y +q(x)y+r(x) 得 dz = p(x)z2

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