《河北省石家庄市高考数学一模试卷(a卷)文(含解析).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省石家庄市高考数学一模试卷(a卷)文(含解析).docx（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2016年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x|2, - 1, 2, 3, B=x| 1vxa4 .设变量，y满足约束条件 卜+药一0 ,则目标函数z=3x+4y的最小值为（-26A. 1B. 3C. - D. - 195A 0,0）的部分图象如图所示，则5 .函数 f (x) =Asin (cox+()A -夸 B -哼 0 -亨 D. - 16 .已知函数y=f （x）的图象关于直线 x=0对称，且当xC （0, +8）时，f （x） =log 2x,
2、 若a=f （-3） , b=f）, c=f ,则a, b, c的大小关系是（）A. abcB. bacC. cabD. acb7 .程序框图如图，当输入 x为2016时，输出的y的值为（）A.-B. 1C. 2D. 4(单位：C) 甲地该月 甲地该月 甲地该月 甲地该月制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论:11111111时的平均气温低于乙地该月 时的平均气温高于乙地该月 时的气温的标准差小于乙地该月 时的气温的标准差大于乙地该月1111其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为(时的平均气温时的平均气温11时的气温的标准差11时的气温的标准差 )A.B.C.9.如图所示的数阵中，用 A (m,
3、n)表示第 ( )D.m行的第n个数，则依此规律 A (8, 2)为8 .为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据I J_ l_To- T 1513 J15So IS】3A.C.12C 1D 1810.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为 ( )1,则该几何体的体积是11. A, B, C是圆0上不同的三点，线段R, （1 C R）,则入+业的取值范围是（C0与线段AB交于点D,若左二入吊+/谑（入C）A. ( 1, +8)B. (0, 1)C. ( 1,乃D. (-1,0)12 .若函数 f (x) =x3+ax2+bx (a, bC R)的图
4、象与 x 轴相切于一点 A (n 0) ( mB 0),A.B.C.D.且f （x）的极大值为-y,则m的值为（）二、填空题（每题 5分，茜分20分，将答案填在答题纸上）13 .已知命题p： “三X/匕I工口 |+工V。”，则p为./214 .已知椭圆一5 + v=1的左、右焦点为 F1、F2,点F1关于直线y=-x的对称点P仍在椭 a圆上，则 PF1F2的周长为 .BD15 .已知 ABC中，AC=4, BC=277, / BAC=60 , ADL BC于 D,则=j-的值为.16 .在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4 PB=AC=5 PC=AE=，贝U三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.
5、三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .已知等差数列an中，2a2+a3+a5=20,且前10项和Sq=100.（I ）求数列an的通项公式；（II）若，求数列bn的前n项和anan+l18 .在平面四边形 ACBD（图）中， AB*4ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2, Z BAD=30 , / BAC=45 ,将 ABC沿AB折起，构成如图所示的三棱锥CABC（I）当丁 口二6时，求证：平面 C AB!平面DAB（n）当 AC，BD时，求三棱锥 C ABD的高.19 .某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员
6、在投篮命中时，运 动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果 绘制如下频率分布直方图：(I)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；(n)若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取 7次成绩(单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好)，并从抽到的这 7次成绩中随机抽取 2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心 的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率.20 .已知抛物线 C: y2=2px (p0)过点M (m, 2),其焦点为 F
7、,且|MF|=2 .(I)求抛物线C的方程；(n)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F: (x-1) 2+y2=1相切，切点分别为 A, B,求证：A、B、F三点共线.21 .已知函数f (x) =ex-3x+3a (e为自然对数的底数，aC R).(I)求f (x)的单调区间与极值；(n)求证：当al口上，且x0时，或色叶工-3a.ei 2 x请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选彳4-1:几何证明选讲22 .如图所示，过点 P分别做圆O的切线PA PB和害U线PCD弦BE交CD于F,满足P、B F、A四点共
8、圆.(I )证明：AE/ CD(n)若圆。的半径为5,且PC=CF=FD=3求四边形PBFA的外接圆的半径.选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .在极坐标系中，已知曲线C: p=2cos。和曲线G: pcos9=3,以极点 。为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.(I)求曲线 Ci和曲线C2的直角坐标方程；(n)若点P是曲线C上一动点，过点 P作线段OP的垂线交曲线 C2于点Q,求线段PQ长 度的最小值.选彳4-5 :不等式选讲24 .已知函数 f (x) =|x|+|x - 1| .(I)若f (x) A|m-1|恒成立，求实数 m的最大值 M;(n)在(I)成立的条件下，正实数
9、a, b满足a2+b2=M证明：a+b2ab.2016年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)(A卷)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A=x| 2, - 1, 2, 3, B=x| 1vx3,则 AA B=()A. (-2,3) B. (-1,3) C. 2 D . - 1 , 2, 3【考点】交集及其运算.【分析】直接找出两集合的交集即可.【解答】 解：集合 A=x| -2, - 1, 2, 3, B=x| - 1x04.设变量，y满足约束条件 x+2y 20 ,则目标函数z=3x
10、+4y的最小值为（）2m - y- 240A. 1 B. 3 C.空 D. T95【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图,史二一1联立 口 C仆，-2=0解得A ( T ,37化目标函数 z=3x+4y为y= 一彳翼十万，由图可知，当直线 y=一总五号过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3, 故选：B.5.函数f （x） =Asin Ox+4） （ A0,0）的部分图象如图所示，则（与的值X.为（）【考点】由y=Asin （cox+（j
11、）的部分图象确定其解析式.的值，从=log 2x,【分析】根据顶点的纵坐标求 A,根据周期求出 3,由五点法作图的顺序求出4而求得f (x)的解析式，进而求得 f (二的值24【解答】解：由图象可得 A=/9, 箸=-今，解得3=2.JCTCI再由五点法作图可得 2XF-+(j)=兀，解得：()=JJ故 f (x) =/sin (2x+-),J,II冗、L. / 口其兀、 L .冗 L 近故 f ( 网 )=/2sin (2X.-+ ) =_V2sin_=1= 1,故选：D.6.已知函数y=f (x)的图象关于直线 x=0对称，且当xC (0, +8)时，f (x)若 a=f (- 3), 2
12、小，c=f (2),则a, b, c的大小关系是()A. abcB. bacC. cabD. acb【考点】函数的图象.【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性即可判断.【解答】 解：函数y=f (x)的图象关于直线 x=0对称， f (-3) =f (3),. f (x) =log 2x,在 x (0, +8)为增函数， f (3) f (2) f (；), . a c b,故选：D.7.程序框图如图，当输入 x为2016时，输出的y的值为()/O77I f一 .1A. B. 1 C. 2 D. 4 o【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y
13、的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013,满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010,满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007,满足进行循环的条件，第n次执行循环体后，x=2016 - 3n ,满足进行循环的条件，第672次执行循环体后，x=0,满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x=-3,不满足进行循环的条件，故y=y,故选：A5天中11时的气温数据8.为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的(单位：C)制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论:甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11
14、时的平均气温甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为()A.B.C.D.甲【考点】茎叶图.【分析】根据茎叶图中的数据，分别求出甲、乙两地某月11时气温这两组数据的平均数、方差即可.【解答】 解：由茎叶图中的数据知，乙两地某月11时的气温分别为:甲：28, 29, 30, 31, 32乙：26, 28, 29, 31, 31;可得：甲地该月 11时的平均气温为 工用* (28+29+30+31+32) =30,11时的平均气温为
15、(26+28+29+31+31) =29,I T 5乙地该月故甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；错误，正确；又甲地该月 11 时温度的方差为 s98 10=|- (28- 30) 2+ (29- 30) 2+ ( 30- 30) 2+ (31 -30) 2+ ( 32 - 30) 2=2乙地该月14时温度的方差为 S乙，工(26- 29) 2+ (28- 29) 2+ (29 - 29) 2+ (31 -29) 2+ ( 31 - 29) 2=3.6 ,所以甲地该月11时的气温标准差小于乙地该月11时的气温标准差，正确，错误.综上，正确的命题是.故选：C.9.如图所示的数阵
16、中，用 A (m, n)表示第m行的第n个数，则依此规律 A (8, 2)为 ( )6611I10310J_ 13I)I15idM)15A.B.C.12D.1118【考点】数列递推式.【分析】由已知中的数阵，可得第 n行的第一个数和最后一个数均为:(n+l)(n+2)它数字等于上一行该数字“肩膀上两个数字的和，结合裂项相消法，可得答案.【解答】解：由已知中:归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为:(n+1)(n+2),其它数字等于上一行该数字“肩膀上两个数字的和，故 A (8, 2) =A (7, 1) +A (7, 2) =A (7, 1) +A (6, 1) +A (6, 2) =A (
17、7, 1) +A (6, 1) +A (5, 1) +A (5, 2) =A (7, 1) +A (6, 1) +A (5, 1) +A (4, 1) +A (4, 2) =A(7, 1) +A (6, 1) +A (5, 1) +A (4, 1) +A (3, 1) +A (3, 2) =A (7, 1) +A (6, 1) +A (5, 1) +A (4, 1) +A (3, 1) +A (2, 1) +A (2, 2)1 33 11+=T-=.6 54 18 2 l,l2 l,l2 I；2 1|2 I.2 L| 2+:+_+_+_gxg +7X8 6X7 5X6 4X5 3X4 +3X4
18、故选：D.1,则该几何体的体积是10 .某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为 ( )A. 4D.1220T【考点】由三视图求面积、体积.【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可.【解答】 解：由三视图可知几何体的图形如图.是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为: 长为2.截去的四棱锥如图：4,底面是等腰直角三角形，直角边几何体的体积为:故选：B.111E11 . A, B, C是圆0上不同的三点，线段 C0与线段AB交于点D,若沅=入赢+/值(入CR, C R),则入+抹的取值范围是()A. ( 1, +8) B. (0, 1)C. ( 1,6D.
19、(1,0)【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】 可作图：取/ AOB=120 , / AOCW BOC=60 ,从而便得到四边形 AOB菱形， 这样便有OC = OA+O,从而根据平面向量基本定理即可得到 入+科=2,这样便可排除选项 B, C, D,从而便可得出正确选项.【解答】解：.A, B, C是圆0上不同的三点，线段 C0与线段AB交于点D;，如图所示，不妨取/ AOB=120 , / AOCW BOC=60 ,则四边形 AOB型菱形； rTOR；又:K赢+乩而；，入二科=1,入+产2, .可排除 B, C, D选项.故选：A.12.若函数 f (x) =x3+ax2+bx (
20、a, bC R)的图象与 x 轴相切于一点 A (n 0) ( mB 0),且f (x)的极大值为-y,则m的值为()A.B.C.D.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】联立方程组，求出a,b,求出f(x)的导数，通过讨论m的范围，得到函数f(x)的单调区间，求出 f (x)的极大值，得到关于m的方程，解出即可.【解答】 解：f (x) =x3+ax2+bx (a, bC R), f ( x) =3x2+2ax+b,- f (x)的图象与x轴相切于一点 A (m 0) ( mr 0),c 23id +2aiH-b=0 ,m2+airri-b=O f ( x)
21、 = (3x - rnj) ( x - rnj),m0 时，令 f ( x) 0,解得：xm x-J令 f ( x) 0,解得：x m,.f.f(x)在(-巴 U_)递增，在J11111(x)极大=f (三)=,解得：m)递减，在(m,+)递增,3m=pm0,解得：x m-,J令 f ( x) x m,+)递增,f (x)在(-巴 mm递增，在(m, 口)递减，在(y, f (x)极大=f (m),而 f ( mj) =0,不成立，综上，m=r, 故选：D.、填空题(每题 5分，？茜分20分，将答案填在答题纸上)13 .已知命题p： “三为七|工口|十盘0.故答案为：？ xC R, |x|+x
22、 20.14 .已知椭圆、+yl的左、右焦点为 Fi、F2,点Fi关于直线y=-x的对称点P仍在椭 a圆上，则A PF1F2的周长为26+2 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】设出椭圆的左焦点，关于直线y=-x的对称点P (ml n),由两直线垂直的条件：斜率之积为-1,以及中点坐标公式解得m=Q n=c,由椭圆方程可得 b=c=1,进而得到a的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c.【解答】解：设椭圆的左焦点为(- c, 0),点Fi关于直线y= - x的对称点P (m, n),由展=谓=-亨，解得m=。，n=c，即 P (0, c),由题意方程可得 b=c=1, a=7b24e2=/2,由
23、题意的定义可得 PF1F2的周长为2a+2c=26+2.故答案为：2 , +2.15 .已知 ABC中，AC=4, BC=2/斤，/ BAC=60 , ADL BC于 D,则十的值为 6 .【考点】正弦定理.【分析】 设AB=x,由余弦定理可得：(2行)2 =x 2+42- 2xX 4ccos60 ,解得x=6 .设BD=m CD=n由于 ADL BC于D,可得 I - 二=i/,m+n=2/，解出即可得出.【解答】 解：设AB=x,由余弦定理可得：(2币I2 =x 2+42 - 2x X 4ccos60 ,化为 x2 - 4x - 12=0, 解得x=6.设 BD=m CD=n-. AD B
24、C于 D,_ 即，M _ 口2, m+n=W,解得 m=, n=口一, 7 T.DB m-=-=6.CD n故答案为：6.16.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4 PB=AC=5 PC=AE= JH，贝U三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为 26兀 .【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积.【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4, 5,后,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积.【解答】 解：二三棱锥 P-ABC中，PA=BC=4 PB=AC=5 POAE=dH ,构造长方体，使得面上的对角线长分别为4, 5, JU，则长方体的对
25、角线长等于三棱锥P- ABC外接球的直径.设长方体的棱长分别为 x, y, z,则x2+y2=16, y2+z2=25, x2+z2=11, x2+y2+z2=26 三棱锥p- ABC外接球的直径为 V26, 三棱锥p- ABC外接球的表面积为 4- - V :：；=26兀.故答案为：26 7t.三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列an中,2a2+a3+a5=20,且前10项和30=100.（I ）求数列an的通项公式；1 1（II ）若,求数列bn的前n项和.【考点】数列的求和.【分析】（I ）利用等差数列的通项公式及其前n项和
26、公式即可得出.（II）“篇曾育二出而行（-一肃），利用“裂项求和”方法即 可得出.【解答】 解：（I）设等差数列an的公差为d,2a2+a3+a5=20,且前10项和&。=100, .4a1+8d=20, 10叼 J。j d=100 ,联立解得a1=1, d=2.an=1+2 （n 1） =2n 1.（II）anan+l =（2n- D（2nH） =2 l2n- 1 2nH，数列bn的前 n 项和卷（1 方）+ （- ,）+- + &：-五*T）（1 -）12 2n+l 18.在平面四边形 ACBD（图）中， AB*4ABD均为直角三角形且有公共斜边AR设AB=2, /BAD=30 , / B
27、AC=45 ,将 ABC沿AB折起，构成如图所示的三棱锥CABC（I）当C 口=6时， 求证：平面 C AB1平面DAB（n）当 AC，BD时，求三棱锥 C ABD的高.【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算.【分析】（I ）取AB的中点O,连C O, DO利用直角三角形的性质解出OC , DO利用勾股定理的逆定理得出 OC OD，由等腰三角形三线合一得 OC AB,故OC，平面 ABD于是平面C AB1平面DAB（II ）由AC，BC , AC BD得出AC，平面BC D,故AC LC D,利用勾股定理 解出C D,由勾股定理的逆定理得出BDC D,使用等积法求出棱锥的高.【解
28、答】 解：（I ）取AB的中点O,连CO, DO. ABC , ABD直角三角形，/ AC B=ZADB=90 ,AB=2,17 / 21. C O=DO=-四=1,又 C D心,C 02+DO=C D2,即 C O OD / BAC =45 ,AC =BC , . O是 AB中点，. OC AB,又ABn OD=O AB?平面 ABD OD?平面 ABQ .C OL平面 ABR . OC ?平面 ABC , 平面C AB1平面DAB（II ） AC BD, AC，BC , BD?平面 BC D, BC ?平面 BC D, AC，平面 BDC ,又 C D?平面 BDC, .AC，C D,.A
29、C D 为直角三角形. . AB=2, Z BAC =45 , / BAD=30 , / AC B=Z ADB=90 , .AC =BC =6, BD=1, AD=/3, .C d=7aD2 - AC 2=1, -C，d2+bD=bC 2,7A BC D=1S=3S；ZBC D ?AC1172设三棱锥C-ABD的高为h,则VCabLV-，：=；解得19.某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运 动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果 绘制如下频率分布直方图：(I)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水
30、平距离的中位数；(n)若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取 7次成绩(单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好)，并从抽到的这 7次成绩中随机抽取 2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心 的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式.【分析】(I)由中位数两边矩形的面积相等列式求得中位数的估计值；(n)由题意知，抽到的 7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这
31、一组，记作 B1, R;有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作 C1, Q, C3, C4,然后由古典概型概率计算公式得答案.【解答】 解：(I )设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x,0.05 X 2+0.10+0.20 V0.5 ,且(0.40+0.20 ) X 1=0.6 0.5 ,.xC 4 , 5,由 0.40 X (5-x) +0.20 X 1=0.5, x=4.25 ,.该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25 (米).(II )由题意知，抽到的 7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为 2到3米的这一组，记作Ai；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记
32、作 Bi, R;有4次来自到篮筐的水平距离为 4到5米的这一组，记作 Ci, C2, C3, C4.从7次成绩中随机抽取 2次的所有可能抽法如下：(Ai, Bi),(A,B2),(Ai,G),(Ai,C2),(A,G),(Ai,G),( Bi,B),(Bi, C),( B,G) ,(Bi,C3),(Bi,Q) ,(B,C),(G),(C3),(B2, C4),( C,Q) ,(Ci,C3),(Ci,C) ,(C2,G),( Q,C),( C3,C4)共2i个基本事件.其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有 6个.所以该运动员得的概率 P由三 20.已知抛物线 C: y
33、2=2px (p0)过点M (m, 2),其焦点为 F,且|MF|=2 .(I)求抛物线C的方程；(n)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F: (x-i) 2+y2=i相切，切点分别为 A, B,求证：A B、F三点共线.【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(I)利用抛物线的定义，结合抛物线C: y2=2px (p0)过点M (m, 2),且|MF|=2 ,求出p,即可求抛物线 C的方程；I(n)设 EA y=kx+t 联立4，消去 y，可得 k2x2+ (2kt -4) x+t2=0,利用直线 EA二4七与抛物线C相切，得到
34、kt=i代入一彳及-2k+i=0,求出a的坐标；由几何性质可以判 断点O, B关于直线EF: y= - tx+t对称，求出B的坐标，证明kAF=kBF,即A, B, F三点共 线；当 t=i 时，A (i, 2) , B (i, i),此时 A, B, F 共线.【解答】(I)解：抛物线C的准线方程为：后一看，又抛物线 C: y2=2px (p0)过点 M (m, 2),，4=2pm,即 4=2p (2 冬)p2- 4p+4=0, 1. p=2,，抛物线C的方程为y2=4x. j尸M+t(II )证明；设E (0, t) (tw0),已知切线不为 y轴，设EA y=kx+t联立 ly消去 y,
35、可得 k2x2+ (2kt - 4) x+t 2=0直线 EA 与抛物线 C 相切，. = (2kt-4) 2- 4k2t2=0,即 kt=i . 22代入-=o, x=t2,即 A (t2, 2t), t设切点B (x。，y。)，则由几何性质可以判断点O, B关于直线EF： y= - tx+t对称,解得:直线AF的斜率为2ty =u 1十1直线BF的斜率为. kAF=kBF,即 A, B, F 三点共2tt 2 +12t*t 2+1线.当 t= 1 时，a(1, 2) , B (1, 1),此时 A, B, F共线.综上：A, B, F三点共线. 21.已知函数f (x) =ex-3x+3a
36、 (e为自然对数的底数，aC R)(I)求f (x)的单调区间与极值；(n)求证：当口=，且x0时，支叶L - 3曲.ek 2 k【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；选择结构.【分析】(I)求出函数的导数，列出变化表，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(n)问题等价于设式由二/一_1_其43d ,根据函数的单调 性证明即可.【解答】(I)解 由 f (x) =ex3x+3a, xC R知 f ( x) =ex 3, x C R.令 f ( x) =0,得 x=ln 3，于是当x变化时，f ( x) , f (x)的变化情况如下表. (一0. in一一x3)I”
37、3n 3，+)f (x)-0+f (x)J3 (1 - in 3+a ) T故f (x)的单调递减区间是(-, in 3,单调递增区间是ln3 , +8),f (x)在 x=in 3 处取得极小值，极小值为 f (In 3 ) =ein3 - 3in 3+3a=3 (1 - In 3+a ).(II )证明：待证不等式等价于2 3管+1设6 G)-K J+ShkT, xCR,于是 g (x) =ex - 3x+3a, xC R.3(In 3 ) =3 (1 - In 3+a ) 由(I )及门二=1门3 - 1知：g (x)的最小值为g e0.19 / 21于是对任意xC R,都有g (x)
38、0,所以g (x)在R内单调递增.g (x) g (0)于是当31门卫=1门31时，对任意xC (0, +8),者B有 e而 g (0) =0,从而又任意 x (0, +00) , g (x) 0.IP eK4x2-3ax+l,故曰羡工+g_ 3a请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选彳4-1:几何证明选讲22.如图所示，过点 P分别做圆O的切线PA PB和害U线PCD弦BE交CD于F,满足P、 B F、A四点共圆.(I )证明：AE/ CD(n)若圆。的半径为5,且PC=CF=FD=3求四边形PBFA的外接圆的半径.22 / 21【考点】与圆有关的比例
39、线段.【分析】(I)连接AB,利用P、B F、A四点共圆，PA与圆O切于点A,得出两组角相 等，即可证明：AE/ CQ(II)四边形PBFA的外接圆就是四边形 PBOA勺外接圆，OP是该外接圆的直径，由切割线 定理可得PA即可求四边形 PBFA的外接圆的半径.【解答】(I )证明：连接AB.P、B、F、A 四点共圆，PAB=Z PFB 又PA与圆O切于点A,/ PAB=/ AEB ./ PFB=Z AEB . AE/ CD (II )解：因为PA PB是圆。的切线，所以P、B、。A四点共圆，由 PAB外接圆的唯一性可得 P、B、F、A、O共圆，四边形PBFA的外接圆就是四边形 PBOA勺外接圆
40、，OP是该外接圆的直径.由切割线定理可得 PA=PC?PD=3 9=27FpWfa,daJ 也 7+25 = 2713 .四边形PBFA的外接圆的半径为 V15. 选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .在极坐标系中，已知曲线C: p=2cos。和曲线G: pcos9=3,以极点 。为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.(I)求曲线Ci和曲线G的直角坐标方程；(n)若点P是曲线C上一动点，过点 P作线段OP的垂线交曲线 C2于点Q,求线段PQ长 度的最小值.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.【分析】(I )根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可.(n)设出直
41、线 PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可.【解答】解：(I ) C的直角坐标方程为(x-1) 2+y2=1,，G的直角坐标方程为 x=3;(II )设曲线。与x轴异于原点的交点为 A,. .PQ过点 A (2, 0),设直线PQ的参数方程为，代入C可得t2+2tcos 0 =0,解得，可知 |AP|=|t 2|=|2cos 0 | 代入G可得2+tcos 0 =3,解得-一,CDS目可知 |顺|二I |二 I|CO S O所以PQ=|APklAQ|=|2cos0田，厉12近当且仅当12g3 口 | 二 |一|时取至乒寺厅,所以线段PQ长度的最小值为2也.选彳4-5 :不等式选讲24 .已知函数 f (x) =|x|+|x