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1、对一类乘法速算法的研究今天，张纳川同学在做题时，偶尔发现了末尾数字是5的数的平方好像有什么规律. 他对几个简单的数进行了研究，得到：152 = 225 = （12）100+ 25；252 = 625 = （23）100 + 25；352 = 1225 = （34）100 + 25；452 = 2025 = （45）100 + 25；552 = 3025 = （56）100 + 25.于是，他对以上现象进行了总结：末尾数字是5的数的平方，最后两位都是25，百位数字和它前面的所有数字，就是原数的十位数字与比它大1的数的乘积. 如果把十位数字表示为m，这个两位数表示为“”，那么，2 = 其中，n =
2、 m (m + 1).为了验证这个结论是否正确，他有用652、752进行了计算，得652 = 4225 = （67）100 + 25752 = 5625 = （78）100 + 25.所得结果，与刚才的结论一致. 接着，他又对这个结论进一步进行了研究. 刚才所研究的末尾数字是5的数，都是两位数，如果是三位数行不行呢？他又举了几个例子：1052 = 11025 = （1011）100 + 25；1152 = 13225 = （1112）100 + 25；2452 = 60025 = （2425）100 + 25；8752 = 765625 = （8788）100 + 25；9652 = 9312
3、25 = （9697）100 + 25. 验证结果说明，上述速算法在对于三位数也适用. 进一步，它又大胆地猜想：对于任何一个多位数，这种速算法都适用，比如11052 = 1221025 = （110111）100 + 25；32652 = 10660225 = （326327）100 + 25；299952 = 89700025 = （29993000）100 + 25；7018752 = 492628515625 = （7018770188）100 + 25. 他兴奋地把这个结论告诉了李老师. 老师听后，表扬了他勤于自学的精神，肯定了他的结论是正确的. 同时指出：“严格地说，一个数学结论应该
4、在进行严密的逻辑证明后，才能说是正确的. 不过，现在你能所学的知识还不够，以后在对它进行科学证明吧. ”然后，李老师又提示纳川说：“你的研究还不够全面，看看能不能从另外一个角度进行深入研究呢？”说着，李老师写下了一组算式：2129 = 609 = （23）100 + 19；3337 = 1221 = （34）100 + 37；108102 = 11016 = （1011）100 + 82；12661264 = 1600224 =（126127）100 + 64. 纳川一看，觉得结果的形式与刚才他总结的十分相似，尤其是前半段. 它又仔细看了一会儿，终于发现：这些算式中的两个因数，只有个位不同，前
5、几位都是相同的，结果中的后两位数字，就是两个因数中个位数字的乘积. 如果把两个因数分别表示为、，并且a + b = 10 ，那么= 其中，n = m (m+1)，最后两位为q = ab，位数不够的，前面补0. 没等老师开口，纳川又想到一个问题：如果a + b = 100，结果会怎样呢？他又举了几个例子：128172 = 22016 = （12） 10000 + 2872；873827 = 721971 = （89）10000 + 7327；34563444 = 11902464 = （3435）10000 + 56 44；1992619974 = 398001924 =（199200）1000
6、0 + 2674. 看来，当a + b = 100时，以上结论仍然成立，最后四位为q = ab.于是他又猜想：如果a + b = 1000时，以上结论可能仍然成立. 为了验证这一猜想，他又举了几个例子：31263874 = 12110124 = （34）1000000 + 126874；7565875342 = 5700225036 = （7576）1000000 + 658342；146971146029 = 21462028159 = （146147）1000000 + 97129；70523267052674 = 49737756219724 = (70527053)1000000 +
7、326674.可见，当a + b = 1000时，以上结论可能仍然成立，只不过，最后六位数字为q = ab.老师见纳川研究得这么投入，赞许地点了点头. 纳川趁势又作了更深一步的研究，对上述结论进行推广，得到：如果两个位数相同的多位数相乘，如果这两个多位数的前几位数字完全相同，两者的后几位数字的和为10、100、1000等等，那么，它的结果前几位数字为相同部分的数字与比它大1的数的乘积，后几位为不同部分的乘积，所占位数分别为2、4、6等等（是不同部分的和中0的个数的2倍）. 如果把两个因数分别表示为、，并且a + b = 10、100或者1000等等（1后面有c个0），那么= 其中，n = m (m+1)，最后2c位为q = ab，位数不够的，前面补0. 同学们，你们认为纳川得到的这个结论正确吗？如果正确，请举例验证；如果不正确，请举出反例. 第 2 页 共 2 页