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1、基本不等式一轮复习导学案2107.12【教学目标】I .了解基本不等式的证明过程.n.会用基本不等式解决简单的最大（小:值问题.a+ bt【知识梳理】一、基本不等式：一厂2ab （a, b R）,当且仅当a二b时取等号.2. ab2 （a0），当且仅当a= 1时取等号； a1a+ a （a0）的值域为（）入A. ( X 2 U 2 ,+x) B . (0,+x ) C. 2,+x) D . (2,十八)2 .下列不等式:a? + 1 2a ；八+耆三2;x2 +*2+ 11,c. 2b0,且 a +其中正确的个数是()A. 03. 若 a0,2b- 2 = 0,则ab的最大值为().1 C.
2、2A.24. (2011重庆)若函数f(x)=x+1(x2)在x二a处取最小值，贝【J a=().A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D. 4t22已知0vXV5,则y= 2x- 5x的最大值为.若x, y (0,+x)且2x+ 8yxy= 0,贝Ux+y的最小值为(4)若 x0,y0 且 x+2y+2xy=8,则 x+2y 最小值为 (5)设x0,y0,z0,且x.2y+3z=0,则一的最小值为 xz(6)若x,y满足4x2 y2 xy =1，贝U 2x+y最小值为1 1(7)已知：abc0 侧 2a2 .25c2最小值为ab a(a b)考向二利用基本不等式证明不等式【例 2 ?已知 a0
3、, b0, c0,求证：bC+ Ca+ aba+ b+ c.a b c - 4t+ 15 .已知t0,则函数y二t的最小值为x 2考向一利用基本不等式求最值1 1【例1】已知x0, y0,且2x+ y= 1,则+ 的最小值为x y2x-10ac当X0时，贝U f(X)=X2+ 1的最大值为1【训练1已知X 1，则f(x)=X+七的最小值为X 1111【训练345】已知 a0, b0, c0,且 a+ b+求证:i+ b 9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】？(2010山东)若对任意x0, 24Tl 0, b0,且2a+b= ab，贝U a + 2b的最小值为(A.5 + 2 2B.
4、8 .2C.5D.92. (2016辽宁师大附中模拟)函数y二loga(x+ 3)- 1(a0，且a羊1)的图象恒过定点A,若点A1 2在直线mx+ ny+ 1= 0上，其中m, n均大于0,则一 + -的最小值为()m nA.2B.4C.8D.163. (2015北京海淀二模)已知f(x)=32x-(k+ 1)3X+ 2,当x R时，f(x)恒为正值，贝Vk的取值范围是()A.(-a,-1)B.(-a, 2 ,2-1)C.(-1 , 2 ,2-1)D.(-2 ,2-1,2 2-1)4. (2016山东泰安模拟)若直线I： : + b= 1(a0, b 0)经过点(1, 2)，则直线I在X轴和
5、y轴上的截距之和的最小值是.1.D. (2,+x)答案C2 1 2 12 解析 不正确，正确，x2+孑亍二便2+ 1) +孑+1 - 12-1二1答案B13.解析 va0, b0, a+ 2b = 2,二 a+ 2b= 22 2ab，即 ab(.答案 A4.解析当 x2 时，x 20, f(x)二(x 2)+ x+ 22 AJ(x 2)XA+ 21二4,当且仅当x 2二 (x2),即x= 3时取等号，即当二)取得最小值时，x X 2二3,即a=3,答案Ct24U 115.解析 VtO,A y= t二 t+1 42 一 4 二一 2,当且仅当U 1时取等号.答案一2例J 1 角华析(1) v x
6、0, y0,且2x+y=1,x+y=宁+竽=3+y+筝3+ 2雄当且仅当y二 泗取等号.2x221(2)vx0,. f(x)=xr+八二一(寸1，当且仅当x二x，即口 x= 1时取等号.X x+ xX答案3+ 2 2(2)11【训练1】.解析V X1,. f(x)=(x 1) + + 12+ 1=3当且仅当xX 11 2=2 时取等号.(2)y = 2x- 5x2= x(2 5x) = 5x (2 5”，v Ovxv|,. 5xv2,2 -5x0,.5x(2 5x) 次2= 1 ,. y10,2X 2X xy y=18,当且仅当号二X，即x=2y时取等号，又2x+ 8y- xy=0,. x二1
7、2, y=6, xy当x= 12, y= 6时，x+ y取最小值18.答案(1)3 (2) 1 (3)18例舞鹏丽,X鬼牌璟决翱悭嬲秋崛.螟谈亚2能+ca+a 2(a晋ab = 2b ；罕+散2 ca雪二2a.以上三式相加得:2+ b+ c)，即 bc+ ca+ 口L| a+ b+ c.a b c【训练证明a。, b0, c0,且a+ b+ c_ 111, i+ +A a+ bAc =A1吐严= 3+b+a+b+b+a+b = 3+ b+a+c1 3+ 2+ 2+ 2=9,当且仅当a= b=c=3时，取等号.x解析若对任意xo, x2+ 3x+ 1二a恒成立，只需求得y二X2+ 3X+ 1的最
8、大值即111可，因为XO, 所以y = x2 + 3x+ 1=一 O,xy= x+ 2y 2 2xy,得 xy 8,于是由 m 2 xy恒成立，得m 28, m 10,故m的最大值为10.答案1016+5x800(0V x900X 2 xX) + 5 800= 13 000(元),【试一试】尝试解答a2 += a2 ab+ ab+ 含舌二 a(a b) +ab a(a b)ab a(a b)一片 + ab+ a a b-L2aba(a b) a (a b)+ 2 Vab ab= 2+2=中当且仅当电即a = 2b时，等号成立,答案DM 例 2nls.二ao,b, C。，罟福 2课后巩固练习b1
9、. D a0, b(),且 2a+ b = ab, r. a = b2 ，解得 b 2.则 a+ 2b = -a. + 2b= 1 + 5 + 2(b- 2) + 45 22 (b-2)= 9,当且仅当 b= 3, ab- 2b- 2I； b- 2=3时取等号，其最小值为9.2. C , x= - 2 时，y= log al1 = - 1,- -函数 y = loga(x+ 3) - 1(a0, a7的图象恒过定点(一2, 1)，即 A( 2, 1),2 2m+ n 4m+ 2n _ n_ =+= 2+ +n m n m=0，即 2m+ n= 1,C C 1m0, n0, +m点A在直线mx+
10、 ny+1 二 0 上，一 2m n + 152而 3x+ 产 2 2(当且仅当 3* = 3，即 x= logy.2 时，等号成立)，-k+ 122,即 口 k0 得 32x - (k+ 1)3X+ 20，解得 k+ 11 = (a + b)因若舔=2呵当且仅当b=2a时取等号所以a+ b 3 2A2. a【训练3已知x0, y0, xy=x+ 2y,若xym 2恒成立，则实数m的 最大值是.a 14 若正数x,y满足x+y=1，且-_4恒成立，则正数a的最小值为 xy5若正数x,y满足x+y=a，且 _4恒成立，则正数a的最大值为xy考向四利用基本不等式解实际问题例3 ?某单位建造一间地面面积为12的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400 7t/m* 2 * 4 5，房屋侧面的造价为150元/nA屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时，总造价最低?