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1、空间几何体的直观图【知识梳理】1.用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点 O,画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴相交于点 O,且使/ x O v =45(或135),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.(3)已知图形中平行于 x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段，长度 变为原来的一半.2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.(2)画z轴，z轴过点O,且与x轴的夹角为90,并画出高线(与原图高线相等,画
2、 正棱柱时只需要画侧棱即可 )，连线成图.(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.【常考题型】题型一、水平放置的平面图形的直观图【例1】 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.目可匚X解画法：(1)在图(1)中作AGk轴于G,作DHk轴于H.(2)在图(2)中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点 O,使/x O y =45.(3)在图(2)中的 x轴上取 O B =OB, O G =OG, O C =OC, O H =OH, y1轴上取O E =2OE,分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取G A1 .1= 2GA, H D =2HD.(4)连接 A B , A E ,
3、E D , D C,并擦去辅助线 G A , H D , x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A B C D E(如图(3).【类题通法】4 二E1C 1 .在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变）,与坐标轴不平行的线 段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.【对点训练】1.如图是水平放置的由正方形 ABCE和正三角形 CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.点0（如图（1）,画相应的X,轴和V,轴，两轴相交于点 0,使
4、/x 0 VC解：画法：（1）以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于45 (如图(2);（2）在图（2）中，以01为中点,x轴上截取A B =AB;分别过A,B作y轴的平行线，截取A E1= QAE, B1= 2BC;在y轴上截取0 D1 = 20D.连接E D,D C , C,并擦去辅助线x轴和y轴,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图AB C D（如图（3）.EO B DrCr题型二、空间几何体的直观图例2 用斜二测画法画棱长为 2 cm的正方体ABCD-A B C D的直观图.解画法：（1）画轴.如图，画 x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 0,使/xOy=45； AOz
5、 = 90.(2)画底面.以点 。为中心，在x轴上取线段 MN,使MN = 2 cm；在y轴上取线段PQ,使PQ= 1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别 为A、B、C、D ,四边形ABCD就是正方体的底面 ABCD .(3)画侧棱.过 A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段 AA、BB、CC、DD.(4)成图.顺次连接 A、B、C、D,并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 虚线)，就得到正方体的直观图(如图).【类题通法】画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它
6、们画成对应的 X,轴与y轴，两轴交于点O,且使/x O y =45(或135),它们确定的平面表示水平面，再作 z轴与 平面x O y垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于 x轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平行于 y轴的线段，且线段长度画成原来的二分之一.(4)平行于z轴的线段画成平行于 z轴的线段并且长度不变. 【对点训练】2 .如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.正视图 偶视国俯视图解：（1）画轴.如下图，画 x轴、y轴、z轴，使/xOy= 45, ZxOz=90.（2）画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱
7、台，上部是个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应高度，过。作Ox的平行线O x,Oy的平行线O y,利用O x与O y,画出上底面A B C D画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接 PA , PB , PC , PD,A A, B B, C C, D D,整理得到三视图表示的几何体的直观图，如下图题型三、直观图的还原与计算问题【例3】 如图所示，梯形A1B1clD1是一平面图形图.若 AiDi H O y , AiBi / CiDi, AiBi = 0CiDi=2, 3=i.ABCD的直观AiDi = O
8、，Di试画出原四边形的形状，并求原图形的面积.解如图，建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD = ODi=i； OC = O Ci=2.在过点D的y轴的平行线上截取 DA= 2DiAi= 2.在过点A的x轴的平行线上截取 AB = AiBi = 2.连接BC,即得到了原图形（如图）.由作法可知，原四边形 ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2, CD = 3,直角腰长度为AD = 2.2+3所以面积为S= -X 2=5.【类题通法】由直观图还原为平面图的关键是找与 x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于 X,轴的 线段还原时长度不变，平行于 y1轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2
9、倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.【对点训练】3 .如图所示，将水平放置的直观图A B C D还原为平面图形.解：(1)如下图，在水平放置的直观图中延长D A交O x轴于点E(2)如下图，画互相垂直的轴Ox, Oy,取OE=O E, 过E作EF/Qy,在EF上截取AE=2A E , DE = 2D E，然后分别过 A, D作AB/Qx,DC/Qx,并使 AB=DC=A B.(3)连接AB, BC, CD,得直观图A B C D的还原图形.综上可知，此水平放置的直观图是矩形.【练习反馈】1.关于斜二测画法，下列说法不.正确的是()A.原图形中平行于 x轴的线段，其对应线段平行于 x轴，长
10、度不变 ，一， 1B.原图形中平行于 y轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度变为原来的-C.在画与直角坐标系 xOy对应的坐标系x O y时，/ x O y必须是45D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：选C 斜二测作图时，/ x O y也可为135。，故C错.2 .有下列叙述：相等的角，在直观图中仍相等；长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选B 从原图到直观图只能保证平行的仍平行，故只有正确.3 .已知 ABC的直观
11、图如图所示，则原 ABC的面积为 解析：由题意，易知在 ABC中，AC JAB,且AC =6, AB= 3.-1S 以bc = 2*6X3=9.答案：94.如图所示，一个水平放置的正方形 ABCD,它在直角坐标系xOy中， 点B的坐标为（2,2）,则在用斜二测画法画出的正方形的直观图 A B C D中，顶点B到x轴的距离为.C1 Xf解析：正方形的直观图 A B C D如图：因为O A =B C =1, /B C x =45,所以顶点B到x轴的距离为1 X sin 4522 .答案:5.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图.解：（1）如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线A
12、O所在直线为y轴，再画 对应的x轴与v轴，两轴相交于点 O,使x O y =45.(2)在 x轴上截取 O B =O C =0.5 cm,A C,则那B C即为正三在y轴上截取O A =2AO=73 cm,连接A B角形ABC的直观图.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，从从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300
13、下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了
14、清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：锲锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。
15、这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了 “针对性”强外，本书第
16、二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到
17、一个有意思的心理测t:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错
18、过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”。正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录
19、，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印
20、象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受 用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，
21、严格地做，获得的收益将无法估量，因为, 这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统 地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是 我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我觉得 全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道
22、理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在 美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档 系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉 就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你搭那。第二，作者很多地方就像 立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几 种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较 的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。