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1、专题5-7弹簧能量问题例1 .如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在 C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的是A.在B位置小球动能最大O-A例6.如图所示，质量均为 m的木块A、B用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为的力F缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后，系统再次处于静止。此时突然撤去压力1。现用竖直向下F,当A上升到最高点时，B对水平面B.C.D.在C位置小球加速度最大从A-C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加从B-D位置小球重力势能的减少小于弹簧
2、弹性势能的增加的压力恰好为零。求：压力 F在压缩弹簧过程中做的功(提示：利用形变量相同时弹性势能相同。)WoB-Dmi、例2如图所示，劲度系数为 k1的轻质弹簧两端分别与质量为m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块 2的重力势能增加了多少？物块 1的重力势能增加了多少？例7.如图，质量为 m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为 k, A、B都处A,另一
3、端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态,例3. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示,N/m ,若在木块A上作用一个竖直向上的力F,(1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到J,求这一过程F对木块做的功.已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg,弹簧的劲度系数 k=100使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动( g=10 m/s2).F的最大值;A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使升。若将C换成另一个质量为(m1+
4、m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 大小是多少？B离开地面但不继续上B刚离地面时D的速度的8.4.如图所示，一弹簧振子.物块质量为m,它与水平桌面动摩擦因数为科，开始用手按住物块，弹簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为V1,当弹簧再次回到原长时物块速度为V2,求这两次为原长运动过质量m=10kg的物块A与质量m=2kg的物块B放在倾角。二300的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数k=400N/m,现给物块A施加一个平行于斜面向上的F,使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力 F在前0.2s内为变力,0.2s后为恒力
5、，求:(g=10m/s2)程中弹簧的最大弹性势能.(2)力F由最小值到最大值的过程中，物块A所增加的重力势能。8. (1) 60N 100N5J(1)力F的最大值与最小值5.如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为 k,小球与水平面之间的摩擦系数为科，当弹簧为原长时小球位于 。点，开始时小球位于。点右方的A点，O与A之间的距离为I。，从静止释放小球。1 .为使小球能通过 。点，而且只能通过 O点一次，试问科值应在什么范围2 .在上述条件下，小球在。点左方的停住点 B点与O点的最大距离I1是多少？弹簧问题专题6A若突然剪断细线，则剪断瞬间B.若突然剪断细线，则剪断瞬间C
6、.若突然剪断弹簧，则剪断瞬间D.若突然剪断弹簧，则剪断瞬间一、弹簧弹力大小问题弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即 F=kx,其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩 短量，不是弹簧的实际长度）。高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能的）。不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对 象，设两端受到的弹力分别为Fi、E,根据牛顿第二定律，Fi+E=ma由于n=0,因此Fi+E=0,即FiF2一定等大反向。弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接
7、触，或处 于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。在弹簧两端都保持与其它物体接触白条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物 理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）例1.质量分别为 m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正 确的是P、Q的加速度大小均为gP、Q的加速度大小分别为0和gP、Q的加速度大小均为gP、Q的加速度大小分别为3g和0A.剪断d瞬间P的加速
8、度大小为 0. 6gB.剪断d瞬间P的加速度大小为 0. 75gC.剪断e前c的拉力大小为 0. 8mgD.剪断e后瞬间c的拉力大小为1. 25mg分析与解：剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为0.75mg因此加速度大小为0.75g,水平向右；剪断 e前c的拉力大小为1.25mg剪断e后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此 c的拉力大小立即减小到 0. 8mg选B。二、临界问题两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经 分开，也可以认为还未分开。认为已分开，
9、那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加 速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。特点：1.接触；2.还没分开所以有共同的速度和加速度；3.弹力为零。这种临界问题又分以下两种情况：1.仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。例3.如图所示，两个木块 A B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A,使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F, A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是A.木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长B.木块A. B分离时，弹簧处于压缩状态
10、，弹力大小等于B的重力C.木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A B的总重力分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因此剪断瞬间 P的加速度为向上2g,而Q的加速度为向下 g;剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此 P、Q的加速度均为竖直向下，大小均为 g。选Co例2.如图所示，小球 P、Q质量均为 m分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线 d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为 0=37?。下列判断正确的是D.木块 A B分离时，弹簧的长度可能大于原长【点拨解疑】力
11、F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解, 会简单的多.分析与解：以A为对象，既然已分开，那么 A就只受重力，加速度竖直向下，大小为 g;又未分开，A、B加速度相同, 因此B的加速度也是竖直向下，大小为 g,说明B受的合力为重力，所以弹簧对 B没有弹力，弹簧必定处于原长。选 Ao 此结论与两物体质量是否相同无关。(1)最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力.在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2 ,方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为 F/2,但方向向下，考虑例4.如图所示，轻弹簧
12、左端固定在竖直墙上，右端与木块 B相连，木块A紧靠木块B放置，A、B与水平面间的动摩 擦因数均为用水平力F向左压A,使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F, A、B向右运动，下列判断正确的是F到重力的存在，所以B对A的弹力为 2。彳 WWW s A -FA A、B 一定会在向右运动过程的某时刻分开B.若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长C.若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短D.若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长分析与解：若撤去F前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服摩擦阻力做的功，那么撤去
13、F后，A B虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑动，没有分离。只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A、B间的弹力为零，因此 A的加速度是aA=w g;而此时A、B的加速度相同，因此 B的加速度a/科g,即B受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选Bo例5.如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块 A放在木块B上，两木块质量均为 mi在木块A上施有竖直向下的力 F,整个装置处于静止状态。(2)力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性.最高点时，A B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg。那么，在
14、最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于 ng,但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2,这就是说F/2=mg则F=2mg因此，使A、B不分离的条件是F 2mg2.除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。(弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，)可看成连接体。例6. 一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a (avg =匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。分析与解：设物
15、体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg,弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-ma(1)突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时,B对A的弹力有多大?(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件?当N=0时，物体与平板分离，所以此时上例7.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg,弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力 F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在 t=0 . 2s内F 是变力，在 0. 2s以后F是恒力，
16、g=10m/s2,则F的最小值是 , F的最大值是。FX 令N=Q并由述二式求得当P开始运动时拉力最小，此时对盘和物体五=at，而 上 ,所以求得a=6m/s2.P 整体有 Fmin= (m1+m2 a=72N.分析与解：因为在t=0 . 2s内F是变力，在t=0 . 2s以后F是恒力，所以在t=0 . 2s时，P离开秤盘。此时 P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在。0. 2s这段时间内 P向上运动的距离：x=mg/k=0. 4m当P与盘分离时拉力 F最大，Fmax=m2（a+g） =168N.例9.如图所示，质量均为 m=500g的木块A、B叠放在一起，轻
17、弹簧的劲度为k=100N/m,上、下两端分别和 B与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F拉A,使它以a=2. 0m/s2的加速度向上做匀加速运动。求：经过多长时间A与B恰好分离？上述过程中拉力F的最小值Fi和最大值F2各多大？刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大？x =4”a y = 20 用/ /因为 之，所以P在这段时间的加速度金当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma又因此时 N=mg所以有Fmin=ma=240N当P与盘分离时拉力 F最大，Fmax=m（a+g） =360N.例8.一弹簧秤的秤盘质量 m1=1. 5kg,盘内放一质量为 m2=1Q 5kg
18、的物体巳弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m, 系统处于静止状态，如图 9所示。现给P施加一个竖直向上的力 F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初 0. 2s内F是变化的，在0. 2s后是恒定的，求 F的最大值和最小值各是多少？ （g=10m/s2）分析与解：设系统静止时弹簧的压缩量为Xi, A B刚好分离时弹簧的压缩量为X2o kx1=2mg x1=0. 1001 A B刚好分离时，A、B间弹力大小为零，且 aA=aB=a。以B为对象，用牛顿第二定律：kx2-mg=ma得X2=0. 06m,可见分离时弹簧不是原长。该过程 A B的位移s=xi-X2=0. 04nl由 2 ，
19、得t=0. 2s分离前以 A B整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx-2 mg=2ma可知随着 A、B加速上升，弹簧形变量 x逐渐减小,拉力F将逐渐增大。开始时 x=xi, Fi+kxi-2 mg2ma彳导Fi=2N; A B刚分离时x=X2, F2+kX2-2 mg=2ma,彳导F2=6N以B为对象用牛顿第二定律：kxi-mg-N=ma得N=4N三、弹簧振子的简谐运动分析与解：因为在t=0 . 2s内F是变力，在t=0 . 2s以后F是恒力，所以在t=0 . 2s时，P离开秤盘。此时 P受到盘 的支持力为零，由于盘的质量 m1=1. 5kg,所以此时弹簧不能处于原长，这与例 2轻盘不同。设在
20、 0 0. 2s这段时间内P向上运动的距离为 x,对物体P据牛顿第二定律可得： F+N-m2g=m2a对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得：轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和 空气阻力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动。弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能E等于弹簧的弹性势能 EP和振子的动能Ek之和，还等于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能），或等于振子位于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能）， 即 E = E+E=Epn=Em简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中，振子在离平衡位置距
21、离相等的对称点，所受回复力大小、位移大小、 速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。例i0.如图所示，木块 P和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，O为平衡位置，B. C为木块到达的最左端和最右端。有一颗子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。下列判断正确的是四、弹性势能问题A若子弹是在C位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变B.若子弹是在B位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小C.若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变D.若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大E 二机械能包括动能、重力势能和弹性势能。其中弹性势能的计算式2高中不要求
22、掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的 模式：1.利用能量守恒定律求弹性势能。例12.如图所示，质量分别为 m和2m的A. B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。用水平力F将B向左压，静止后弹簧储存的弹性势能为E。若突然撤去F,那么A离开墙后，弹簧的弹性势能最大值将是多大？分析与解：振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。在B或C射入，不改变最大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小，因此周期增大。振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在O点射
23、入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和振子的 质量有关。子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。选Do例11.如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在 B位置接触弹簧的上端，在 C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的是分析与解：A离开墙前A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复原长过程，弹性势能全部转化为B的动能，因此A刚离开墙时刻，B的动能为E。A离开墙后，该系统动量守恒，机
24、械能也守恒。当A、B共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。A刚离开墙时刻B的动量和A、B共速时A、B的总动量相等，由动能和动量的关系Ek=p2/2 m知，A刚离开墙时刻B的动能和A、B共速时系统的动能之比为3:2,因此A、B共速时系统的总动能是2日3 ,这时的弹性势能最大，为日3 。O-且2.利用形变量相同时弹性势能相同。A在B位置小球动能最大B.在C位置小球加速度最大C.从2 C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D.从4D位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加分析与解：A- C小球受的合力一直向下，对小球做正功，动能增加；Cf D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，
25、因此在 C位置小球动能最大。从 B到D小球的运动是简谐运动的一部分，且C为平衡位置，因此在 C. D间必定有一个B?点，满足BC=BQ小千在B?点的速度和加速度大小都和在 B点时相同；从C到D位移逐渐增大，回复力逐渐增大， 加速度也逐渐增大，因此小球在D点加速度最大，且大于g。从C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之 和，因此重力势能的减少大于动能的增大。从B-D小球重力势能减小，弹性势能增加，且B点动能大于D点动能，因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性势能增加。选DA相连后的静止状态、撤去压力FA处于平衡位置。6分析与解：如图、分别表示未放A,弹簧处于原长的状态、弹簧和前的静止
26、状态和撤去压力后 A上升到最高点的状态。撤去 F后，A做简谐运动，状态7- - 1 J3 干月至 T- 一 W 司算B的重力；由于 A B质量相等，因此、状态弹簧被压缩，弹力等于 A的重力；状态弹簧被拉长，弹力等于 状态弹簧的形变量都是l。由简谐运动的对称性，、状态A到平衡位置的距离都等于振幅，因此x=2l到过程压力做的功 W等于系统机械能的增加，由于是“缓慢”压缩，机械能中的动能不变，重力势能减少，因此该过程弹性势能的增加量 AEW2mgl;到过程系统机械能守恒，初、末状态动能都为零，因此弹性势能减少量等于 重力势能增加量，即 AE2=4mgl。由于、状态弹簧的形变量相同，系统的弹性势能相同，即AEi=AE,因此 W=mgl。7分析与解：画出未放A时弹簧的原长状态和挂 C后刚好使B离开地面的状态。以上两个状态弹簧的压缩量和伸长量分别 为xi=mg/k和X2=mg/k,该过程A上升的高度和 C下降的高度都是 X1+X2,且A. C的初速度、末速度都为零。设该过程弹性势能的增量为 AE,由系统机械能守恒：mg（X1+X2） -mg（X1+X2） + A E=0将C换成D后，A上升X1+X2过程系统机械能守恒：mg（X1+X2） - （m+m） g（X1+X2） +AE+ （2m+m） v2/2 =0由以上两个方程消去 AE,得?1饵+/短（加+叫酬