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1、高中解析几何专题（精编版）1.（天津文）设椭圆的左、右焦点分别为3, F2。点尸（“,）满足 PF2 1=16入 I.（I）求椭圆的离心率6；（II）设直线PR及椭圆相交于A, B两点，若直线PF2及圆 （1+1）2+6，-力）2 = 16相交于N两点，且，求椭圆的方程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线及圆的位置关系 等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的 数学思想，考查解决问题能力及运算能力，满分13分。（I ）解:设式（-c,0）,5（c,0）（c0）,因为IP鸟 IT 5 I,所以痴-4+/=2c
2、 ,整理得23+-1=0,得 = -1 （舍）a） aa或（II）解：由（I ）知。=2。/=口，可得椭圆方程为3/+4y2=i2/, 直线FF2的方程为丁 =瓜X-C）.A, B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2-8m = 0。解得,8x =0%=三3得方程组的解厂5X =3V3?2= 不妨设，B（0,Wc）,所以1AB喷于是+ 孚。+辰）苧圆心（-1,6）到直线PF?的距离d =二皿=父因为，所以整理得7c2+12。-52 = 0,得（舍）,或c = 2.所以椭圆方程为2 .己知椭圆G：L +二=1（。）的离心率为底，右焦点为（2近,0）, a b3斜率为I的直线/及椭圆G交及A、
3、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（H）求PA8的面积.【解析】解：（I）由已知得解得 a = 2 5/3.又 b，= a2 -c2 =4.所以椭圆G的方程为（II）设直线/的方程为y = x + .由得4x2 + 6mx+3m2 -12 = 0.设A B的坐标分别为（西,弘）,（芍,为）（m0.（8- 2a） j56-16r/-42因此，=，从而4a - 0 2。+ 1广、x +x2 =4-a, xx2 = 2由于 0A_L0B,可得+ y % =。,又 yl=xl+ a, y2 = x2 + a,所以2xix2 + a（xl +x2） + a2
4、=0.由，得。=-1,满足A0,故。=-1.5.（辽宁文）如图，已知椭圆G的中心在原点。，长轴左、右端点乱 N在x轴上，椭圆G的短轴为理V,且G, G的离心率都为&直线1 J_MN, /及G交于两点，及C交于两点，这四点按纵坐标从大到小依 次为 4 B, C, D.（I）设，求阳|及|44的比值；（II）当e变化时，是否存在直线1,使得604M并说明理由.【解析】解：（I）因为a, a的离心率相同，故依题意可设厂 VV 厂G: = L a: 37 = 1,（ 人 。）c 厂 lra cr设直线/：x=（1）,点尸是。上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为（2,0）。（1）若M及A重合，求C的焦点
5、坐标；（2）若m=3,求1PAi的最大值及最小值；（3）若IPAI的最小值为IM4I,求?的取值范围。【解析】22.解：? = 2,椭圆方程为，c = j4-1 =小 左.右焦点坐上小9 （-x/,0）,0(2) m = 3,椭圆方程为，设P(x,y),则Y2 S91IPAI2=(x-2)2 + y2=(x2)2 + l -= -(x)2+-(-3x3) 9 92时；x = -3时IPAK = 5。设动点P(x,y),贝Iin-， /， z/ 厂 ，“1 , 2厂、， 4? u / / / 、I PA=(x-2)- + 尸=(工-2厂 + 1 =(X ；y ；+ 5(-/z x 1解得1 m
6、-1 =。所以占，七是方程 T* -2（* + 3）/A + （片+3）2-1 = 0的两个不相等的根从而4+2笺牛可F因为 s +xB =2xq所以2-k21 / 17从而进而得x； = 8,$=土酶综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（土揩,2鱼）.12.（重庆文）21.（本小题满分12分。（I ）小问4分，（II ）小问 8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点。，离心率e吟，一条准线的 方程是工=2点（I）求该椭圆的标准方程；（II）设动点 P 满足：OP = OM+2ON, 其中M. N是椭圆上的点，直线 0M及ON的斜率之积为，问：2是否存在定点F,使得|P及点P 到直线1:工=
7、2加的距离之比为 定值；若存在，求F的坐标，若 不存在，说明理由。【解析】21.（本题12分）解：（I ）由e = =走，幺=2无， a 2 c解得4 = 2,c =近,b? =a2 -c2 = 2 9故椭圆的标准方程为(II)设尸则由丽=丽+ 2丽得(x, y) =(M，y)+ 2(%,% ) =(K + 2x2 , yl + 2y2), 即 x = A + 2巧,y = yt + 2yz.因为点M, N在椭圆/+2y2=4上，所以x；+2y； =4,x；+2y； = 4,故 x2 + 2y2 = (x； + 4x; +) + 2( 7 + 4y; + 4;=(Xj2 + 2f) + 4(x
8、； + 2资)+ 4(中 = 20+4( + 2yl y2).设生“次次分别为直线。M，ON的斜率，由题设条件知kM , kON =1 = 一：，因此642+2%力=，xxx2 2所以 f + 2y2 = 20.所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为以加。，离心率6 =走，直线，:x = 2M是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义, 2存在定点f（Vio,o）,使得|PF|及P点到直线1的距离之比为定值。13 .（安徽文）（17）（本小题满分13分）设直线（：y =幻+1/ ： ），= k2x- 1,其中实数占间满足&M +2 = 0.（I）证明及相交；（H）证明乙及的交点在椭圆2x?+y2=
9、l上.【解析】（17）（本小题满分13分）本题考查直线及直线的位置关系, 线线相交的判断及证明，点在曲线上的判断及证明，椭圆方程等基本 知识，考查推理论证能力和运算求解能力.证明：（I）反证法，假设是人及义不相交，则人及区平行，有kx=k2,代入 kh+2=0,得6+2 = 0.此及k为实数的事实相矛盾.从而女尸的，即乙与乙相交.（II）（方法一）由方程组解得交点户的坐标（X, ）为而2/ + ）,2 = 2尸 + （2 = 8 + k；+k；+2k& = k.-k,k2kki+k-2k1k2 代+环+4此即表明交点PC）在椭圆2-+俨=1上.（方法二）交点尸的坐标满足丁一1 =幻y+ 1 =
10、 k）xy匚故知0从而4A代 乂/, + 2 = 0,得 11 + 2 = 0. x X整理后，得2/+）,2=1所以交点户在椭圆2a-2 + V = 1上.14 .（福建文）18.（本小题满分12分）如图，直线1： y=x+b及抛物线C： x2=4y相切于点Ao(I)求实数b的值；(ID求以点A为圆心，且及抛物线C的准线相切的圆的方程.。【解析】18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数及方程思想、数形结合思想，满分12 分。解：(I)由卜得/一4% 4/，= 0, (*) r=4y因为直线/及抛物线C相切，所以 = (-4)24x(-4) = 0, 解得b
11、二-1。(II)由(I)可知。=一1,故方程(*)即为小一4工+ 4 = 0,解得x=2,代入犬=4y,得y = 1.故点 A (2, 1),因为圆A及抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y二-1的距离， gpr=ll-(-l)l= 2,所以圆A的方程为(x_2)2+()1)2=4.15 .(湖北文)21.(本小题满分14分)平面内及两定点4(/,0)、 4m0) (0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上I、4两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。(I )求曲线C的方程，并讨论C的形状及m值的关系；(II)当? = -1时，对应的曲线为G；对给定的zw(T0
12、)U(0,+s),对 应的曲线为G，设5、乃是G的两个焦点。试问：在G上，是否存 在点N,使得N5的面积若存在，求tanNF?的值; 若不存在，请说明理由。【解析】21.本小题主要考查曲线及方程、圆锥曲线等基础知识，同 时考查推理运算的能力，以及分类及整合和数形结合的思想。(满 分14分)解：(I)设动点为M,其坐标为(x,y),当x W 4时，由条件可得3科攵成=-=1- = ?，x-a x+a x -aB|J mx1 - y2 = ma2 (x 丰 士a),又 A, (-a, 0), 4 (A, 0)的坐标满足 mx1 - y2 = ma2, 故依题意，曲线C的方程为如y2 =尸当?7时曲
13、线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当 ? = -1时，曲线C的方程为f+y2=2, C是圆心在原点的圆;当-1团0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆； 当机0时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。（II）由（I）知，当m=-l时，Q的方程为+产=/；当 wie（T0）U（0,+）时，G的两个焦点分别为6（-aVT1加0）, F2 （aVTT加0）.对于给定的， w （-1,0） U （。，2），Ci上存在点N（%,y（）（儿。0）使得S =1 m I a2的充耍条件是玉；+垢=，/，y0工。， 1 、 2aJl + ? I y（） 1=1 m I a2.由得0l%K,由得止八 I
14、 m I a nnl-v5 八 30 一 。，即 m a,即Tm,Jl + 72或时，不存在满足条件的点N,当me,0 U 0,时,由 NR = （-al + 团 一% 一 %）,NF； = （ajl+m 一1,一%），可得 NF】 NF2 =* 一（1 + m）a2 + y： = -ma1,令I NFi T=八,1 NF；T= r2,NFNF? = 6 ,2则由 N” - NF, = cos0 = 一可得4G = -丝一，cos 6iitsTc 1 .八 /?k/2 sin 012 八zyk nU 5 = rr, sin = - - ma tan 夕，22 cos 92于是由ST?la，可得
15、一 Lma2 tan 0 =1 m /,即 tan 8 = 一. 2m综上可得：当时，在Cl上，存在点N,使得S=lmM,且tan/A吗=2;当时，在Ci上，存在点N,使得S =l7la且tanENF2 =-2;当,（T二E）U（匕立什）时，在3上，不存在满足条件的点N。 2216.（湖南文）21.（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点21.0）的距离及点尸到y轴的距离的差等 于1.（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点/作两条斜率存在且互相垂直的直线64,设乙及轨迹c 相交于点48, /,及轨迹。相交于点DE,求标,反的最小值.【解析】21.解析：（I）设动点尸的坐标为（x,y）,由
16、题意为而万7斤-lxl=L化简得 V=2x + 2lxl,当 X 2 01 4,y = 4x;当x 00寸，y=0.、所以动点P的轨迹C的方程为,丁=4宜_心0）和y=0（x = （x-l）.由，得攵讨-（2攵?+4）x +攵2=0.设A（xq）B（w，为），则与是上述方程的两个实根，于是 r 4.Xj + x2 = 2 + , xxx2 = 1 因为/J/,所以/，的斜率为K设 D（x3,8）, 8（X4, y4）,则同理可得 x3 + x4=2 + 4kx3x4 = 1故一AD.EB =+ FD)(EF+FB)=春酝+公耘+而酝+西丽=西卜|函+|西|瓯=(再 +1X 巧+1)+(演 +1
17、乂项 +1)=xx2 +(X)+ X2)+ + x3x4 +(x3 + x4) + l4=1+（2 + 不）+1 + 1 + （2+4 F）+1 k= 8-b4（jt2 + ）8+4x2. =16当且仅当即k=l时，而而取最小值16.17.（广东文）21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系式Qv中，直线/= -2交x轴于点A,设尸是/上一点，M是线段0P的垂直平分线上一点，且满足ZMP0=ZA0P（1）当点P在/上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）己知T （1, -1）,设H是E上动点，求四。|+|町的最小值,并给出此时点H的坐标；(3)过点T (1, -1)且不平行及y轴的直线L及轨迹E
18、有且只有 两个不同的交点，求直线6的斜率k的取值范围。【解析】21.(本小题满分14分)解：(1)如图1,设嫄为线段0P的垂直平分线，交0P于点Q,/ ZMPQ = ZAOP, MP _L /,且 I MO 1=1 MP I.因此/+，=|工+ 2|,即y2 = 4( x + l)(x -1).另一种情况，见图2 (即点M和A位于直线0P的同侧)。.MQ为线段0P的垂直平分线，4MPQ = ZMOQ.又.- 4MPQ = AAOP,：. /MOQ = ZAOP.因此M在x轴上，此时,记M的坐标为(乂0).为分析M(x,0)中x的变化范围，设P(2,)为/上任意点(a e R).由 IMORMPI(即 I X 1= J(X + 2)2)得，故A/(x,0)的轨迹方程为y = 0,x 0,x2 0,X尸 x2, A(-Xj -y1), C(xt ,0).设直线PB, AB的斜率分别为垢心因为C在直线AB上，所以k, _。-3)_乃_”.2 x 一 (-%,) 2x12从而kxk + = 2k、k, +1 = 2- AzJi .-(-、+1V2 - Xj x2 -(一七)=0.2）一2y：-_（x；+2y；）_ 4-45 5-十555 YX； _ 石勺 _ xfX2 _ X因此攵/ = T所以04, PA