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1、三角函数和向量高考专题突破：高考中的三角函数与平面向量问题快速解答自查自纠n考点自测1.已知锐角处 且5a的终边上有一点P(sin(一50), cos 130),则“的值为(A. 8B. 44C. 26D. 40答案B解析 Vsin (-50)0, cos 130 =-cos 500 0,，点 P(sin(-50), cos 130。)在第三象限.又0VaV90。，A05a450.又丁点尸的坐标可化为(cos 220。，sin 220), A5(z=220, Aa=44,故选 B.2.已知向量加= (2,0),向量0r=(2,2),向量6 = (/2cos “0V9V九)为偶函数，其图像与直线
2、y=2某两个交点的横坐标分别为XI, X2,若比2一不的最小值为兀，则该函数的一个递增区间可以是(a5,7T 7T4J/ 7T 7TB一4n 3nR题意知函数的最小正周期为7T,故o)=2,所以yC.o, 2答案A 解析由函数为偶函数知(p=+kn(kZ).又 因为00兀，所以所以y=2cos cox.由题型分类=2cos2x,经验证知选项A满足条件.故选A.对接高考深度剖析题型一 三角函数的图像与性质 +字,xER.例1已知函数/(x) =cos x*sininx+- _cx+)+sin(ftx)2cos2竿，xR(其中 ”().求函数/(x)的值域；若函数y=/(x)的图像与直线y=-1的
3、两个相 邻交点间的距离均为$求函数y=/(x)的单调增 区间.解(1(幻=甲加 x+|cos 甲sin cox- / / / /COS (OX(cos ftx+l)17T(oxcos cox)1=2sin(x) 1.由一lWsin(s:一7T得一32sin(ft)xW)1 Wl,所以函数/(x)的值域为-3用.由题设条件及三角函数图像和性质可知，y= /(%)的周期为7T,27r所以W=兀，即侬=2.7T所以 /(X)=2sin(2x%)1,再由 24加一32x不(WZ), 乙。乙TTTT解得 knyzX Zen+-(k G Z). U07T所以函数y=/a)的单调增区间为而T%, k7i+7
4、1/ Z).题型二三角函数和解三角形 例 2 (2015* 山东)设X)=sin xcos xcos2 x+4 .求f(x)的单调区间；在锐角ABC中，角A, B, C的对边分别为 a,c.若曲=0, a = l,求A6C面积的最大解(1)由题意知/(x)：811岁一/ 、,_. 7T1 + cos2x+sin 2x 1sin 2x2 2=sin2x-1.717T由-3+2A7rW2xW3+2A7r, kGZ,TT7T可得一工+左兀工工+左兀，kZ；7T37r由3+2A7rW2xW7+2A7r, kGZ,7T37r可得X+A7rWxW+A7r, kGZ.7T7T所以/（X）的单调递增区间是一z
5、+E，4+kn心Z）；7TS7T单调递减区间是4+左孙+kn(kZ). , (2)由媚=sinAg=0,得 sinA=g,由题意知A为锐角，所以cosA =由余弦定理 a2=b2+c22bccos A,可得 1+小 bc=F+c222bc, 即加W2+小，当且仅当方=c时等号成立.因 此;。csin A所以ZvlBC面积的最大值为胃普.思维升华 三角函数和三角形的结合，一般可以 利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角, 再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活 运用是解决此类问题的关键.7兀、跟踪训练2已知函数/(x)=2cos2%sin 2x.求函数/（X）的最大值，并写出了（X）取最大
6、值时X的取值集合；（2）EAABC中，角A,C的对边分别为a, b,3若/=：,b+c=29求实数。的最小值.7a 解 (l)./(x)=2cos2xsin 2x.77r 一7市= (l+cos 2x)sin 2xcos 不一cos 2xsm .1Ix+2cos 2x= l+sinl2x+L，函数/（x）的最大值为2.要使/（X）取最大值, 则 sin 2x4- =1,，21：+%=2左加+5（42）,解得工=左兀+不，左Z.故/(X)取最大值时X的取值集合为7T%=%兀+%, kGZ r. 兀) 3(2)由题意知，/(A)=sin2A+l = -,( 7rl 1化简得 sin2A+j=-VA
7、G(O, 7T), r.24+|e I，等，.24+3=1，.*.A=?. o oJ在足区。中，根据余弦定理，得7Ta2=ft2+c2-2ftccos =(b+c)23bc.由 b+c=29知bcW2=1即 a2l.，当方=c = l时，实数的最小值为1题型三三角函数和平面向量 例 3 已知向量=(机，cos 2x), ft = (sin 2x, n函数加)=m且y=/(x)的图像过点目，,)和点(差，2).求相，n的值;将y=/(x)的图像向左平移9(0v9Vm个单位后 得到函数y=g(x)的图像，若丁=冢用图像上各最 高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x) 的单调递增区间.解
8、(1)由题意知 f(x)=a9b=msm 2x+/zcos 2x.因为y=/a)的图像过点(方 小)和(7，2), JLNJd=/sin +ncos4n .47r2=/nsin -y+wcos 解得m=小, n = l.(2)由(1)知/(x)=,sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).由题意知 g(x)=/a+9)=2sin(2x+29+，设J=g(x)的图像上符合题意的最高点为(即),2),由题意知xd+l = l,所以xo=O,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入了=以为得sin(2+)=l, 因此 g(x)=2sin(2x+)=2cos 2x.因为09兀，所
9、以7T一,由 2k7t7t2xW2k7t, kGZ,得左7T人7T, kGZ,所以函数产g(x)的单调递增区间为囱rM,kGZ.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具,是一 个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合 正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对 变形过程的影响.跟踪训练3 已知向量 a=(cost, sin a), b=(cosx9 sin x), c=(sin x+2sin a, cos x+2cos a), 其中Qaxn.7T(1)若求函数/(x)=6。的最小值及相应工的值；7T(2)若a与b的夹角为不且L,求tan 2a的值.
10、解 (l)=(cosx, sin x), c = (sinx+2sin a9 cosx+2cos a),：,f(x)=b-c=cos xsin x+2cos xsin a+sin xcos x+2sin xcos =2sin xcos x+也(sin x+cos x).f、AI7r令 =sin x+cos xl x7r I,贝！ 2sin xcos x=t2l,且一则函数/(X)关于t的关系式为7=产+近-1 =此时 sinx+cosx= 即啦 sinx+7 =瓦 X7T,117T,7T 77rx+石，12 ，函数/(X)的最小值为一：，相应X的值为/JL/7T(2)丁与的夹角为示n abco
11、s 3 = aVb =cos acosx+sin asm x=cos(xa).0ax7r,0xa0, xR.若函数/(x) =m-n的最小正周期为n.求切的值;在八4区。中，若f(B)=-2, BC=木,sin B=/3sin A,求BA阮的值.解 (1点用=机=2*sin coxcos cox+cos2 cox / sin2 cox=l3sin 2ftx+cos 2x=2sin 2cox+./(X)的最小正周期为7T,口0, 27r.T=n.，”=L设AIKC中角A, C所对的边分别是a,b,oi兀,:f(B) = -2, A2sin 2B+t=-2,7T即 sin 2B+t = 1,解得笈
12、=T/e(o,兀) ,:BC=0, sinB=/3smA, 即b=a,:.b=3.由正弦定理，有需.2n9 sm -J解得sinA=g.nnVOA-, ：.A=. 3o27r3.BA-BtJ=cacos B=, X * X cos-= J /X4.函数/(x)=cos(nx+9)0V9Vm的部分图像如图所示.求9及图中X。的值;设g(x)=/(x)+/x+1 ,求函数g(x)在区间1 15 3上的最大值和最小值.解(1)由题图得/(0)=所以cos9=pjr7T因为OV9V5，故9=z6-由于/(x)的最小正周期等于2, 所以由题图可知1VxoV2,ll 77T 7T 13 7T故石 Vnxo
13、+%V7,由大xo)=COS 7lXo +7T7Tcos nxcos sin nxsin sin nx所以 70；0 + *=拶，Xo y(1)(1 7r(2)因为/%+ =cos 7rx+ +% =cos 7tx+? = sin tix97T17T6J所以 g(x)=/fx)+/|x+ =cosnx+ sin 7tx=32sinCOS 7tx X小cos 7tx2sin 7txsin 7rx=TtX1 1 t当xe y 3时,7T .71.2nmW工17r所以一Wsi也一衣31,故当，-7TX=3,即x=一；时,g(x)取得最大值小; UNJ当一皿=一奈,即岩时,g(x)取得最小值一兴5.
14、(2015福建)已知函数/(X)的图像是由函数g(x) =cos X的图像经如下变换得到：先将g(x)图上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不 变)，再将所得到的图像向右平移3个单位长度.求函数/(X)的解析式，并求其图像的对称轴方 程;已知关于“的方程/(x)+g(x)=根在0,2兀)内有 两个不同的解”，/?.2证明：cos(1 0方法一(1)解 将g(x) = cos X的图像上所有点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到J=2cosx的图像，再将y=2cos x的图像向右平 f(x)=2sin x.移个单位长度后得到j=2cosx7T的图像，故从而函数/(x)=2sin x图
15、像的对称轴方程为x=7T丘+不(AZ).解 /(x) +g(x)=2sin x+cosx(21、=阳乖疝+消。s=4sin(x+e)(其中 sin。=上，cos(p=依题意，sin(x+)=诋在0,2兀)内有两个不同的解心从当且仅当1,故机的取值范围是证明 因为a, 0是方程小sin(x+0)=机在 0,2兀)内的两个不同的解，mm所以sin+9)=在，sin3+*=否当1/根V/时，a+/?=29 ,即 ap=7i2+。);(3兀 )当一术ml 时，口+夕=2彳-9，即 afi=3n所以 cos(a fl) = cos 20+0) =2sin2(+)1方法二(1)同方法一.(2)同方法一.证明 因为M /?是方程由sin(x+0)=机在0,2兀)内的两个不同的解，mm所以 sin+9)=sin(fi+(p)=术.当l/nV4时，口+少=2日(p9 即 a+(p=7t3+。);当一,V/wVl 时，”+/?=2移一0), 即 a+(p=3n(fi+(p)；所以 cos+)=cos”+9).于是 cos(a fi)=cos(cr+ (J3+(/J)=cos+)cos0+0)+sin+9)sin0+)=cos209+(/)+sin(a+)sin()9+(p)2m25