《初中数学竟赛辅导资料奇数偶数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竟赛辅导资料奇数偶数.pdf（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、初中数学竞赛辅导资料（17） 奇数偶数 甲内容提要甲内容提要 1 奇数和偶数是在整数集合里定义的， 能被 2 整除的整数是偶数，如 2，0 2，不能被 2 整除的整数是奇数，如1，1，3。 如果 n 是整数，那么2n 是偶数，2n1 或 2n+1 是奇数。如果n 是正整 数，那么 2n 是正偶数，2n-1 是正奇数。 2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 奇数集 奇数 整数或 整数集合 偶数集偶数 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数， 不是偶数就是奇数，如果既 不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。 3 奇数偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数 奇数奇数奇数奇数
2、偶数偶数，偶数偶数偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 乙例题乙例题 例1求证：任意奇数的平方减去1 是 8 的倍数 证明：设 k 为整数，那么 2k1 是任意奇数， （2k1）214k24k114k(k1) k(k1)是两个連续整数的积，必是偶数4k(k1)是 8 的倍数 即任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数 例2已知：有 n 个整数它们的积等于 n，和等于 0 求证：n 是 4 的倍数 证 明 ： 设n个 整 数 为x1,x2,x3, xn根 据 题 意 得 x1x2 x 3 x n n x x x x 0 23n 1 如果 n 为
3、正奇数，由方程（ 1）可知x1,x2,x3,xn都只能是奇数，而奇数 个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的 0，所以 n 一定是偶数； 当 n 为正偶数时， 方程 （1） 左边的 x1,x2,x3,xn中， 至少有一个是偶数， 而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2 个。 所以 n 是 4 的倍数。 例 3 己知：a,b,c 都是奇数 求证：方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c 都是奇数，而右边 0 是偶数，故不能成立； 若方程的整数解 x 是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c 是奇数，
4、所以左边 仍然是奇数，不可能等于0。 既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数， 方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例 4 求方程 x2y260 的正整数解 解：(x+y)(xy)=60， 60 可分解为：160，230，320，415，512，610 左边两个因式(x+y)，(xy)至少有一个是偶数 因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数，且 xy0,适合条件的只有两组 x y 30 x y 10 x y 2 x y 6 解得 x 16x 8 y 14 y 2 方程 x2y260 的正整数解是 x 16 y 14 x 8 y 2 丙练习丙练习 1717 1 选择
5、题 设 n 是正整数，那么 n2+n-1 的值是（） （A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数 求方程 85x324y=101 的整数解，下列哪一个解是错误的？（ （A） x 5 （B） x 329 （C） y 86 x 653 （D） x 978 y 1y 171 y 256 2 填空： 能被 3，5，7 都整除的最小正偶数是 能被 9 和 15 整除的最小正奇数是最大的三位数是 ） 12320012002 的和是奇数或偶数？答 正整数 123420012002 是奇位数或偶位数？答 10001能被 11 整除，那么 n 是正奇数或正偶数？答 n位 3 任意三个整数中，必有两个的和是
6、偶数，这是为什么？ 4 试说明方程 2x+10y=77 没有整数解的理由 5 求证：两个連续奇数的平方差能被8 整除 6 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7 求方程（2xy2）2（x+y+2）2=5 的整数解 8 方程 19x+78y=8637 的解是() (A) x 78 x 84 x 88 x 81 (B)(C)(D) y 91y 92y 93y 91 9. 十进制中，六位数19ab87能被 33 整除，求 a,b 的值 练习 17 1.B，D 2.210，45，945 奇数(有奇数个奇数)，奇数位，正偶数 3.整数按奇数，偶数分为两类，3 个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故 它们的和是偶数 4.左边 2，10、都是偶数， x.y 不论取什么整数， 都是偶数， 而右边是奇数， 等式不能成立 5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n 6.任意两个奇数可设为 2m-1,2n-1 7.两个整数的平方和 5 为，只有(1)2+(2)2=5 或(2)2+(1)2=5 可得四个方程组 2x y 2 1,2,1,2x .1,.1,.1,.1 ，解得 x y 2 2,1,2,1y 1,2,3,2 8. (D)9.a=9， b=2；a=2， b=6；a=5 ，b=9。