第七讲 直线和平面.doc

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1、数学专题讲座（八） 高三高考专栏第七讲 直线和平面2002-06-07第七讲 直线和平面知识要点（一）平面的概念及有关内容1立体几何的研究对象是空间图形，空间图形是由空间的点、线、面所构成，也可以看成是空间点的集合柱、锥、台、球等都属于空间图形平面图形是空间图形的一部分凡是平面几何里的定义、定理等，对于空间的任何平面内的平面图形仍然适用，但对于非平面图形，则需要经过证明才能应用2平面基本性质的三条公理及推论，是学习研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是立体几何解题的重要思想方法（1）公理1是判定直线是否在平面内的依据（2）公理2是确定两个平面相交于

2、一条直线的依据（3）公理3及其推论给出了确定平面位置的方法和途径3证明空间点共线、线共点、点共面及线共面的有关问题（1）证明空间三点共线通常证明这些点都在两个平面的交线上（2）证明空间三线共点，常用三个平面两两相交，三条交线共点（或平行）证明（3）证明空间诸点共面，可先取不共线的三点确定一个平面，再证其余点都在这平面内（4）证明空间几条直线共面，可先确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内（二）直线与直线、直线与平面、平面与平面1位置关系2平行（1）直线与直线平行判定：公理4（P12）；P21定理；P26定理；P36定理；平几方法性质：公理4；P13等角定理；判定线面平行（P20）；判定线面

3、垂直（P25）（2）直线与平面平行判定：据定义判定（P18）；P20线面平行判定；P36两平行平面性质性质：直线与平面无公共点（定义）；P21定理（3）平面与平面平行判定：据定义判定（P34）；P35判定定理；P35例1性质：无公共点；P36性质定理；夹在其中的平行线段相等（P38）；平行平面唯一性（P38）3垂直（1）直线与平面垂直判定：据定义判定（P24）；判定定理（P24）性质：直线垂直平面内任一直线（定义）；P26性质定理；P25例；垂线或垂面的唯一性（P24第三行）（2）平面与平面垂直判定：据定义判定（P34）；P42判定定理性质：所成二面角为直二面角（定义）；P43性质定理；P43

4、例14直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直均可以相互转化，注意掌握这些位置关系转化的条件因此要判定论证某一平行或垂直的过程就是从平行或垂直出发不断转化的过程解题要充分把握这一特点，灵活确定转化思路和方向（三）角和距离1三垂线定理和三垂线逆定理（1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（2）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直2角（1）空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180（2）

5、空间角的计算方法异面直线所成的角，根据定义采用“平移转化法”，使之成为相交直线所成的角直线与平面所成的角，除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键通常的作法有：（）定义法；（）利用三垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中S 为斜面面积，S为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角3距离（1）空间中的距离是立体几何的重要内容，其

6、内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的点到平面的距离：平面外一点P 在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离（

7、2）求距离的一般方法和步骤应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之（3）异面直线上两点间距离公式如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么EF （“”符号由实际情况选定）（四）重要的思想和方法1“升降维”思想直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为

8、易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程2反证法反证法是立体几何中常用的间接证明方法其步骤是：否定结论；进行推理；导出矛盾；肯定结论用反证法证题要注意：宜用此法否；命题结论的反面情况有几种例题解析例1 如图71，平面ABD平面BCD 直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形，试证明三直线B

9、D 、MQ 、NP 共点【分析】由已知条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可【证明】四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，直线MQ 、NP 必相交于某一点O O 直线MQ ；直线MQ 平面ABD ，O 平面ABD 同理，O 平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，故由公理二知，O 直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点【点评】“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题例2 已知：如图，a b a

10、 ，b b ，a b A ，c a ，c a 求证直线b 、c 为异面直线【分析】证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用课本第10页的例题：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”进行判定（该结论其实就是异面直线的判定定理）而利用反证法判定两直线b 、c 为异面直线又有两条途径：其一是直接假设b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设b 、c 平行与相交；分别产生矛盾【证法一】假设b 、c 共面于g 由A a ，a c 知，A c ，而a b A，a b a ， A g ，A a 又c a ， g 、a 都经过直线c 及其外的一点A ， g 与a

11、 重合，于是a g ，又b b 又g 、b 都经过两相交直线a 、b ，从而g 、b 重合 a 、b 、g 为同一平面，这与a b a 矛盾 b 、c 为异面直线【证法二】假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行（1）若b c ，又a c ，则由公理4知a b ，这与a b A 矛盾（2）若b c P ，已知b b ，c a ，则P 是a 、b 的公共点，由公理2，P a ，又b c P ，即P c ，故a c P ，这与a c 矛盾综合（1）、（2）可知，b 、c 为异面直线【证法三】 a b a ，a b A ， A a a c ， A c ，在直线b 上任取一点P（P 异于A），则P

12、a（否则b a ，又a a ，则a 、b 都经过两相交直线a 、b ，则a 、b 重合，与a b a 矛盾）又c a ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线【点评】判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：（1）否定结论；（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论宜用反证法证明的命题往往是（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（2）肯定或否定型的命题（如结论中出现“必有”、“

13、必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；（5）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题例3 如图，四面体ABCD ，AC BD ，AD BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，（1）求证EF 是异面直线AB 和CD 的公垂线；（2）若AC BD ，求EF 和BD 所成的角【分析】（1）证明EF 是异面直线AB 和CD 的公垂线的关键在于证明EF 与AB 、CD 分别垂直相交；（2）求EF 和BD 所 成的角，可以利用三角形中位线定理将BD 平移至GF 位置，转为求EFG 的大小

14、，可用解三角形的方法解决（1）【证明】如图， AC BD ，BC AD ，AB 是公共边， ABC BAD 连结CE 、DE ，又E 是AB 中点， CE DE F 是CD 中点， EF CD 于F 连结AF 、BF 同理可证AF BF EF AB 于E 直线EF 是异面直线AB 、CD 的公垂线（2）【解】取BC 中点G ，连线GF 、GE F 是CD 中点，E 是AB 的中点， GF BD ，GE AC ， GFE 是异面直线EF 和BD 所成的角 AC BD ， EG FG AC BD ， EG FG EGF 是等腰直角三角形，GFE 45， EF 和BD 所成的角是45【点评】注意异面

15、直线的公垂线、公垂线段和异面直线的距离概念的区别，要会用异面直线的公垂线的定义去判断或证明异面直线公垂线注意异面直线所成角的归面转化（平移转化法），在归面转化过程中，常常应用平面几何中的平行四边形、三角形中位线、梯形中位线等性质，容易获得比较理想简洁的解题效果 例4 如图，直三棱柱A1B1C1ABC 中，BC1 AB1 ，A1C BC1 ，求证：AC AB 【分析】有两种方法一是利用“等腰三角形的判定定理”，即过A 作AM BC ，论证M 是BC 的中点，即可证明AB AC 注意利用“三垂线定理”将BC1 AB1 转化为BC1 B1M ，从而将空间异面直线垂直问题转化为平行四边形问题解决二是将

16、直三棱柱补成直平行六面体A1B1D1C1ABDC ，由于四边形ABDC 为平行四边形，只要论证AD BC 即可【证法一】如图，作AM BC 交BC 于M ，作A1M1 B1C1 交B1C1 于M1 ，连结B1M ，M1C ，M1M 直三棱柱侧面B1BCC1 底面ABC ， AM 平面B1BCC1 同理A1M1 平面B1BCC1 ， A1M1 AM ， A1M1 和AM 共面，其所在平面AMM1A1 与平面B1BCC1 的交线是M1M 在直三棱柱中，A1A B1B ， A1A 平面B1BCC1 ， A1A M1M B1B 又 B1C1 BC ， 四边形B1BMM1 是平行四边形， B1M1 BM

17、 A1M1 平面B1BCC1 ，M1C 是A1C 在B1BCC1 上的射影 A1C BC1 ， M1C BC1 同理B1M BC1 B1M M1C ，四边形B1MCM1 是平行四边形， B1M1 MC BM 又AM BC ，AC AB 【证法二】如图，把直三棱柱A1B1C1ABC 补成直平行六面体A1B1D1C1ABDC 连结B1D 、AD A1B1CD ， 四边形A1B1DC 是平行四边形， A1C B1D A1C BC1 ， B1D BC1 ，又 AB1 BC1 ， BC1 平面AB1D AD 平面AB1D ， BC1 AD 直三棱柱侧棱C1C 底面ABC ， BC 是BC1 在平面ABC

18、 上的射影，AD BC 【点评】证法一的思路是利用直三棱柱侧面与底面垂直的条件来构建“三垂线”模型的图形特点，达到从异面直线垂直的题设条件出发推证出同一平面内两条直线同垂直于第三条直线从而把问题化归为平面内的平行四边形的问题加以解决在直棱柱中有关垂直的问题，构建“三垂线”的模型应该是优先考虑的解题思路证法二的思路是利用线段垂直推得线面垂直，进而推得线线垂直，线线、线面、面面间的垂直关系及转化是解决有关垂直问题的最基本方法，而用“三垂线”又是证明线线垂直的重要技巧本方法的特点在于巧妙地把直三棱柱补成直平行六面体，这两者之间的割与补是解决柱体问题的重要手段例5 如图，三棱台ABCA1B1C1 中，

19、AA1 平面ABC ，BAC BC1C 90，A1C1 1，BC1 2（1）求证CC1 平面ABC1 ；（2）求BC1 与平面A1B1BA 所成的角【分析】（1）要证明CC1 平面ABC1 ，只要证CC1 AB 且CC1 BC1 即可（2）求线面成角，关键在于证明A1C1 平面AB1 （1）【证明】如图， AA1 平面ABC ， AC 是直线CC1 在平面ABC 上的射影又BAC 90， AB AC CC1 AB 又BC1C 90， CC1 BC1 CC1 平面ABC1 （2）【解】连线A1B ， AB AC ， A1B1 A1C1 ， AA1 平面ABC ， AA1 平面A1B1C1 AA1

20、 A1C1 A1C1 平面AB1 A1BC1 是BC1 与平面A1B1BA 所成的角在RtBA1C1 中，BA1C1 90，A1C1 1，BC1 2， sinA1BC1 ，A1BC1 30，故BC1 与平面A1B1BA 所成的角是30【点评】评析 利用线线垂直证明线面垂直是证明线面垂直既普通又重要的方法；异面直线垂直的证明优先注意“三垂线”的设计，往往使解题过程简明；斜线与平面所成的角的归面形成过程要求严谨明了，要求“作图、论证、计算”三者统一例6 如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在

21、BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论【分析】（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B （2）由（1）得C1D AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置（1）【证明】如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B （2）【解】作DE AB1 交A

22、B1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求事实上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 【点评】本题（1）的证明中，证得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B （2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题例7 如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为a （1）求证平面ACD1 平面A1C1B ；（2）求平面ACD1 与平面A1C1B 间的距离【分

23、析】（1）证明面面平行，关键在于证明A1C1 与A1B 两相交直线分别与平面ACD1 平行（2）本题关键在于证明B1D 平面ACD1 和B1D 平面A1C1B ，从而要求平面ACD1 和平面A1C1B 的距离，就只要求出MN 的长度即可（1）【证明】如图， A1BCD1 是矩形，A1B D1C 又D1C 平面D1CA ，A1B 平面D1CA ， A1B 平面D1CA 同理A1C1 平面D1CA ，又A1C1 A1B A1 ， 平面D1CA 平面BA1C1 （2）【解】连B1D 分别交于平面A1C1B 、平面ACD1 于M 、N ，连BD 、B1D1 ，设BD AC O ，B1D1 A1C1 O

24、1 BD AC ， B1D AC（三垂线定理）同理B1D AD1 ，又AD1 AC A ， B1D 平面ACD1 又平面A1C1B 平面ACD1 B1D 平面A1C1B ， 线段MN 的长就是平面ACD1 与平面A1C1B 的距离如下图 平面ACD1 平面A1C1B ，平面ACD1 平面BB1D1D D1O ，平面A1C1B 平面BB1D1D BO1 ， D1O BO1 ， B1MMN B1O1O1D1 1，即B1M MN 同理MN ND MN B1D a 从而求得平面ACD1 和平面A1C1B 的距离是a 【点评】（1）证明平面ACD1 平面A1C1B 还可以用同垂直于一条直线的两个平面平行

25、的方法来证明 BD AC ，由三垂线定理可得B1D AC 同理可得B1D 分别与A1B 、A1C1 、D1C 等垂直，从而证明B1D 平面ACD1 ，B1D 平面A1C1B ， 平面ACD1 平面A1C1B （2）求平面ACD1 和平面A1C1B 的距离可以转化为B1 到平面A1C1B 的距离和D 到平面ACD1 的距离，利用三棱锥的体积更位变换，求得B1 到平面A1C1B 的距离，从而求得MN 的长例8 如图，ABC 为正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA

26、 【分析】（1）证明DE DA ，可以通过图形分割，证明DEF DBA （2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面由（1）知DM EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形从而证明DM 平面ECA 【证明】（1）如图，取EC 中点F ，连结DF EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC DB AB ，EC BC BD CE ，BD CE FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF EC 又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA （2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ， M 是EA 的中点， MN EC 由BD E

27、C ，且BD 平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM MN DE DA ，M 是EA 的中点， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA 平面BDM （3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA 【点评】面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决例9 ABC 中，ABC 90，BAC 30，PA 平面ABC ，PCA 30求：（1）PB 与AC 所成角的余弦值；（2）二面角APCB 的正弦值【分析】（1）求PB 与AC 所成角的余弦值，可以利用三角形中位线定理将PB 平移至DE 位置，将AC 平移

28、至EF 位置，转为求DEF 的余弦值，可用解三角形的方法解决（2）二面角的棱与二面角的平面角所在平面垂直是二面角的平面角的最显著的特征作AH PB 于H ，作AG PC 于G ，连结HG ，利用三垂线逆定理证明AGH 就是二面角APCB 的平面角【解】（1）如图，取PA 、AB 、BC 的中点D 、E 、F ，连结DE 、EF 、DF ，则EF AC ，DE PB DEF 就是异面直线PB 与AC 所成的角设AC 2 a ，由于PCA 30，CAB 30，得PA ，AB a ，BC a PA 平面ABC ， PA AB ，PA AC ，由勾股定理得PB a ，PC a ， DE a ，EF a

29、 ABC 90， AF a 又PA 平面ABC ，则得PA AF，DF a 在DEF 中，由余弦定理得cosDEF PB 与AC 所成的角的余弦值是（2）如图，作AH PB 于H ，由PA 平面ABC 可知AB 是AH ，也是PB 在平面ABC 内的射影又ABC 90，即AB BC ，于是得到CB AH ，CB PB PB BC B ，则AH 平面PBC 作AG PC 于G ，连结HG ，故得HG PC ， AGH 就是二面角APCB 的平面角 PAAB AHPB ，得AH 2a 同理AG a AH 平面ABC ， AH HC 在RtAHG 中，sinAGH 二面角APCB 的正弦值为【点评】

30、利用中点借助三角形的中位线的平行性质常常是构造异面直线所成角的好方法，从而把求异面直线所成角的问题转化为解平面三角形的问题加以解决二面角问题是立体几何中的重点又是难点的问题，求二面角往往是作出二面角的平面角，从而转化为平面问题中的解三角形问题作二面角的平面角的方法有定义法，三垂线法或垂面法，其中三垂线法是解决二面角的平面角既普通又重要的方法注意其构建特点以便能熟练应用基础训练一、选择题：1到空间不共面的四点距离相等的平面个数有（ ）A7 B6 C5 D42已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC 4，BD 6，则（ ）A1MN 5 B2MN 10C1MN 5 D

31、2MN 53已知直线l 与平面a 、b ，若l a ，l b ，a b a ，则l 和a 的位置关系是（ ）A异面 B相交 C平行 D不确定4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1 中，M 和N 分别为A1B1 和BB1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是（ ）A B C D5一条直线与平面所成的角为，则此直线与这个平面内所有直线所成的角的最大值是（ ）Ap B C D6空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边，是这两个角相等或互补的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件7在空间，下列命题中正确的是（ ）A如果两直线a ，b 与直线l 所成的角相

32、等，那么a b ，B如果两直线a ，b 与平面a 所成角相等，那么a b C如果直线l 与两平面a ，b 所成的角都是直角，那么a b D如果平面g 与两平面a ，b 所成的二面角都是直二面角，那么a b 8一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角（ ）A相等 B互补 C相等或互补 D以上都不对9已知平面a 平面b ，m 是a 内一条直线，n 是b 内一条直线，且m n 那么，甲：m b ；乙：n a ；丙：m b 或n a ；丁：m b 且n a 这四个结论中，不正确的三个是（ ）A甲、乙、丙 B甲、乙、丁C甲、丙、丁 D乙、丙、丁10如图，BCDE 是一个正

33、方形，AB 平面BCDE ，则图中互相垂直的平面共有（ ）A4组 B5组 C6组 D7组11如果直角三角形的斜边与平面a 平行，两条直角边所在直线与平面a 所成的角分别为q 1 和q 2 ，那么q 1 和q 2 满足的条件是（ ）Asin 2 q 1 sin 2 q 2 1 Bsin 2 q 1 sin 2 q 2 1Csin 2 q 1 sin 2 q 2 1 Dsin 2 q 1 sin 2 q 2 112已知AA1 与BB1 成60角的异面直线，AB 为公垂线段，AA1 m ，BB1 2，A1B1 BB1 ，则m 等于（ ）A4 B2 C1 D13已知PA 是平面a 的一条斜线，A a

34、，且线段PA 2，AC 平面a ，点P 到平面a 的距离是1，设PAC q 0q ，则（ ）Aq Bcos q Csin q Dtan q 14PA 、PB 、PC 是从P 引出的三条射线，每两条射线的夹角为60，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C D15将锐角为60，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）Aa Ba Ca Da二、填空题：16直线EF 平行于平面a 内的两条直线AB 和CD ，EF 与a 的距离是15，与AB 的距离是17，又AB 与CD 的距离是28，则EF 和CD 的距离是_17已知AOB 90，

35、过O 点引AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45、60的角，则以OC 为棱的二面角的余弦值为_18圆台上、下底面半径分别为r 和2 r ，二面角AOO1B 是直二面角圆台母线与底面成60角，则点A 和B1 的距离是_，AB1 与OO1 的距离是_19正三棱锥SABC 中，ASB 40，M 、N 分别是SB 、SC 上的点，若SA 3 cm，则AM MN NA 的最小值是_20a 、b 是两个不同的平面，m 、n 是平面a 及b 之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m n （2）a b （3）n b （4）m a 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确

36、的一个命题_21下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是_（1） （2） （3） （4）三、解答题：22如图，四面体ABCD 的所有棱都相等，E 、F 分别是AD 、BC 中点，求：（1）AC 和BD 所成的角；（2）BE 和DF 所成角的余弦23如图，PA 矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点（1）求证：EF CD ；（2）若PDA 45，求证：EF 平面PCD 24如图，在正方形ABCD 和ADEF 中，M 、N 分别在其对角线BD 、AE 上，BM AN 求证：（1）MN 平面EDC ；（2）MN BC 25如图，a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，垂足分别是A 、B ，平面a 过AB 的中点P 且与a 、b 都平行，C 、D 分别是a 、b 上的点，CD 交平面a 于Q （1）求证CQ DQ ；（2）若a b ，AC 10，问BD 为何值时，PQ 的长为1326如图，长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB BC 3，BB1 4，连结B1C ，过B 作BE B1C 交CC1 于E ，交B1C 于F （1）求证：A1C 平面BDE ；（2）求A1B 与平面BDE 所成的角；（3）求二面角CBED 的大小在如下网址可以得到答案：http:/www.0- 第七讲 直线和平面 21/21