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1、Springfield学校因关闭一所学 校的学生分配问题的最优方案-一副本运筹学课程设计任务书一、课程设计的目的1、初步掌握运筹学知识在管理问题中应用的基 本方法与步骤；2、巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握;3、锻炼从管理实践中发掘提炼问题，分析问题,选择建立运筹学模型，利用模型求解问题，并对 问题的解进行分析与评价的综合应用能力；4、通过利用运筹学计算机软件求解模型的操作,掌握运筹学计算软件的基本操作方法，并了解计 算机在运筹学中的应用；5、初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通 过设计报告的撰写，了解学术报告的写作方法。 二、课程设计的主要内容和要求1、问题的选择与提出。结
2、合本课程的知识与所 学专业的知识，从某一具体的管理实践活动中， 确定具体的研究对象，提炼具体的研究问题； 2、方法与模型的选择。根据问题的性质和特点, 结合所学的运筹学知识，选择分析和解决问题的 方法及拟采用运筹学模型；3、数据的调查、收集与统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的 各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解 决问题的具体模型；4、运筹学计算软件的运用。运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的运筹学 模型，并打印计算结果，列入设计成果;5、解的分析与评价。结合所研究问题的实际背景，对模型的解进行评价、分析以及调整，并对 解的实施与控制提出合
3、理化的建议;6、设计工作的总结与成果整理，撰写设计报告,报告要复合规范要求。三、应收集的资料及主要参考文献: 应收集的资料:1研究对象的现状数据材料2与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 主要参考文献：1徐玖平，胡知能，王运筹学（第二版）.北 京：科学出版社,20042胡运权.运筹学基础及应用.哈尔滨：哈尔 滨工业大学出版社,19983蒋绍忠管理运筹学教程.杭州：浙江大学出版社2006摘要运筹学是管理类专业的一门重要的专业基础课程，它是本世纪40年代 初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据, 是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。并且
4、运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出 现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、经济、库存、搜索、人 口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性 等各个方面。而这次所研究的课题是关于资源分配的问题，是将理论的运筹学 与现实生活实际结合起来，从而达到解决问题的目的。而我们在解决这些问题中涉及到一些简单计算则是通过microsoft excel 软件，通过表格计算；而对于一些相对比较复杂的数据时，我们就不能采用以 前的方式，开辟一条新的方式来计算。而这个新的方式则是使用LINDO (
5、Linear, INteractive, and Discree, Optimizer )是一个解决二次线性规划问题的方 便而强大的工具，这些问题主要出现在商业、工业、研究各政府等领域。而我们这次的研究，就是利用这上软件把我们的方案通过约束条件把每个 案例体现，同时通过这个软件，求出我们的最优方案，使用这个软件会使我们 的研究方式变的更加快捷。第1页共40页目录Springfield学校因关闭一所学校的学生分配问题的最优方案错误!未定义书 签。1绪论 41.1 研究的背景41.2 研究的主要内容与目的5L3研究的意义61.4 研究的主要方法和思路62理论方法的选择71.1 所研究问题的特点71
6、.2 拟采用的运筹学理论方法的特点81.3 3理论方法的适用性及有效性论证83模型的建立1.4 1基础数据的建立91.5 变量的设定111.6 目标函数的建立1221.7 限制条件的确定123. 5模型的建立144模型的求解及解的分析173.1 模型的求解174. 2模型的分析与评价215结论与建议224.1 研究结论225. 2建议与对策23第1页共40页第3页共40页Springfield学校因关闭一所学校的学生分配问题的最优方案1绪论1.1研究的背景MacDuffie马克杜菲中学位于美国Massachusett马塞诸塞州Springfield 市中心,是一个从6至12年级的独立文科学校，
7、其中9一一12年级可以在学校 寄宿。该学校校区较多，其中一个座落在小山丘上有152000居民的古老的住宅 区，距波士顿仅2小时路程。地理位置决定了学生有很多机会接触到文化和运 动活动，同时购物和娱乐也很方便，这个郊外学校的氛围和多元化都很具辅助 性和挑战性。MacDuffie学校由于现在学生人数的降低、学校的地理位置、以及市区建设 要拆迁等原因，综合考虑下，其中一所中学所在的位置不尽合理，可以关闭。 因此董事会打算在年底关闭这一所中学。但是关闭学校并不是说不接收在这个 学校就读的学生，而该学校包括6年级、7年级和8年级的学生，学校不在了， 所以需要在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去，
8、让他们依旧能够 在这个学校读书上。这样做的话，就会增加另外三个学校的学校人数，又不能 将这些人全部分在一个学校，如果全分在一个学校就会造成这一校区人数过多 而带来新的麻烦，因而将人数分配在三个学校中。但是由于关闭一个学校的原因，在该学校就读的学生他们的居住区原本是 离这所学不远处的，但由于将他们分配到另外三所学校，就会增加学生居住地 与学校的距离，部分学生的居住地与学校的距离将会很远，为这些全日制学生 的每天的上、下午上课带来了麻烦，他们每天都在为着到校而忙碌，有一大部 分时间都是放在乘车、骑车、甚至是步行中，这样不仅给学生在时间、体力、 精力是带来了很大的麻烦。上午他们得为了不迟到而早起，下
9、午他们可能就得 省掉很多休息的时间，而在69年级的学生，正好是长身体的时候，需要一 定的睡眠时间、正常的饮食状态来使身体吸收营养，并保持一个很好的状态， 从而使自己的身体质量达到最佳。正是因为学校的关闭，这些问题就表现的非 常强烈，为了让学生能够更好的学习，而不为这些事而烦恼，学校为了解决这 个离校距离较远而造成时间冲突问题，想过一些对策。经过调查与分析，学校 决定为离校距离超过1英里的所有学生提供上下课的接送服务，通过这种方式 来解决由于为了上下课在路上耽搁的时间问题。但这又面临了新的问题，学校 能够接送，但花销当然是如何节省是最好的，学生上学当然是就近分配是最好 的，鉴于这些因素，我觉得有
10、必要对该学校的学生分配工作好好规划一下。综上所述：学生分配面临的问题主要有以下几个方面。第一、小镇的居民区有多少个第二、学生居住的地方与附近分配的三所学校的远近第三、居住区的学生数目有多少第四、三个学校每个接收多少学生才合理第五、每个居住区的学生该怎么分配第六、某个居住区学生过多该怎么处理.1.2研究的主要内容与目的此项研究的主要内容是根据居住区的分布情况、居住区学生的数量、居住 区与学校的距离、各个学校的学生容纳量、以及学生的公交成本进行合理规划, 从而达到减轻学生由于上下课时间与休息时间的冲突，保证学生能够更好的学 习。依据居住区的分布、以及居住区的学生数量来合理规划学生分配到另外三 个学
11、校的数量，防止某些学生离学校过于远而致使学校的车费开销过多的情况 发生。要通过合理而科学的计算使学校的经费能够最省、学生能够在坐车去学 校用的是最少的时间使得自己能够有更多的时间学习这两个方面的双赢。要让 大家在学生分配之后不会觉得这是一种负担，而是一种很好的处理方式。1.3 研究的意义通过科学、合理的计算与规划，使学校不会因为关闭自己的一所分校, 给自己带来更多的麻烦，并且在这个过程中减少花销；同时也满足学生上下课 需求，以此来到共羸的目的。把烫手山芋变成有“香勃勃”，获得人心支持。使 得整个地区的政府、学校、家长、学生都不会因为关闭一所学校而会面临更多 的实际生活问题。同时研究该问题是把运
12、筹学的线性规划运用到解决实际问题上，将书本上 的知识与实际问题结合起来，不仅能够提高我们解决问题的能力，同时也是增 进我们对运筹学的重新认识；另一方面也是为解决这一类问题提供一个模板， 为解决这类问题提供一个更加便捷、更加全面、更加快速的方案，给大家在以 后的生活中提供一个模板，能够更好的生活。相信我们在研究这些问题，对于 解决实际问题会有很大的帮助。1.4 研究的主要方法和思路由于该研究题目是居住区的数量一定，学生总数量一定，3个学校还可以容 量的学生数量一定的条件下进行的规划，同时校董会对于这些分配还有一些具 体的限定条件，而这些这并没有超出运筹学研究的范围，相反，这正好完全符 合运筹学线
13、性规划的理论，而这些恰好就是运筹学的线性规划中的约束条件， 只有在有约束的条件下，我们才能通过建立目标函数来求解，并在可行解中找 到我们所需的最优解。因此我们可以按照线性规划求解模式，来计算出既科学 又合理的的最优的学生分配方案。具体思路如下：预算各个居住区的各个年级的学生人数对于学生的分配工作开始进行时，首先有必要了解学生的总体数量、以及 各个年级的学生的数量，才能对学生进行具体的分配安排，除此之外也是对另 外三个学校人数的可容纳量的进行比较，然后根据分配学生的人数中，转入其 中一所学校的各个年级的学生与转入其的总人数的比值满足校董会的要求，才 能达到目的。预算分配学生中各个年级人数占每个学
14、校总人数的比例由于居住区的不同，所涵盖的学生数量也不一样，根据学校与其的远近将 其分配，因此每人每年的公交费用也就不一样。并且根据校董会的要求，分配 到该学校的总人数中每个年级的人数占到总体的30%一一36%之间，因此就有 必要计算比例。计算整个学校的总体公交花费公交总花费=学生分配人数*不同居住区到学校的公交成本根据各种限定性因素得出目标函数和各个约束条件应用计算机软件进行求解2理论方法的选择2.1 所研究问题的特点就问题的目标而言，该研究问题是在资源（人力、物力、财力）确定的条 件下要创造出小损益值。每个学校的可容纳量是确定的, 因此分配到各个学校的人 数也应该是确定的数值，而不是一个范围
15、。学生的数量也是有一定，而且总数量恰好与学校的可容纳量的总各相等， 因此学生的分配是没有剩余或者存在更大的空间。每个居住区中各个年级的学生数量不是一样的，同时每个校区所要的学生 数量中每个年级的学生是要占一定比例的，可不能把这个年级全分配到这里， 另外一个年级全分配到另外一个地方。各个居住区的每个学生不是只能分配到一个学校中，是可以分开分配的， 这同时也就要求了我们要设立很多变量2. 2拟采用的运筹学理论方法的特点所求问题的目标能表示为最大化问题或者是最小化问题。所求问题一定要具备有达到目标的多种不同方法，既必须要有多种选择的 可能性。3要达到的目标是有限定条件的。4所研究问题的目标和约束条件
16、都能能表示为线性表达式。2. 3理论方法的适用性及有效性论证首先：该种植规划是在人力、财力、物力（学生数量、学校可容纳量）己 经确定的条件下要找到最小损益值，这一点符合线性规划问题中最小化问题的 特点。其次：要达到减少支出、节省花销的目标，各个居住区的学生分配就有不 同的选择。再次：由于每个学校人数的限制，学生分配数量方面也就有了不同的限制 范围。并且：由于每个学校规定每个年级的学生要占学生总体的一部分比例，则 学生的分配数量再次受到一定的限制。最后：各个居住区学生分配到不同学校的人数都可以根据约束条件的限制 可以用线性方程来表示出来。综上所述，这个学校的学生分配问题完全符合线性规划的问题，是
17、可以通 过运筹学的方法来求取最优解。并且，对于目标函数中的各各系数是有限定范 围的以及各个约束条件都是实际存在的，是可以计算的，因此这个规划问题是 可以用线性规划的方法进行求解的。3模型的建立3.1基础数据的建立vl目标函数系数的确定通过观察分析，我们可以知道：目标函数=各个居住区分配到某个学校的人 数*该居住区到这个学校的学生公交费用经过调查分析，总结出各个居住区到学校的公交花费，我们统计了一个学 生每年从家里到学校所要花费的公交费用，为了更加清晰明了，我们以表格的 形式进行整理：地区每位学生每年的公交成本学校1学校2学校31300070024005003600300200420050050
18、40065003000131各个居住区的学生到不同学校的每年公交的费用注：“一”表示费用无穷大居住区学生总人数以及各个年级学生的数量根据学校的调查结果，发现一共有6个居住区，每个居住区的学生数量、 各个年级学生在这个居住区中所占的比例，都进行了统计，由于数字比较多， 为了更加清晰的表达出来，我们进行了一系列的整理与分析，通过一定的计算, 因而得到如下表格1.3.2 一一A各个居住区学生总数量与各个年级的学生比例地 区学生数量6年级 比例%7年级 比例8年级 比例145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838总计2900第
19、1页共40页1.3.2b各个年级学生的总体数量地 区学生数 量6年级 比例7年级 比例%8年级 比例每个年级学生数量总计6年级7年级8年级14503238301441711354502600372835222168210600355030323816517620955043502840329814011235055003934271951701355006450342838153126171450总计29009779519722900各个学校的可容纳量由于学校的规模不一样，可容纳的学生数量也就不一样，因此通过学校的 研究，这些学校还可以容量的学生数量为，我们同样通过表格来表示：1.3.3各个学
20、校的可容纳量（人）学校1学校2学校3总计学生容纳量900110010002900各个学校不同年级学生的可容纳量由于校方规定，每个学校里，每一个年级的学生人数必须在总人数的30% 36%之间，则根据这个要求我们又得到每个年级最大与最小接收量。经过计算，我们同样通过表格体现:13.4 各个学校不同年级学生的可容纳量学校1学校2学校3学校容量90011001000各年级可容 纳量最小最大最小最大最小最大6年级2703243303963003607年级2703243303963003608年级270324330396300360总计171097299011889961080学校可容纳量的总数一定学校可
21、容纳量的总数为30003. 2变量的设定设各个居住区中各个年级分配到不同学校的数量分别是：由于变量相对比较多，写起来比文字叙述过于复杂，我们就通过表格来表 未清楚：变量各个居住区中不同年级的学生分配到各个学校的人数学校1（X1）学校2 (x2)学校3(x3)6年级7年级8年级6年级7年级8年级6年级7年级8年级居住 区1X11xl2xl3X111X112X113xl21xl22xl23X131xl32X1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31x32x33x311x312x313x321x322x323x331x332x3334x41x42x411x412x4
22、13x421x422x4235x51x53x511x512x513x531x532x5336x61x62x63x6Ux612x613x621x622x623x631x632x6333. 3目标函数的建立根据上述基础数据可以得出如下目标函数Mlnf(x)=300xll+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62+700x13+500x23+200x33+400x53目标函数=各个居住区分配到某个学校的人数*该居住区到这个学校的学生 公交费用要使总损益值最小，只需要该目标函数取得极小值即可，这与研究问题的 目的是相一致的。4. 4限制条件的确定
23、居住区的学生总数量的约束xll+xl2+xl3=450x22+x23=600x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500x61+x62+x63=45各个学校可容纳量的约束xll+x31+x41+x51+x61-xl=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0x13+x23+x33+x53+x63-x3=0各个学校中各个年级人数的约束xlll+xl21+xl31=144x112+xl22+xl32=171xX13+xl23+xl33=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x321+x331=165x31
24、2+x322+x332=176x313+x323+x333=209x411+x421=98x412+x422=140x413+x423=112x511+x531=195x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171 5各个居住区总人数的限制xlll+xll2+xll3-xll=0x311+x312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0x611+x612+x613-x61=0x121+xl22+xl23-x21=0x22
25、1+x222+x223-x22=0x321+x322+x323x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0xl31+xl31+xl33-xl3=0x231+x232+x233x23=0x331+x332+x333x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0xl31+xl32+xl33-xl3=0x231+x232+x233x23=0x331+x332+x333x33=0x531+x532+x533x53=0x631+x632+x633x63=0居住区各个年级人数的约束xlll+x311+x411+x5n
26、+x611-03xl0xin+x311+x411+x511+x611-0.36xl0xll2+x312+x412+x512+x612-0.36xl0xll3+x313+x413+x513+x613-0.36xl0xl21+x221+x321+x421+x621-0.36x20xl22+x222+x322+x422+x622-0.36x20xl23+x223+x323+x423+x623-0.36x20X131+x231+x331+x531+x63l-0.36x30xl32+x232+x332+x532+x632-0.36x30xl33+x233+x333+x533+x6330.36x3v03.
27、 5模型的建立综合以上各步工作，可以得出该问题的具体模型如下Minf(x)=300xll+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62+700x 13+500x23+200x33+400x53stxll+xl2+xl3=450x22+x23=600x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500x61+x62+x63=450xll+x31+x41+x51+x61-xl=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0xl3+x23+x33+x53+x63-x3=0xlll+xll2+xll3-xll=0x311+x
28、312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0x611+x612+x613-x61=0xl21+x122+xl23-x21=0x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623x62=0xl31+xl31+xl33-xl3=0x231+x232+x233x23=0x331+x332+x333x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623x62=0xl31+xl32+xl33-xl3=0x231+x232+x
29、233x23=0x331+x332+x333x33=0x531+x532+x533x53=0x631+x632+x633-x63=0xlll+xl21+xl31=144x112+xl22+xl32=171xX13+xl23+xl33=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x321+x331=165x312+x322+x332=176x313+x323+x333=209x411+x421=98x412+x422=140x413+x423=112x511+x531=195x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+
30、x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171xlll+x311+x411+x5n+x611-03xl0xlll+x311+x411+x511+x611-0.36xl0xll2+x312+x412+x512+x612-0.36xl0x 113+x313+x413+x513+x613-0.36x l0xl21+x221+x321+x421+x621-0.36x20xl22+x222+x322+x422+x622-0.36x20xl23+x223+x323+x423+x623-0.36x20x131+x231+x331+x531+x63l-0.36x30x
31、l32+x232+x332+x532+x632-0.36x30xl33+x233+x333+x533+x6330.36x3v0xl900x21100x31000X(ijk)这些所有的变量均为整数4模型的求解及解的分析4.1模型的求解利用Lindo软件对该线性规划进行求解，结果如下所示LP OPTIMUM FOUND AT STEP 97OBJECTIVE VALUE =522686.000SETXll TO =11 AT1, BND=-0.5227E+06 TWIN=-0.5228E+06206SETX31 TO =0 AT2, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.5228E+06
32、212SETX61 TO =WITH BND= -522785.72SET X423 TO =0 AT 3, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31220SETX533 TO =0 AT4, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31220SETX611 TO =0 AT5, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31220SETX612 TO =0 AT6, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31220SETX613 TO =0 AT7, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E
33、+31SET X621 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SET X13 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SET X42 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SET X53 TO =0 AT -0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SET X32 TO =274 AT0.5229E+06 TWIN=-0.1000E+31SET XXI TO =10 AT0.5230E+06 TWIN=-0.1000E+31DELETEDELETEDELETEDELETEDELETE
34、DELETEDELETEXll AT LEVELX32 AT LEVELX32 AT LEVELX53 AT LEVELX42 AT LEVELX13 AT LEVEL2208, BND=2209, BND=22010, BND=22011, BND=22012, BND=22113, BND=22114, BND=222141312111098X621 AT LEVEL第19页共10页DELETEDELETEDELETEDELETEDELETEDELETEX613 AT LEVEL7X612 AT LEVEL6X611 AT LEVEL5X533 AT LEVEL4X423 AT LEVEL
35、3FLIP Xll TO =12 AT 1X31 AT LEVEL2第23页共40页2, BND=2223, BND=2224, BND=2225, BND=2226, BND=2227, BND=2228, BND=222WITH BND= -522800.00SET X611 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SETX613 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SETX621 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SETXll TO =12 AT-0.5228E+06 TWIN=-0
36、.1000E+31SETX13 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SETX42 TO =0 AT-0.5228E+06 TWIN=-0.1000E+31SETX53 TO =48 AT 9, BND=-0.5228E+06 TWIN=-0.5228E+06224NEW INTEGER SOLUTION OF 522800.000 AT BRANCH 6 PIVOT224 BOUND ON OPTIMUM: 522800.0DELETEX623 AT LEVEL9DELETEX53 AT LEVEL8DELETEX42 AT LEVEL7DELETEX13
37、AT LEVEL6DELETEXll AT LEVEL5DELETEX621 AT LEVEL4DELETEX613 AT LEVEL3DELETEX611 AT LEVEL2DELETEXll AT LEVEL1ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES=6 PIVOTS= 224LAST INTEGER SOLUTION IS THE BESTFOUNDRE INSTALLING BEST SOLUTION.OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)522800.0VALUE98.000000140.000000112.0000000.0000000.00000
38、00.000000195.000000170.000000VARIABLEREDUCED COSTX4110.000000X4120.000000X4130.000000X4210.000000X4220.000000X4230.000000X5110.000000X512135.0000000.000000X5130.000000X5310.000000X5320.000000X5330.000000X6110.000000X6120.000000X6130.000000X6210.000000X6220.000000X6230.0000000.0000000.0000000.0000000
39、.0000000.0000000.0000000.00000078.00000048.000000153.000000X631第#页共40页48.000000123.00000012.000000438.0000000.000000261.000000339.0000000.000000275.000000350.000000275.0000000.000000X6320.000000X6330.000000Xll300.000000X120.000000X13700.000000X22400.000000X23500.000000X31600.000000X32300.000000X4120
40、0.000000X33第25页共10页0.000000500.0000000.0000000.000000126.000000324.000000862.0000001100.000000938.000000438.0000000.000000200.000000X42500.000000X51 0.000000X53400.000000X61500.000000X62300.000000X630.000000XI0.000000X20.000000X30.000000X210.000000Xlll第29页共40页12.0000000.0000000.0000000.000000144.000000171.000000123.000000222.00000022.99990016.0000000.000000X112 0.000000X1130.000000X3110.000000X3120.000000X3130.000000X1210.000000X1220.000000X1230.000000X2