《生物统计学教案(九).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《生物统计学教案(九).docx（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、可编辑范本生物统计学教案第九章两因素及多因素方差分析教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤，掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1 两因素方差分析中的一些基本概念9.1.1 模型类型交叉分组设计：A因素的a个水平和B因素的b个水平交叉配合，共构成ab 个组合，每一组合重复n次，全部实验共有abn次。固定模型：A、B两因素均为固定因素。随机模型：A、B两因素均为随机因素。混合模型：A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。9.1.2 主效应和交互作用主效应：由于
2、因素水平的改变所造成的因素效应的改变。A1A2AA2B11824B11828B23844B23022先看左边的表。A因素的主效应应为A2水平的平均效应减A水平的平均效应， B的主效应类似。A2B1A2B2A2A1B1A1B2224 44218 362A1B2A2B2A1B1A2B1238 44 18 24 2022当 AB + A2B2= A1B2 + A2B1 时，A、B 间不存在交互作用。这里 A1B1 + A2B2=62, A1B2 + A2B1 = 62,因此A、B间不存在交互作用。交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用现在看右边的表。A (
3、在 Bi水平上)a A2B1 AiBi = 28 18= 10A (在 B2水平上)a A2B2AiB2=22 30= -8显然A的效应依B的水平不同而不同，故 A、B间存在交互作用。交互作用的大小 为AB= (A1B1 + A2B2) (A1B2+A2B1)9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式假设A因素后a水平,B因素后b水平，则写一次重复包含 ab次头驳，头驳 重复n次，总的实验次数为abn次。以肌表示A因素第i水平，B因素第j水平和第 k次重复的观测值。一般格式见卜表。因素 Bj=1,2,bB1B2Bb总计A1X111X121X1b1X112X122X1b2因素A2At X11n
4、X211X2129* ,X12nX221X222 p X1bnX2b1X2b2X1.II JX21n* .X22nX2bnX2一2*d AaXa11Xai2Xa21Xab1Xa22XaH总计XamX.1. Xa2nX.2.*.XabnX.b.Xa.X.上表中的各种符号说明如下:Xi A因素第i水平的所有观察值的和，其平均数为 Xi.Xj. B因素第j水平所有观察值的和,其平均数为x.j.X ij . A因素第i水平和B因素的第j水平和所有观察值的和,其平均数为Xij.X.所有观察值的总和,其平均数为X.XijX ijk ,XijXiji 1,2, ,aj 1,2, ,bXijk ,abn关于实
5、验重复的正确理解:这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。9.2固定模型9.2.1线性统计模型X ijkij ijk jk1,2,1,2,1,2,a,b,n对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的0,球是相互独立且服从N（0 ,（2）的随机变量。固定模型方差分析的零假设为：0102H 03可编辑范本0b1,2,1,2,9.2.2平方和与自由度的分解与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。根据均方的数学_2Xi
6、jk XXiXixjXijkbni 1j 1 k 1 axianj 1xjxxijxixjn一 2XX八ijk八ij上述各项分别为A因素、因素、AB交互作用和误差平方和,即:SS Aabnxji 1bSS BanaSS ABxijXiSS eX ijkXij自由度可做相应的分解:df tdf ABabndf a1dfdfab n2可编辑范本由此得出各因素的均方:SS AMS a , MS ba 1SS Bb 1MSABSS ABMSSSab n9.2.3均方期望与统计量F的确定E MS Abna 1 iE MS Banb 1MS eE MS ab可编辑范本对上式E(MSa)、E(MSb)和E(
7、MSe)中的第二项，分别记为:21a 1 b 1 i i j i于是:E MSAbn 2 , E MSb2an , E MS ab这时，零假设还可以写为:H 0102H 03用F作为检验统计量，以对 A因素的检验为例：F MS A2 bn 2的估计F MS e2的估计当F Fa时拒绝H01。对B因素和AB交互作用的推断类似变差来源平方和自由度F均方期望A因素S&a-1M4MSa/ MSe(2+bn /B因素SSb-1MSbMSb/MSe(2+an 4 2AB交互作用S&B(a-1)(b-1)MSabMSab/ MSe(2+n ra 2误差SSab(n-1)MSe2 (T总和SSrabn-1两因
8、素固定模型的方差分析表如下:9.2.4 平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的a b n 2SSt2 xx ijk ,i 1 j 1k 1abnSSa1bnabn一 1b 2SS Bx jan j 1abn2x其中二一称为校正项，用C表小。abnSS e e2 x ijk2 xij不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复问平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方和减去A因素、B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得 到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也
9、无法独 立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互 平方和：SSABSS T SS Ab2 xijj 1SS B SS e2 xSS A abnSS b例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计 了一个两因素试验，并得到以下结果。原料种类123温30C41 49 23 2547 59 50 4043 35 53 5035 c11 13 25 2443 38 33 3655 38 47 44度40C6 22 26 188 22 18 1430 33 26 19在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。将每一数据都减去30,列
10、成表9-1。原料(A)温度(B)xij1xij2xij3xij4xij.2 xij.42 x ijk301119-7-518324-k1556135-19-17-5-6-47220971140-24-8-4-12-48230480030172920107657761630235138363090027840-22-8-12-16-5833649483013523206137211123335258171464409611744003-4-11-12144146和84228387366利用Xij列,列成表9 2温度(B)303540Xi .2X.原11847一 48-775929料2763058
11、482304(A)361541211312769X.j.15547-1188421022X.j.22402522091392440158SSe eabnSSTabn2 xijk842196.002X “ijk1 k 173661967170.00abn2 x ij17366 4228381656.50及由表9 2中可以计算出:SSabn i2Xiabn210221961554.17SSban j 1x2x2abn1 401583 41963150.58SSabSSTAAA SSB7170.00 1554.17SSe e可3150.58 1656.50 808.75从表91中可以计算出:列成方差
12、分析表变差来源平方和自由度F原料A1554.172777.09*12.67*温度B3150.5821575.29*25.68AB808.754202.19*3.30误差1656.502761.35总和7170.00359.2.5 无重复实验时的两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n = 1）。无重复实验的方差分析, 即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。只需将前一节公式中所有的n都改为1,这里不再详述。可编辑范本9.3随机模型9.3.1 线性统计模型x ijkijk1,2,1,2,1,2,a,b,n对于随机模型:i : NI D 0, 2
13、NID 0,:NI D0,ijk:NI D 0, 2因此，任何观察值的方差var x ijk零假设为：h 010,0220,H 039.3.2 均方期望与统计量F的确定随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复 因此检验统计量也不同。但均方期望不同,E MSabn 2E MSb2anE MSabE MSee从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若MSab不显著，表明它也是误差的估计，应与 MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。合并的方法是ms eSSB史上若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。随机模型df AB df e的方差分析表如下:变差来源平方和自由度F
14、均方期望A因素saa-1MSaMSa/ MSab22.2nbnB因素ssb-1msbMSb/MSab222nanAXBSSb(&1)(b-1)MSabMSab/MSe22n误差ssab(n-1)MSe总和ssabn-1随机模型的方差分析表如下:例 为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计地B二#M三号地施100Kg8.698.478.808.749.499.37月巴200Kg8.888.729.689.549.399.59量300Kg10.8210.8611.0010.9211.0711.01A400Kg11.1611.4210.9711.1311.0010.90一个两因
15、素实验，实验结果如下:解：Xjk9.5 ,列成表 9.1:22施肥量地块xij 1xij 2xijxij2 x ijkk 1一-0.81-1.03-1.843.38561.7170100二-0.70-0.76-1.462.13161.0676二-0.10-0.13-0.040.01960.0170一-0.62-0.78-1.401.96000.9928200二0.180.040.220.04840.0340二-0.110.09-0.020.00040.0202一1.321.362.687.18243.5920300二1.501.422.928.52044.2664二1.571.513.089.
16、48644.7450一1.661.923.5812.81646.4420400二1.471.633.109.61004.8178二1.501.402.908.41004.210013.6263.577232.9218利用Xj列，列成表9.22地块xXi一二三施100-1.84-1.46-0.14-3.4411.8336月巴200-1.400.22-0.02-1.201.4400量3002.682.923.088.6875.34244003.583.102.909.5891.7764x j3.024.785.8213.62180.39242xj9.120422.848433.872465.841
17、2由表9.1计算出2C abna13.622SSti 13 2n2x .ijk k 17.729432.9218 7.7294 25.1924SSe i 12 xijkb2 xij163.577232.9218 1.1332由表9.2计算出SSabn i2xi180.39247.7294 22.3360SSb65.8412ab j 17.7294 0.5008AAABSSTSSaSSb SSe1.2224方差分析表变差来源平方和自由度F施肥量A22.336037.445336.63*地块B0.500820.25041.23AB1.222460.20372.16误差1.1332120.0944总
18、和25.1924239.4混合模型* 后 0.019.4.1线性统计模型一个因素是固定的（如A）另一因素是随机的（如B）,该模型称为混合模型。x ijkij ijkjk1,2,1,2,1,2,a,b,n其中a是固定效应，是随机效应，（a ）j是随机效应3：NID(0,印2),(a)j： NID (0,oa2)9.4.2均方期望与统计量F的确定各均方期望如下:MS2 bnMSanMSABMS相应的检验统计量为:FaMSFbMS bF ABMS AB平方和自由度方FA因素SSAa 1MSAMS aMS AB222nbnB因素SSBb 1MSbMS bMS e22anABSSAB(a-1)(b-1)
19、MSabMSab MSe22n误差SSab(n-1)MSe2总和SSabn-1MS ABMS eeMS ee混合模型的方差分析表为:9.5两个以上因素的方差分析9.5.1 平方和与自由度分解的一般规律平方和的分解，可根据两因素方差分析平方和分解方法，推展出来。如一个三因素固定模型实验，线性统计模型为:i 1,2, ,axijkli j kijikjkijk ijklj 1,2, ,bk 1,2, ,c l 1,2, ,n各因素的平方和如下:SSabcn2x2Ti 1 j1 k 1l 1xijkl._abcnSS1a2xi2 xAbcni 1abcnSS1b2x j2 xBacnj 1abcnS
20、S1c22 xCabnk 1x kabcnSS1abx22xSSaABcni 1j 1ij.abcnSS1acx22xSS aACbni 1k 1i kabcnSS1bcx22xSSbBCanj 1k 1jk abcnabcn21ax ijkl-n i 1bcSSei 1 j1 k1 l1j 1 k 1SSbSScSSc2x ijk残余项为三因素交互作用SSbc= SSr-SSA- SSB- SSC- SSAb-SSAc- SSBc- sse自由度的分解：主效应自由度是其水平数减1交互作用自由度是相关因素自由度的乘积误差自由度各因素水平数乘以重复数减1由三因素平方和与自由度的分解的规律，可以很
21、容易得到更多因素时的平方和与自由度。不过，在实际应用时，三个因素实验基本上可以满足需要了。9.5.2均方期望的表格化推演方法平方和与自由度的分解并不很困难，困难的是需要得到可靠的检验统计量， 也就是说需要得到各个分量的均方期望。表格法推演是简单可靠的，下面以两因素 为例，说明其方法。几个规定：误差物写成 册，括号内的下标称为死下标，没有括号的下标都是活下标 222固定模型中各因素的效应分量，分别用, 表示。222随机模型中各因素的方差分量，分别用,，表示。混合模型中，交互作用的两个因素中只要有一个是随机因素，则交互作用 即被认为是随机的。误差方差记为（20以固定模型为例，说明其推演步骤：首先列
22、出右表，线性统计模型中的每个分量占 据一行，每个下标占一列。表头上写上因素的类型，固 定型记为F,随机型记为R,重复属于随机的，记为 Ro 写上各因素的水平数a、b、n以及每一分量的下标i、j、 ko在行分量中，若某个死下标与列中的该下标 致，则写上“1”。若每一行分量上的一个活下标与列上的下标致，且列是以固定因素为表头的，则写上“0”，列是以随机因素为表头的，则写上“ 1”。FFR因素abnijk0L0j0(a j )00qij)k111FFR因素abnijka&ij)k在其余空白行位置上写上各列表头所标明的水平数为了求某一模型分量（因素）的的均方期 望，用纸条盖上以其活下标为表头的那一列，
23、然后 找出包含该下标的那些行。把未盖上的字母和数字 相乘，再乘上相应的固定因素的效应分量或随机模 型的方差分量。这些乘积的和，即为该因素的均方 期望。例如求E （MSa）,盖上列i,剩下的列是列jFFR因素abnijk0bn3a0n(a j )00n(j)k111数字和（或）字母的乘积为1、0、和bn,由此得出因素A的均方期望:E MS Abn2 bn 2和列k,包含i的行是4、3、1。这三行中未盖上的同理可以推出:E MS B22anMS AB2 , E MS eH素Fa iRbRnk均方期望aj(a*&ij)k0 a01b111nnn12222n 2 bnan 22 n2一个完整的两因素混
24、合模型（A固定,B随机）的例子如下:9.5.3统计量F的确定xijkli j kijikjkijk ijkli1,2,aj1,2,bk1,2,cl1,2,n一个混合模型A、C固定，B随机，均方期望的推演如下:fRfRH 素abcn均方期望ijkla0bcn22 cn, 2 bcnja1cn22 acn*ab0n22 anabn 2(a/)01cn22 cn（a帝）0b0n22 nbn 2（B张）a10n22 an(a 6张丫 )010n22 nqijk)l11112根据均方期望可以得出各因素的检验统计量:FaMSaMSabFbMSbMSe eFABMSabMSe eFacMSacMSabcMS
25、CCMSrBCMSbcMSe eFabcMSabcMSe e9.7变换有些实验数据不能满足方差分析的三个条件，这时需要进行坐标变换，使变换 后的数据满足上述条件，用变换后的数据进行方差分析。9.7.1 平方根变换属于泊松分布的数据，它们的平均数与方差等值，满足方差齐性要求，各处 理平均数间的差异必然不显著；反之，当处理平均数之间差异显著时，方差齐性条 件必不能满足。这时可以使用平方根变换，即将每一数据取其平方根，用平方根作方差分析。9.7.2 反正弦变换对于以百分数表示的二项分布数据，需要作这种变换。方法是：取每个观测 值平方根的反正弦值，使之变成一个角度，用该角度作方差分析。9.7.3 对数变换当方差与平均数的平方成正比时需作对数变换，变换后的方差具齐性。