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1、缘份让你看到我在这里专题03-含绝对值的不等式及其 应用-一本通之备战2019高考数 学选做题专题03含绝对值的不等式及其应用知识通关1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式/a与/x/)a的解集:不等 式a=Oa0Ixl axj -axax/xa 或 x-a彳/日且 z#:0Rlax+bl&c(c对和Iax+blc(c9)型不等式的解 法：/ ax+b / W-c W ax+b& c;/ax+b /2c3ax+b c 或 ax+bW p.(3)/xa/+/x七/2c和/xw/+/x4/Wc型不等式的解 法：利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现
2、了分类讨论的思想；通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数 与方程的思想.2.绝对值三角不等式（1）定理1：如果名8是实数，班/a+blWlal+lbl，当 且仅当助20时，等号成立.定理2 ：如果a,b,c是实数，那么 Ia-c WIabI+1br I,当且仅当（aT?） （8-c） 20 时， 等号成立.（3）推论 1： /a/-/bW/a%/.（4）推论 2： /a/-/bWn6/.基础通关理解绝对值的几何意义，并会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:方法解读适合题型1公式 法利用公式 V a = -a Vx 0) 和 |x| a 工 ax 0)直接求解不等式|/(x)|g 或
3、 |/(x)|g（x）i/2（x）r（x）3零点含有两个或两个以上绝|/(x)|g(x)|t/,4几何 法利用绝对值的几何意义， 画出数轴,将绝对值转化 为数轴上两点的距离求 解xaxbc5图象 法在直角坐标系中作出不 等式两边所对应的两个 函数的图象，利用函数图 象求解或通过移项构造 一个函数如 l/(x)|+|(x)ld 可 构 造 yT/(x)Mg(力 itz 或丫+|g(x)l与 y = a题组一绝对值不等式的解法用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性 求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用.例1已知函数/（）=卜+1|-3|.（1）画出尸爪）的图象；（2）求不等式/的解集
4、.(2)由/X)的表达式及图象，当/(力=1时，可得*=1或工=3)当/&= 一1时J可得 =；或x = 5, 故,81的解集为桃。3力/8-1的解集为，虫 1的解集为，或14 5 j 一题组二绝对值不等式性质的应用(1)利用绝对值不等式性质定理时要注意等号成立的条 件：当方820 时，| a+b = | a| + | h| ；当 a/WO 时,| a b = | a| + | Z?| ；当(a6) (6c) 20 时,| ac = | a b +1 bc.(2)对于求 y= |x-a| + |x引或 7= |x+a| 一 |x一6 型的最值问题时利用绝对值三角不等式更方便.(3)对于含绝对值
5、的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏.【例2】已知函数”x)T2x-L g(x)Tx + al.(1)当。=1时，解不等式/3g(x)；(2)若/+科恒成立，求实数”的取值范围.【解析】(1)依题意， i2x-nax+n, 两边同时平方得4j2 -4x+l x2 + 2x + l , 即 3/-6x20, 解得 xKO或xN2, 故不等式 f(x) g(x) 的解集为w a 2.(2)由。2g+ 0 + 1恒成立,即12一+ 2皿+ 1恒成立, 12x-ll-l2x + 2a 11 (2x -1) - (2x + 2a) H 2a + l ,(2x-2x + 2a)m
6、dX=2a + 912 + & + 1,解得 _*0,即实数”的取值范围为5刈.能力通关1 .含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律:(1)根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数,然后利用数形结合解决.(2)巧用 “ llal-lblWIa土bWlal+lbl” 求最值.求/a/-6/的范围：若ab为常数必可利用llal-lblW la土b10 -MW lal-lbW / 确定范求/a/+/6/的最小值:若ab为常数以可利用 /a/+/2 labl=lMl,从而确定其最小值.(3 ) f(x) a恒成立=力皿3 F)a恒成立即不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.2
7、 .含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：(1)分离参数法运用“ /W 4 = /(x)max 5-x.(2)若对以wr恒成立，求实数。的取值范围.【解析】(1)因为心)=3-2x,x 1 Ux2当E时， 32,x 2 5 - x , 解得 x-2 .当 lx5-x 的解集为(2)依题意只需/u；-1,而/(x)=lx-ll + lx-2闫(x-l)-(x-2)l=l , 所以六3所以。或 故实数。的取值范围是SO)呜).【例2)已知函数“x)T2x + 6l + lxf .(1)求不等式x) -X； + 2mx2恒成立，求实数，的取 值范围.【解析】(1)若，-Ti 无解;若3JK1
8、,则原不等式可化为2x+6+I1 ,无解；若】，则原不等式可化为2i + 6+x-11.综上所述，不等式/3|x4-3|4-Ix-ll4 ,由 g(x) =+ 2mx = -(x-m)2 +m2 , 所以 g 皿=由 所以晨 4, gp-2/n2,故用的取值范围是卬.不等式存在性问题【例3】已知函数/(月=k一2|+|2、+4，“11.(1)当1时，解不等式“上5；(2)若存在%满足%) +k。-2|3，求实数”的取值范围.缘份让你看到我在这里1解析(1)当口=1时,/(9二k一2卅2x+l|.由丸及5得卜一2阳2x+l|5.当x2时,不等式等价于x2+2尤+1之5,解得所以x2;当一时,不等
9、式等价于2x+2尤+1之5,即尤之2,所以xe0;144当x 5，解得X一金,所以xW-4T故原不等式的解集为x|2.(2 )2| = 2|x2| + |2x+6/| = |2x-4| + |2.v + 6/| |2x4-rz (2x-4)| = | + 4|,丁原命题等价于(x)+U)而尸叫 + 4|v3,不等式中的】例 4设函数力=卜+“巾-2|, g(x) = x-3+x-2(1)求函数小)的最小值;(2)若对任意的XER,不等式屋小小)恒成立，求实数的【解析】(1 )/(a-) = |.v + 1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|(x+l)(x-2)0即向T2时取等号,此时W.=3
10、,当且仅当(2)对任意的xsR,不等式恒成立。g() W2 或13-4 + 2-3，a 3一 a +。一 2 3或尸39 B1a-3 + a-2W312, 或 2。2；(2)若正数”满足 + 23c =晴)，求： 的最小值.【解析】(1)当 x2, 解得Y，显然沁所以、2,即解；当“年时,当时， f (x) = 3-2x+x- = 2-x , 乙/(X)= 2x-3 + x-l = 3x-4.2一“2,解得1。.又1。2 , 解得”2 .显然2|,所以x2.综上，不等式八*)2的解集为(一s,g)U(2,+oo).(2)由题意得 a + 2 + 3c = /(；) =缶=3.rrt il 12
11、 3 ,123、a + 2b + 3c 1 r/1.八、2b 2a 3c 3a 6c 6b所以一十 丁 + 一 =(一+ 7 + 一);=-(1 + 4 + 9) + + + + + + z/1 a be a b c 33a b a c b c 当且仅当a = c = ；时等号成立.*如+ 2后+2厝+ 2后6b、 x ) =12.所以%的最小值为2 不等式综合性问题【例6】已知函数 f (x) =1 x - 21 -1 x I +m(m R).(1)若“。，解不等式 f(x)x-1.(2)若方程有三个不同的解,求实数?的取值范围.【解析1(1)因为肥所以/g)冒工21 一|刘,所以/(X)A
12、 X-1的解集是下列不等式组的解集的并集,x2或x-2xx-lQx2或x+2xx-l解得：xE,所以不等式/(X)之X 1的解集为(75.(2)因为 /(x)=lx-2l-lxl+?,所以方程“加T有三个不同的解等价于函数 g(x) =1 x-21 - IxI 隹J 图象与直线kTF有三个不同的交点，作图可知，25k尸工1 1-3 - 2 （当直线当直线y = xmy = xni经过点4。时，经过点 8(2,-2) 时,?二0.所以实数，的取值范围是(-2.。).高考通关1 .已知函数 fx) = x+a + x2.(1)当a= - 3时，求不等式f(x) 23的解集；(2)若x)W|x-4|
13、的解集包含1,2,求，的取值UN【解析】(1)当=-3时，不等式f(x)23化为|x-3| + |x-2|23(*)当后2时，由(*)式，得5-2x23,，%W1.当2VxV3时，由(*)式知，解集为Q由(*)式,得 2x523,综上可知，f(x)23的解集是x|x24或Ml.(2)原不等式等价于|x4| 一 |x一2|2|x+a|, (*)当 时，(*)式化为 4X(2x) x+a, 解得一2 a.由条件，1,2是F(x)W|x一4|的解集的子集,/. 2且 22 a,贝!3WaW0,故满足条件的实数a的取值范围是3, 0.2 .已知函数/*)= 2bl + U-31.(1)解关于 的不等式
14、 /Gv) (2)若对于任意的ER,不等式“)才恒成立，求实数，的取值范围.【解析】(1当x一；，当0x3时，不等式可化为2x(x3)v4,解得故当无之3时，不等式可化为2x+&-3)4,解得xv1.显然与、之3矛盾，故此时不等式无解.综上，不等式/) 4的解集为一；).(2)由(1)知，)=-3x + 3,x 3如图,显然之。)=3.故由不等式 f(x)r-2t恒成立可得-八3,解得所以，的取值范围为T3.3 .已知函数 f (x) =12x + / I.(1)若”1,求不等式 /(x)lx + 3l+6 的解集；(2)若关于X的不等式小)+14-263/在R上恒成立,求实数的取值范围.【解
15、析】(1)依题意,- 16U + 3I+6 9若-x-3+6 9 解得“，故x+3+6 , 解得入 x+3+6,解得10 9故mo.综上所述，不等式 f(x) Lv + 3l+6 的解集为(f，-g)U(10, + 8).(2)依题意，关于x的不等式12式 + ？1 +14 2x12 3m2 在R上恒成立.而 |2x+ 0| + |4-2x/2 |团+4|,所以 m + 43m2 f艮J m + 4 3m2或m + 4W-3* 解得4-1 /z 一3所以团的取值范围是14 .已知函数 f (x) =1 x-m I , g(x) =1 x + n I , 其中心(1)若函数小)的图象关于直线丫
16、= 2对称，求不等式/(x + 2)/(x) 的解集；(2)若函数内) =/(X)+ g(x) 的最小值为1,求宗一的最小 值及其相应的“和的值.【解析】(1)函数/3的图象关于直线x = 2对称，二 /(x)=U-2l 9.不等式/(x+2)”(x)可化为IxKU _21,即/K(x - 2)2,化简得-4犬+ 420, 解得加，不等式 f(x+2)l (x-m)一(x + )1= m + ,函数 h(x) = f(x) + g(x)的最小值为/. m + n = 1 9由 m + n 2ymn,1 + 1 = = 4,当且仅当 1 m n nm inn J：；：1，即时等号成立,的最小值为
17、4,此时1m = n =25.已知函数 /(x)=lx + ll .(1)若加eR使不等式/(X-2) -3).成立，求满足条件的实数,的取值集合了;(2)若二次函数 y = x2 +2x + 3 与函数 y = m-2f(x)-f(x-2) 的图象-hxl2x-3,l2恒有公共点，求实数，的取值范围.【解析】(1)由题意得小-2)寸。-3)邛一1卜卜一2| =由于叫eR使不等式|1|一户2以成立，则有心1,即T = 8E.(2)由二次函数 =幺+2冗+3 = 0+1)+2,该函数在x=T取得最小倡23尤+1+斯(xl)所以要使二次图额尸=/ +2工+3与图额y = /(x)的图象恒有公共点，只需2A2,即相上4.【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,存在性问题等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，逻辑思维能力，化归与转化思想.