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1、【探究活动】提出问题 如图1918, /MONa一个直角，线段 AB的长度固定为8cm, 点A可以在OM上滑动，点B可以在ON滑动.因而AOB的形状和大小会发生变化.问：在变化过程中，当点 A、点 最大面积是多少？B滑到什么位置时， AOB的面积最大？图 19-18探究准备探究过程用两支笔构成一个直角/ 用探究准备提供的材料，MON第三支笔当作线段AB.让第三支笔按题中要求运动，发现运动的过程中OA OB的长度发生变化，但AB的长度始终不变为8cm,根据勾股定理， 222三者之间存在必然的等量关系，如果设 Ob, OB= a,那么有a +b =8 .又S AOB = - ab2.这里可以看出：
2、两直角边的平方和不变，两直角边的乘积是会改变的（从直观上看4AOB的面积随着 a、b的大小会变化）.怎样改变呢？由a2 +b2 =82可知 b2 = 64 _a2. gp b = v64-a2S AOB a 64 - a2 所以 2=664 - a2 a22二 6 64a2 - a42=V - a4 +64a22=-(a4 -64a2 +322 1+32 22=V-(a2 -32 2 +32222”21 , 322 = 16因为-(a -32 )的最大值是0,所以S戌OB的最大值就是2.此时a2 =32,a=4J2,b=42,即当 a = b=4j2 时，AOB勺面积最大为 16.探究评析 根
3、据勾股定理，已知直角三角形的两边可以求第三边，但仅知道直角三角形的一条边，我们在没有其他条件的情况下，不能确定其他两边的大 小，只能得出这两边的关系，因而这时的直角三角形周长和面积都不确定.例9如图1919, A B是直线l外同侧的两点，且点 A和点B至”的距离 分别是3cm和5cm,AB =2V10cmi若点p在1上移动，求PA+PB勺最小化B/%图 19-19思路与技巧 要求最小值，需找到点P,由轴对称知识，作A点关于直线1的 对称点A,连结BA交直线1于点P ,则点P为所求的点.故 PA + PB = PB + PA = AB.所以只须把线段AB放到直角三角形中.解答 如图19-19,过B点作1的垂线BR过点A、A,作AdBD于C, AC_LBC于C,得ACB? 口 AACB均为直角三角形，运用勾股定理可得：AC = AC = Jab2 -BC2 = V(210 2 -(5-3)2 =6AB2 =C B2 AC 2 H：5 3 2 62 =100所以 AB=10.即 pa+ PB= 10(cm)