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1、第封第五节曲面及其方程一、主栗内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答一、主要内容(一)曲面方程的概念引例 求到两定点和以2,1,4)等距离的点的 轨迹方程.解 设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM = BM,即 7(x-1)2+(j-2)2+(z-3)2= x(x-2)2 + (j + 1)2+(z-4)2化简得 2x -6j + 2z - 7 = 0.说明：动点扰迹为线段A的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程，.一厂不在此平面上的点的坐标不满足此方程.71 .定义如果曲面S与方程尸(x,y,z) = o有下述关系: (1)曲面5上的任意点的坐标都满足此方程； 不
2、在曲面S上的点的坐标不满足此方程， 则户(x,y,z) = O叫做曲面5的方程，丁: 曲面S叫做方程户(工,必2)= 0的图形.曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等.x曲面在空间解析几何中被看成是点的几何枕迹.以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题:2 .两个基本问题(1)已知一曲面作为点的几何枕迹时， 求曲面方程.(2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图).(-)几种特殊的曲面及其方程1 .平面 Ax + By + Cz + Z) = 02 .球面以“(，(/，九二。)为球心，R为半径的 球面方程为(x - x0)2 + (y - %)2 + (z - s)2 = R23
3、.旋转曲面3.旋转曲面定义一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋 转一周所成的曲面称 为旋转曲面.这条定直线叫旋转 曲面的轴.(2)转轴为坐标轴的旋转曲面Z方程的特征：如图，V M(x,y,z)wE,Zlc过点M作垂直于z轴的平面2。点M到z轴的距离;Md = yx2 + y 2 = yJ# z = z, yi =x x2 +j2J/(y,z) = ox = 0代入 /(JPZ)= O得旋转曲面Z的方程： /(xx2 +j2, z) = 0,即为yoz坐标面上的已知曲线/(y,z) = O绕z轴 旋转一周的旋转曲面方程.TrnTl/.lIrnTH由此可见：绕z轴旋转，Z坐标不动，将y 换成 /
4、 + 了2.RarwMCZ 3,6同理：yoz坐标面上的已知曲线/(y,z) = 0绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为f(y, 土 vx2+z2) = 0.绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：出现某两变量的平方和.常见的旋转曲面圆柱面：X2 4-J2 =2直线c： P=绘轴旋转而成.x = 0.rwwr4 ，圆锥面直线L绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角a 万、(Ovav )叫圆锥面的半顶角.yoz面上直线:z = y cot a绕z轴旋转一周所得的圆锥面方程：Cz = X2 + y2 cot a令 b = cota,则试建立顶点在
5、坐标原点，旋转轴为Z轴，半顶角 为a的圆锥面方程.*山7才上沙 ，f mvwooecM wmmtv绕Z轴旋转而成的曲面：X 乎 _今=单叶双曲面 a c绘轴旋转而成.因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.不批7*号I rWB Rarww旋转椭球面椭圆c2 绕y轴和z轴;x = 0y2 X2 + Z2绕J轴旋转+一步=1绕Z轴旋转+=1C旋转抛物面抛物线y=2pzx = 0绕z轴旋转而成的曲面：x2 + j2 = 2pz旋转抛物面4.柱面(1)定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的 直线L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱 面的准线，动直线 L叫柱面的母线. 观察柱面的形母线L 成过程：注柱面的准线
6、不惟一.母线平行于坐标轴的柱面方程的特征方程中缺少一个变量(该坐标轴的变量) 如：F(x,j) = O表示母线z轴的柱面. 事实上,V M(x9y9z)eZ 过点M作垂直于xoy面 的垂线，则此垂线与C 的交点MG，y, 0)的坐标 必满足：尸(x,y) = 0.反之，不在上的点M,其在xoy面上的投影点M 不在C上，从而其坐标不满足该方程.类似地，G(j,z) = 0:表示母线Hx轴的柱面.H(z,x) = 0:表示母线)轴的柱面.小结：只含X4而抉Z的方程尸(x,y) = o,在空间直 角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为 xoy面上曲线。(其他类推)(3)常见的二次柱面椭圆柱面=
7、 + = 1母线，轴 aL l双曲柱面X2 V2-72=1母线乙轴 a b-Z瀚*山73金，抛物柱面.TWer. fr，x2 = 2py p 0) 母线 z 轴二、典型例题例1求动点到定点Af0(x0,j0,z0)距离为R的轨迹 方程.解设轨迹上动点为M(x,y,z)依题意M)M = R 即丘 x0)2+(j- yo/+ (z Zo) = R故所求方程为 _( I(x - x0)2 + (y M)-+(z - z0)2 = R”何)特另山当M0在原点时,球面方程为之x2+j2+z2 = R2/d z = R2 -x2 -y2表示上(下)球面.x例2研究方程x2 + y2+/ 2x + 4y =
8、 0表示怎样 的曲面.解 配方得(X - 1)2 + (y + 2)2 + / = 5此方程表示： 球心为M0(l,-2,0),半径为V5的球面.说明：如下形式的三元二次方程(AH0) A(x2 + j2 +z2) + Dx + Ey + Fz + G = 0都可通过配方研究它的图形.其困形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.例3求直线二绕速旋转而成的0 - 1 _旋转曲面方程.解V ；W(x,y,r) e S,过点M作垂直于z轴 的平面口，它与所给直线L的交点为监(10，则为=-z/ MP=d = MFMg工；町力k +y+0=、:1 +H+0：1旋转单叶2科曲面故所求旋转曲面方程为：x2+ V
9、3- Z4三、同步练习1.求与原点O及M 0 ( 2,3,4的距离之比为1 : 2的点的全体所组 成的曲面方程.方程z = ( x 12 + ( y 22 1的图形是怎样的？ 2. 3.指出下列方程在平 面解析几何中和空间解 析几何中分别表示什么图形？(1 x = 2; ( 2 x 2 + y 2 = 4; ( 3 y=x + 1.四、同步练习解答1.求与原点O及M 0 ( 2,3,4的距离之比为1 : 2的点的全体 所组成的曲面方程.解设M ( x , y , z是曲面上任一点，根据题意有| MO | 1 二 , | MM 0 | 2 x + y +z 2 2 2 2 2 2 ( x 2 +
10、 ( y 3 + (z 4 1 = , 2 2 4 116所求方程为(x + 2 + ( y + 12 + ( z + 2 = . 3 3 9z = ( x 12 + ( y 22 1的图形是怎样的？ 2.方程 解根据题意有z 1困平面z = c去截图形得圆：(x 1 + ( y 2 = 1 + c (c 隹评面z = c上下移动时，得2 2到一 系列圆.o x y圆心在(1,2, c ,半径为1 + c半径随c的增大而增大.图形上不封顶， 下封底.3.指出下列方程在平面解析几何中和空间 解析几何中分别表示什么图形？ (1 x = 2; ( 2 x 2 + y 2 = 4; ( 3 y = x + 1.解方程x=2平面解析几何中 平行于y轴的直线 2空间解析几何中 平行于yoz面的平面x + y =4 2圆心在(0,0,以z轴为中心轴的 圆柱面 半径为2的圆斜率为1的直线y = x+1平行于z轴的平面