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1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1)若 a,b R,则 a2b22ab1、设a,b均为正数，证明不等式：Jab 1若a,b R,贝U ab 2、基本不等式一般形式(均值不等式)*右 a,b R ,贝U a b2jab1时取“=”)1时取“=”)b时取“=”)4、已知 a,b,c R且a b c 1 , 求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,bR*,则 a-vab22(2)若 a,bR*,则 ab b2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们
2、的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“二”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)右x 0,则x 2 (当且仅当x x1(2)若乂 0,则x 2 (当且仅当xx(3)若ab 0,则 b 2 (当且仅当a b a22(4)若 a,b R,则 ab Cab)2 a一b- 22(5)若a,b R*,则，底。圣1 12a b2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：2,22a b c ab bc ca22213、已知a b c 1,求证：a b c -3特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式(1)若 a,b, c,d R,则(a2 b2
3、)(c2 d2) (ac bd )2(2)若 a1, a2, a3, bi, b2, b3 R ,则有：,2222,2,22(a a2 a3 )(16 b? b3 ) “ a2b2 a3b3)(3)设Q, ,%与b1,b2, ,b是两组实数，则有5、已知a,b,c R ,且a b c 1 ,求证：2222.2.22(a1 a2an )(b1b2bn ) (am a2b2an)2, 22、abcn) bca1.6、（2013年新课标n卷数学（理）选修45:不等式选，讲 设a,b,c均为正数，且a b c 1,证明：,T,1(I) ab bc ca -；( 3题型二：利用不等式求函数值域1、求下列
4、函数的值域21（1） y 3x 2（2） y x（4 x）2x,、1 , c、1(3) y x -(x 0)(4)y x - (x 0)xx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）一，一，4,一，1、已知x 2 ,求函数y 2x 4 的取小值;2x 47、2 2013年江苏卷（数学） 选r修45：不等式选r讲已知 a b 0,求证：2a3 b3 2ab2 a2b4变式1：已知x 2 ,求函数y 2x 的最小值;2x 4变式2:已知x 2 ,求函数y42x 的最大值;2x 42、若0 x 2 ,求y Jx(6 3x)的最大值;练习：1、已知x 5,求函数y 4x 21的最小值;44x 5252、已
5、知x 求函数y 4x 21 的最大值;44x 5变式：若0 x 4 ,求y Jx(8 2x)的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当|口工c 4时，求y x(8 2x)的最大值；3、求函数y v;2x 1 Y5 2x(- x -)的最大值;22(提示：平方，利用基本不等式)变式1：当口工工4时，求y4x(8 2x)的最大值;变式：求函数y 、；4x 3 b2b3)(abia2b2a3b3)(a,bi R,当且仅当史之0时等号成立) b1 b2 b35、一般n维柯西不等式设S1,a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数，则有：2222222(a1 a?an )(b1b2bn
6、 ) (& a2b2a。6)（ai,bi R,当且仅当a1生an时等号成立）bib2bn题型分析4、（2013 年湖南卷（理）已知 a, b,c , a 2b 3c 6,题型一：利用柯西不等式一般形式求最值则a2 4b2 9c2的最小值是 ( Ans:12)1、设 x, y, z R ,若 x2 y2 z2 4,贝U x 2y 2z 的最小值为 时，（x, y,z） 析:(x 2y 2z)2 (xz2)12(2)2224 9 362y 2z最小值为此时126c、2722)22222、设 x, y,z R, 2x y 2z 6,求 x y z 的最小值m,并求此时x,y, z之值。.,、，424、Ans： m 4;(x, y,z)(-,-,-)3335、（2013 年湖北卷（理）设x,y,z R ,且满足：x2 y2 z2 1 , x 2y 3z V14 ,求 x y z 的 值；3、设 x,y,z R, 2x 3y z 3,求 x2 (y 1)2 z2之最小值为,此时y (析：2x 3y z 3 2x 3(y 1) z 0)6、求 2sin43 cos sin cos cos的最大值与最小值。（Ans :最大值为2正，最小值为2 ）析：令 a (2sincos ), b (1 , sin , cos )