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1、第二讲 空间点、线、面位置关系的判断考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018I卷面面唯直证明及三棱锥体积求法T18命题分析高考对此部分的命题较为稳 定，一般为“一小一大”或“一 大”，即一道选择或填空题和一道 解答题或一道解答题.(2)选择题一般在第1011题的位 置，填空题一般在第14题的位置， 多考查线面位置关系的判断， 难度 较小.学科素养通过平行、垂直关系的判断与证明 重点考查学生直观想象与逻辑推 理素养，通过体积计算考查数学运 舁系仆.n卷异面直线所成角的求法 T9出卷面面唯直证明及线面平行的探索性问题于192017I卷线囿平行的判断于6面面唯直的证明与
2、四棱锥的侧面积求法干18n卷线面平行的证明与四棱锥的体积求法T18出卷线线垂直的判断T10线线垂直的证明与体积比问题干192016I卷线面垂直应用、几何体的体积T18n卷线线垂直、几何体的体积 T19出卷线面平行、几何体的体积 T19考点一空间点、线、面位置关系的基本问题授课提示：对应学生用书第 37页悟通一一方法结论空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的 位置关系的定义.全练一一快速解答1. (2017高考全国卷I )如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶
3、点，M,N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：对于选项B,如图所示，连接 CD,因为AB/CD, M, Q分别是所在棱的中点，所以MQ/CD,所以AB/ MQ,又AB?平面MNQ , MQ?平面 MNQ,所以 AB/平面 MNQ. 同理可证选项 C, D中均有AB/平面MNQ.故选A.3B.AAi=J3,则异面答案：A2. （2017高考全国卷出）在正方体ABCD AiBiCiDi中，E为棱CD的中点，则（）A. AiEXDCiB. AiEXBDC. AiEXBCiD . AiEXAC解析：由正方体的性质，得 AiBiXBCi, BiCXBCi,所
4、以BCi，平面Ai BiCD,又AiE ?平面AiBiCD,所以AiEXBCi,故选C.答案：C3. （20i8 高考全国卷 n ）在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=BC=i,直线ADi与DBi所成角的余弦值为（）A.5解析：如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi的一侧补上一个相同的长方 体A B BA-Ai Bi BiAi.连接BiB,由长方体性质可知， BiB / ADi,所以/ DBiB为异面直线ADi与DBi所成的角或其补角.连接 DB,由题意，得 DB =i2+（i + if B Bi = i2+（V3f =2,DB i= Vi2+i2+ （V3f =乖.在 DB B
5、i中，由余弦定理，得DB 2=B，B2+DB2-2B，Bi DBi cos/DBiB，,即 5 = 4+5 2X2婀os/DBiB , . . cos/ DBiB =g故选C.答案：C4. (2016高考全国卷n ) a, 3是两个平面，m, n是两条直线，有下列四个命题：如果 mn, m a, n/ 3,那么 a 3如果m a, n / a,那么m n.如果a/ & m? &那么m/ 8如果m/n, a/ 3,那么m与a所成的角和n与3所成的角相等.其中正确的命题有(填写所有正确命题的编号).解析：根据相关知识，对四个命题逐个判断.对于，”，3可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于，由线
6、面平行的性质定理知存在直线l? a, nil l,又m a,所以ml,所以mn,故正确.对于，因为all 3,所以 3没有公共点.又 m? ”，所以m, 3没有公共点，由线面 平行的定义可知 m/ 3,故正确.对于，因为 m/n,所以m与“所成的角和n与“所成的角相等.因为 all 8所以n 与“所成的角和n与3所成的角相等，所以 m与“所成的角和n与3所成的角相等，故正 确.答案：【类题通法】判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判 断.(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结
7、 合有关定理，进行肯定或否定.(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相 矛盾的命题，进而作出判断.考点二平行与垂直关系的证明授课提示：对应学生用书第37页悟通 方法结论记住以下几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.(5)垂直于同一条直线的两个平面平行.(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.典例卜(2018高考全国卷出)(12
8、分)如图，矩形ABCD所在平面叮半网弧CI)所在平面垂直.MM是CD上异于C, D的点.平面AMD_L平面BMC：证明：线段AM上是否存在点P.(2)在使得MC/平面PBD?说明理由.学审题条件信息想到方法注意什么由信息？平囿ABCD，平囿CMD由信息？证明平囿AMD，平面BMC囿间垂直的性质可用来找出需要的线面垂直，即 BC，平面CMD面面唯直的判定方法可证DM，平面BMC利用面面垂直判定定理及性质7E理时，7E要注思7E理成 立条件的完整性，否则会丢分由信息？在AM上找点P使得MC /平面 PBD猜测P为AM中点，再证明规范解答(1)证明：由题设知，平面 CMD，平面ABCD,交线为CD.
9、因为BCXCD, BC?平面ABCD,所以BCL平面 CMD ,故 BC DM. （4分）因为M为e?）上异于C, D的点，且DC为直径，所以DM LCM.又BCnCM=C,所以DM,平面BMC.而DM?平面AMD , 故平面AMD，平面 BMC （6分）（2）当P为AM的中点时，MC /平面 PBD. （8分）证明如下：连接 AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以。为AC中点. （10分）连接OP,因为P为AM中点，所以 MC / OP.又MC?平面PBD, OP?平面PBD,所以MC/平面 PBD. （12分）【类题通法】（1）正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判
10、断和证明的基 础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系,这些都可以作为条件直接应用 .（2）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即 可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行（3）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将 证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线， 则借助中线、高线或添加辅助线解决.（4）证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面？线面？线线.（5）学科素养：利用空间几何体证明平行或垂直关系主要考查学生的直观想象与逻辑
11、推 理素养能力.练通一一即学即用1. （2018武汉调研）如图，三棱锥 P-ABC中，底面 ABC是边长为2的正三角形，PAXPC, PB = 2.15(1)求证：平面 PAC，平面 ABC;(2)若PA=PC,求三棱锥 P-ABC的体积.B解析：(1)证明：如图，取 AC的中点O,连接BO, PO.因为 ABC是边长为2的正三角形，所以 BOX AC, BO =73.1因为 PAX PC,所以 PO = 2AC = 1.因为 PB = 2,所以 OP2+OB2=PB2,所以 POL OB.因为ACAOP=O,所以BOL平面FAC.又OB?平面ABC,所以平面PAC，平面ABC.(2)因为 P
12、A= PC, PAXPC, AC=2,所以 pa=pc=2.由(1)知BOL平面PAC,所以 VP-ABC=:生 PAC BO= : * J * #X / X 次=*. 33 232. (2018沈阳模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PDL底面 ABCD , AB / CD , AB= 2,CD=3, M 为 PC 上一点，且 PM = 2MC.(1)求证：BM/平面PAD;兀 . 1上，八. ，一 一I(2)若 AD = 2, PD = 3, Z BAD =3,求二梭锥 P-ADM 的体积.解析：(1)证明：法一：如图，过 PM = 2MC , MN =3CD.2 一X AB=-CD,且
13、 AB / CD,M作MN / CD交PD于点N,连接AN.B3AB触MN, 四边形 ABMN为平行四边形,BM / AN.又BM?平面PAD , AN?平面PAD, BM /平面 PAD.法二：如图，过点M作MNLCD于点N, N为垂足，连接BN.由题意，PM=2MC,贝U DN = 2NC,又 AB/CD, AB=2CD,，AB 瞅 DN , 3四边形ABND为平行四边形，BN / AD. . PD,平面 ABCD, DC?平面 ABCD, PDXDC.又 MN，DC, MN?平面 PDC, ，PD/MN. BN?平面 MBN, MN?平面 MBN , BNP MN =NAD?平面 PAD
14、, PD?平面 PAD, ADA PD = D, 平面MBN /平面PAD. BM?平面 MBN , BM / 平面 PAD.(2)如图，过B作AD的垂线，垂足为E. PD，平面 ABCD, BE?平面 ABCD , PDXBE.又AD?平面PAD, PD?平面PAD,ADA PD = D, .BE,平面 PAD.由(1)知，BM /平面PAD,B到平面PAD的距离，即BE. 点M到平面PAD的距离等于点连接 BD,在4ABD 中，AB=AD=2, /BAD = ；, . BE = V3,则三棱锥 P-ADM 的体积 VP-ADM = VM-PAD = 1XSADXBE = 1X3xy3=，3
15、. 33考点三讲练结合平面图形的折叠问题授课提示：对应学生用书第39页悟通一一方法结论平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.菱形A BCD典例卜(2016高考全国卷n )(12分)如图，O 的对角线AC与BD交于点O,AE= CF,将 DEF沿EF折到点巳F分别在AD,CD上,EF交BD于点H. EF的位置.P
16、r证明：AC，HDf -：0h ，t户e n ruwMM kh nr .?，若 AB=3. AC=6, AE= .()D = 2 叵1(2)求五棱锥D -ABCFE的体积.学审题条件信息想到方法注意什么信息？：菱形ABCD菱形的边及对角线的关系：对角线垂直、边相等(1)折登图形中前后“不变的 位置关系和数量关系”及“变的位置关系和数量关系”(2)三角形中三边的关系也可 判断两直线垂直信息？ : AE=CF三角形中平行线等分线段成比例：然=，可证ACAD CDEF信息？ ： 4DEF沿EF折到D EF的位置折叠图形中的“变量”与“小变量”，小变量 HD EF信息？：证明ACLHD转化步-直线的平
17、行线垂直于另一条直线(3)证线卸垂直的条件：直线 垂直十平面内两条相交直线信息？：已知AB, AC, AE,OD的长由边长关系证明线线垂直关系：可求DO, OH的长，进而由OD , OH, D H的长满足勾股定理可证 OD OH规范解答(1)证明：由已知得 AC ，BD , AD = CD.(2分)又由 AE = CF,得祟=CF,故 AC / EF. AD CD由此得 EFXHD,故 EFHD , （4分）所以 ACHD，.,/口 OH AE 1八（2）由 EF “ AC 得do = ad = 4.（6 分）由 AB=5, AC=6,得 DO= BO=AB2AO2 =4.所以 OH = 1
18、, D H= DH = 3. （8分）于是 OD，2+OH2=（2/2）2 + 12=9=D H2,故 OD OH.由知,ACXHD又 AC BD, BD A HD =H ,所以AC,平面BHD ,于是 ACXOD . （10分）又 OD LOH, ACAOH = O,所以 OD，平面 ABC.又由EFACDHDO9 得 EF=2.五边形ABCFE的面积S= -X6X 8-x -x 3 = 69 22 24 .所以五棱锥D -ABCFE的体积V=；X 69-X 2小=232 (12分)342【类题通法】翻折问题的3个注意点(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图.(2)
19、把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些 平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征, 进行空间线面关系逻辑推理的基础.(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何 体的数字特征，这是准确进行计算的基础.授课提示：对应学生用书第125页、选择题1. （2018天津检测）设l是直线，“，3是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）由余弦定理得 CE = 2.连接AC, AE=2, /AEC=60?, .AC=2.又 AP=弧 在 PAE 中，PA2+AE2= PE2,即 API AE.同理，API
20、 ACM AC A AE= A, AC?平面 ABCE, AE?平面 ABCE ,故 APL平面 ABCE.(2)AB/ CE,且 CE?平面 PCE, AB?平面 PCE,.AB/平面 PCE.又平面 PABA平面PCE=l.AB/ l.提升能力蜂技巧：；嶙打法练通一一即学即用（2018合肥模拟）如图，平面五边形 ABCDE中，AB / CE ,且AE=2, / AEC=60?,5 .CD=ED = V7, cos/EDC = 71|CDE沿CE折起，使点 D至U P的位置，且 AP = 73,得到四棱锥P-ABCE ,如图.（1）求证：APL平面 ABCE;（2）记平面PAB与平面PCE相
21、交于直线1,求证：AB/1.证明：（1）在4CDE中,.CD = ED = , cos/ EDC = 5,课后训练A.若 l / a, l / 3,则 a“ 3B.若 l / a, l，3,则 a 3C.若 a_L & l -L a,贝 U l _L 3D.若 a 3, l / a,则 l，3解析：对于A选项，设 an 3= a,若l/ a,且l?% l?&则l / % l/ 3,此时“与3相 交，故A选项错误；对于 B选项，l / a, l 3,则存在直线a? a,使得l / a,此时 n 3, 由平面与平面垂直的判定定理得aX 3,故B选项正确；对于 C选项，若a，&l，”,则l/ 3或l
22、? &故C选项错误；对于 D选项，若a 3, l /鹏则l与3的位置关系不确定，故D 选项错误选 B.答案： B2. 已知m, n是两条不同的直线，M3是两个不同的平面，给出四个命题：若 aA 3= m, n? a, n,m,则 a 3；若m a, m&则a/ 3；若 m a, n 3, m,n,则 a 3；若 m / a, n / 3, m / n,则 a/ &其中正确的命题是()A B C.D.解析： 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况， 不 正确； 垂直于同一条直线的两个平面平行， 正确； 当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角
23、，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确.答案： B3. (2018合肥教学质量检测)已知l, m, n为不同的直线， % 3, r为不同的平面，则 下列判断正确的是()A.若 m / a, n / a,则 m / nB.若 m a, n II a贝U m nC.若 aA 3= l, m / % m/ 氏则 m / lD.若 aA 3= m, aA r = n, l m, ln,则 l a解析： A ： m ， n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故A 错误； B ：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C:根据线面平行的性质可知C正确；D：若m/n,根据线面垂
24、直的判定可知 D 错误，故选 C.答案： C鹏3, r是三个不同的平面,4. (2018石家庄教学质量检测)设m, n是两条不同的直线,给出下列四个命题:若 m? a, n / a,则 m/ n;若 a/ 8 3/ r, m a,则 m r;若 aA 3= n, m / n,则 m / a,且 m / 3；若 nr, 3r,则 all 3.其中真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：m/n或m, n异面，故错误；，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知正确；m/ a或m? a, m / 3或m? 3,故错误；，根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知错误，所以真命题的个数为1
25、,故选B.答案：BM, N, P分别为其所在5.如图所示，在四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点,AB/平面MNP的图形的序号是（）B.棱的中点，能得到A.C.D.解析：中,平面 AB /平面 MNP , .AB/平面 MNP.中，若下底面中心为 O,易知NO/ AB, NO?平面MNP, AB与平面 MNP不平行.中，易知AB/ MP, .AB/平面 MNP.中，易知存在一直线 MC/AB,且MC?平面 MNP, AB与平面 MNP不平行.故能得到AB/平面MNP的图形的序号是.答案：C6. （2018大庆模拟）”，3表示平面，a, b表示直线，则all a的一个充分条件是（）A . a
26、 3,且 a，3B. an 3= b,且 a / bC. a/ b,且 b/ aD. a/ 3,且 a? 3解析：对于A, B, C还可能有a? a这种情况，所以不正确；对于 D,因为all 3,且a? 3,所以由面面平行的性质定理可得all %所以D是正确的.答案：D7. （2018哈尔滨联考）直线m, n均不在平面 ”3内，给出下列命题：若 m H n, n II % 贝U m II a;若 m / & a / 3,则 m / a；若 m n, n a,贝U m II a;若 m 3, a，3,贝m m/ o.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：由空间直线与平面平
27、行关系可知正确；由线面垂直、线面平行的判定和性质可知正确；由线面垂直、面面垂直的性质定理可知正确.故选 D.答案：D8. （2018绵阳诊断）已知l, m, n是三条不同的直线，% 3是不同的平面，则 也3的一个充分条件是（）A. l? a, m?&且 lmB. l? a, m?& n? 3,且 l,m, lnC. m? a, n? & m/ n,且 lmD. l? a, l/m,且 m，3解析：依题意知，A, B, C均不能得出 口应对于D,由l/m, m, 3得 口 3,又l ? a,因此有a1 3综上所述，选 D.答案：D9. （2018贵阳模拟）如图，在正方形 ABCD中，E, F分别
28、是BC, CD的中点，沿AE , AF, EF把正方形折成一个四面体， 使B,C, D三点重合，重合后的点记为 P, P点在4AEF 内的射影为O,则下列说法正确的是（）ttA . O是/ AEF的垂心C. O是AAEF的外心B. O是AAEF的内心D. O是 AEF的重心解析：由题意可知PA、PE、PF两两垂直,所以PAL平面PEF,从而PAX EF,而 POL平面 AEF,贝U PO EF,因为 POAPA=P,所以EF，平面PAO, EFXAO,同理可知 AEXFO, AFXEO,.O为 AEF的垂心.故选 A.I)i18答案：A10.如图，矩形 ABCD中，AB=2AD, E为边AB的
29、中点，将 ADE沿直线DE翻折成 AiDE.若M为线段AiC的中点，则在 ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是 （）A. BM是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使 DEXAiCD. MB /平面 AiDE解析：取CD的中点F,连接MF, BF, AF（图略），则MF / DA1, BF / DE ,.平面 MBF /平面 AiDE,MB /平面 AiDE,故D正确.1. AiDE = Z MFB , MF =2AiD , FB = DE ,由余弦定理可得 MB2=MF2+FB2 2MF FB cos/ MFB , MB是定值，故 A正确.二 B是定点，BM是定值，M在以B为
30、球 心，MB为半径的球上，故 B正确.AiC在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连 线，不可能与 DE垂直，不存在某个位置，使 DEAiC.故选C.答案：C二、填空题BM与ED是异面直线；11. 如图是一个正方体的平面展开图.在这个正方体中，CN与BE平行；CN与BM成60角；DM与BN垂直.解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接 BE, BN,显然正确；对于, 连接AN,易得AN / BM, / ANC=60,所以CN与BM成60角，所以正确；对于, 易知DM，平面 BCN,所以DMLBN正确.答案：12. 如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，M, N分别为棱C1Di,
31、 C1C的中 用2%6 点，有以下四个结论：A. 飞直线AM与CCi是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MBi是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为（把你认为正确结论的序号都填上 ）.解析：AM与CCi是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MBi为异面直线.因为DiC/MN,所以直线 MN与AC所成的角就是 DiC与AC所成的角，为60.答案：13. （20i8厦门质检）设m, n是两条不同的直线，”，3是两个不同的平面，有下列四个 命题：若 m a, a &则 m/ 3;若 m a, a/ 3, n?&则 mn; m? a, n? 3, m“n,贝U all
32、 3； 若 nX a, n 3, m 3,贝U mX a.其中正确命题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）.解析：对于命题可以有 m? &故不成立；对于命题可以有“与3相交，故不成立.答案：14. （20i8武昌调研）在矩形ABCD中，ABVBC,现将 ABD沿矩形的对角线 BD所在 的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线 AC与直线BD垂直；存在某个位置，使得直线 AB与直线CD垂直；存在某个位置，使得直线 AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.解析：假设AC与BD垂直，过点A作AEXBD于点E,连接CE,人如图所示，贝U AEXBD, BDXAC.X
33、 AEA AC = A,所以 BD，平面 AEC,/ 从而有BDXCE,而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，错误.假设 ABXCD, ABXAD, ADACD=D, . AB,平面 ACD, . ABAC,由 ABvBC可知，存在这样白直角三角形BAC,使ABXCD,故假设成立，正确.假设 AD BC,DCXBC, AD A DC = D , . BCL平面 ADC, z. BCXAC,即 ABC 为直角三角形，且AB为斜边，而ABVBC,故矛盾，假设不成立，错误.答案：三、解答题15. (2018汕头质量监测)如图，已知 AFL平面ABCD,四边形ABEF为矩形，四边形 ABC
34、D 为直角梯形，/ DAB = 90?, AB / CD , AD=AF = CD = 2, AB=4.(1)求证：AF/平面BCE;(2)求证：AC,平面BCE;(3)求三棱锥E-BCF的体积.解析：(1)证明：因为四边形 ABEF为矩形，所以 AF/BE,又BE?平面BCE, AF?平面BCE,所以 AF /平面 BCE.(2)证明：过 C作CMXAB,垂足为M,因为ADXDC,所以四边形 ADCM为矩形.所以 AM = MB = 2,又 AD =2, AB=4,所以 AC = 272, CM = 2, BC=2限，所以 AC2+BC2=AB2,所以 ACXBC.因为 AF，平面 ABCD
35、 , AF / BE,所以BE,平面 ABCD,所以BE LAC.又 BE?平面 BCE, BC?平面 BCE, BEA BC=B,所以AC,平面BCE.(3)因为 AF,平面 ABCD,所以 AFXCM.又 CMAB, AF?平面 ABEF, AB?平面 ABEF, AFA AB = A,所以CM，平面ABEF.故 VE-BCF = VC-BEF=1X1XBEXEFXCM = 1X2X4X 2=8.3 26316. (2018广州五校联考)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD, / BAD = 60?, E是AD的中点，点 Q在侧棱PC上.J?(1)求证：AD，平面
36、PBE;(2)若Q是PC的中点，求证：PA/平面BDQ;、CP，(3)右 Vp-BCDE = 2Vq-abcd ,试求的值. CQ解析：(1)证明：由E是AD的中点，PA= PD可得ADPE.又底面ABCD是菱形，/ BAD =60?,所以AB=BD,又E是AD的中点，所以 ADXBE,又PEABE=E,所以 ADL平面 PBE.(2)证明：连接 AC,交BD于点O,连接OQ(图略).因为。是AC的中点，Q是PC的中点，所以 OQ / PA,又PA?平面BDQ , OQ?平面BDQ , 所以PA /平面BDQ .设四棱锥 P-BCDE , Q-ABCD的高分别为hi,卜2.所以 VP-BCDE
37、 = 0S 四边形 BCDEh1, 31Vq-ABCD = 7S 四边形 ABCDh2.3又 VP-BCDE = 2Vq-abcd， 且 S 四边形 BCDE= mS 四边形 ABCD， 所以 二=2 4CQ h2 317. (2018郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形 ABCD中，AM=CD = 1AB =31.现将 AMD沿MD折起，使平面 AMD，平面 MBCD ,连接 AB, AC.21在AB边上是否存在点 P,使AD /平面 MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点 B到平面MPC的距离.解析：(1)当AP = 3AB时，有AD /平面MPC.理由如下：连接BD交MC于点N
38、,连接NP.在梯形 MBCD中，DC / MB ,DNNBDC 1=MB 2在ADB 中，AP=1,AD / PN.，PB 2. AD?平面 MPC , PN?平面 MPC , .AD/平面 MPC.（2） ,.平面 AMD，平面 MBCD ,平面 AMD n 平面 MBCD = DM , AM DM , . . AM，平面 MBCD.VP-MBC = W* Sambc X = -x - X 2X 1 x -=-. 323 22 6在AMPC 中，MP=2AB = , MC=#,又吟4盼+12箸，；SMPC = 2X2（ 7吟）-吟）点B到平面MPC的距离为13 X 二 f 3Vp-mbc _6 6 6d 室 mpc6 3 .4