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1、蒂第六章 定积分的应用崛（A）芍1、求由下列各曲线所围成的图形的面积1 2 .22菜 1） y= x与x2+y2=8（两部分都要计算）2蔽腿赣充1一， 一 一蚂 2） y = _与直线y = x及X = 2X薄莅暮螂X-X蟆 3） y=e , y=e与直线X=1腿螂袂4) 。= 2a cos fwn芟33 .蒲5) x = a cos t , y = a sin tn量螂前1、2、建求由摆线x=a(tsint), y =a(1cost)的一拱(0 Et E 2打)与横轴所围成的图形 的面积肆荽藏3、4、肄求对数螺线P=ae6(- 0内直线x + y =万p 所围成的平面图形为 D1)2)肄求D
2、的面积S ;2)将D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积蝇2、求由抛物线y = x2及y2 =x所围成图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的 体积袅3、求由y=sinx, y = cosx , x=0, x =一所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴2旋转所成旋转体的体积量衿蜗袄聿4、求抛物线y2=2px及其在点-p, p i处的法线所围成的图形的面积 2噩蜜腿甘亵5、求曲线y =x2 2x+4在点M (0,4型的切线MT与曲线y2 =2(x1 )所围成图形的面积曹覆袄-+-几奠第6、求由抛物线y2 =4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值方蜘蜗蓬7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积聿
3、 1) P = 3 cos日,P = 1 + cose蜘螃膈袈袈 2) P = asin8, P = a(cos日+sin8 ), a 0艘蚁袁w薄8、由曲线x2+(y-5 2 =16所围成图形绕x轴旋转所成旋转体的体积希蚀肇噩膈膂蔽9、求圆心在 (0,b泮径为a, (b a 0用圆，绕腿芈蒲膀芨肄蚂量甘莅10、计算半立方抛物线 y2 = 2(x-1 f被抛物线y2 3膀蜘藏蟋x轴旋转而成的环状体的体积x=c截得的一段弧的长度3袂充(C)屋1、用积分方法证明半径为R的球的高为H的球缺的的体积为2 r h、放 V =nHR - I3 )蟆2、分别讨论函数y=sinx 0 x在取何值时，阴影部分的
4、面积 , S2的和S = +S2取最大值和最小值蛔3、求曲线y=JX(0ExE4 的一条切线，使此切线与直线x = 0, x = 4以及曲线y = Jx所围成的平面图形的面积最小螃4、半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切， 球的密度与水相同， 现将球从水中取出， 需作多少功？肇第六章定积分应用初习题答案1) 2n 十 4 ,32)4)二a25)节2、3 二a23、2e2二-e?二4幕6、7、 c 273衿10、kc3a（其中赣13、取y轴经过细直棒筮 1、1) Syp2)肄2、肃3、冗（A）-ln 224、-1 28、6a3)k为比例常数）L -1F、，=Gm u 一5、9、11、5769
5、7.5 kJ1_.a2 t2Fx128 二0.18kJ64 二12、14373 kN )Gmu2 x2 a a t3 ,2p-y-p02 2Pxfdy二 2p 3p -x - 2 px dx16 21P|p-y2dy1 21i jx -x dx = 一 032p 1510 二-x2x = 1004 cosx - sin x dx 1 sinx -cosx dx = 2 . 2 - 24冗JI蚁 V = ；，co x ：i si nx 2 dx 2 si nx i co x 2 dx 二二 4滕4、抛物线在点p1处的法线方程为:2x + y = 0 p,以下解法同第一题 A216 21，4-yJ
6、_22_1 dy =3.-22菜5、MT ： y=42x,切线 MT与曲线y2 = 2 x 1的交点坐标为,1 i、2 ）莫6、提示：设过焦点（a,0）的弦的倾角为q蔓则弦所在直线的方程为交由 y =tanot(x -a),2y = 4ax得两交点纵坐标为祎 y1 =2actg： - csc- 2 2a ctg： 1 csc - y2y2六所以A必a yctg：-匚4ady222423劳=4a csc-： 4a ctg-： csc： - - a csc-： 3莆=4a2(csc 3 -a2(csc j =8a2(csc f 33蠢因为0an当口=；时（cscot f取得最小值为12形面积蛰所以
7、 当a：2时 过焦点的弦与抛物线y=4ax所围成的图682,3 产 a (csc，取小2 J 3 7、1)荽2)3 12312A = 2 |/万(1 +cos ) d8 十修(3cosH ) d日=黄8、V工二 5 16 一 x224 2dx-4二5- 167 dx蒂二二i 八5 +V16 -x2 2 (5 -V16 -x2 2,4dx =160二2聿9、解法同题8菱10、提示:y2 =2(x-1 3,修、一 “,6联立得交点2, 3 )2,一半3 )端所求弧长s = 2| 丫1 + (y 2dx神由y222/3 /口, x-1= -(x -1J 得 y =3y悝干曰 3 2(x-12 2(x
8、-1 4蝇于ly f = =l y 2(x-1f3ix-1菱于是得S = 2A =/5(asinH fdH +k(sin6 +cos6 旷de = a2菱(C)聿1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图x2+y2 = R2的一部分）绕y轴旋转而成奠所以VR 2r：xR Hdy= r31-H(R2 y2 dy =nR2y RnRR-H嵋=二R2 R - R-H 1- R3 _ R-H 3 1 - :H 2 R - H3.3t二蜜 2、解：S1=(sint sin x dxS2=(s inx s in dxt螂S t = sin t - sin x dx+ ： sin x - sin t dx，in
9、、(ji、蔗=2cost + 2t sin t -10 t 2)、2 )一 f 冗、八 一， nJi袅S (t )= 2t - - icost = 0 ,得驻点 t1 = - t2 = 0S，(t2 )0箍3、解：设（, y为曲线y = Jx（0 M x4让任一点，易得曲线于该点处的切线方程为:广光=上仅一）即丫弩表2菜得其与x = 0 , x = 4的交点分别为 0,-y0 i , 4, y0十2,、2)2 2V。)精于是由此切线与直线x=0, x=4以及曲线 y=JX所围的平面图形面积为:163V0x f-4x x= Jx dx = 2 y。+ =、22 Jx。jx xo=2 x。-4-.
10、/ xo16416 _戴可题即求S=2，x+(0 x 4 )的取小值 x 313祎令S=x2+2x”=0得唯一驻点x = 2 且为唯一极小值妨所以当x = 2时，S最小羁即所求切线即为：y =-x_22、22B 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系(r 建易知任意x,x+dx】段薄片在提升过程中在水中行程为r x,而在水上的行程为 2r-x) = r+x赚因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水 面上提升时，做功微元为蝇 dW = g 二r2- x2rx dx瞧 W =r dW = g -： rr2- x2rxdx=4 二 r4gyy3薄 蒂 蚀 肇 墨 蛰 芨 膈