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1、范德蒙行列式的推广及应用目录、摘要、引言、第一章1定义2 定义的证明3 推广定义及证明4 性质第二章1范德蒙行列式在行列式计算中的应用5 范德蒙行列式在微积分计算中的应用6 范德蒙行列式在向量空间计算中的应用7 范德蒙行列式在线性空间计算中的应用第三章1范德蒙行列式在多项式插值中的应用2、利用编程计算范德蒙行列式第四章结论参考文献第一章、1.1定义我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。当我们遇到这样一个数学问题：过平面上n个不同的点k,i（i=1,2,，。）且11=1, 2,，n）各不相同，是否存在唯一的一条n 1次曲线个人收集整理勿做商业用途.123nki X XinX2nX3nXn
2、 n其中，aan是待定系数，经过这n个不同的点呢？这个问题就等价于下面的线性方程组kj = x + xlAl + k 斗 + 斗;i% = X + JC内+牝入；+十片kn = X + Xt + Xu_|Xnn11 /16个人收集整理勿做商业用途关于待定系数Xi,K ,Xn是否存在唯一的解.根据克莱姆法则，只需考虑方程组23/16的系数行列式的值，其系数行列式为pl因此只需计算行列式的值.这个行列式就称为n阶的范德蒙(Van derm onde 行歹ij式F面我们来证明，对任意的阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差点Kj vi n)的乘枳.首先，我们用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对作归
3、纳法.(1)当时,结果是对的.(2)假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在a.个人收集整理勿做商业用途中，第“行减去第H行的卜倍,第匚一于减去第2行的山倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有个人收集整理勿做商业用途1111C 11 - 1产 2/1 2n - 2n - 1 n - Z a - a, an 1 rr个人收集整理勿做商业用途=(2)(个人收集整理勿做商业用后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差： (2jvin)；而包含的差全在前面出现了 .因之，结论对H级范德蒙德行列式也成 立.根据数学归纳法，完成了证明.个人收集
4、整理勿做商业用途用连乘号，这个结果可以简写为an，F1由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是个人收集整理勿做商业用途ar % % .%这n个数中至少有两个相等.这是用数学归纳法证明的，下面我们在用定理证明已知在级行列式au . aii. 5 甲*I* D = aii . 州 % .%. ann中，第1行（或第j歹丁）的元素除州i外都是零，那么这个行列式等于珂I与它的代数A余子式M的乘积智计,在6/16中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的个人收集整理勿做商业用途:倍得也一的口）片二用途根据上述定理个人收集整理勿做商业前每鳗襁/撇蒙行列式，（勺一叭）（勺5卜仇-QJ =L1
5、.2行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1、若将范德蒙行列式Si逆时针旋转90S可得用 兔表示，则有个人收集整理勿做商业用途111的 .%.aah-2H - 20Z 口 3. ahk人收集整理勿做商业用途巴7:;心，：一八：Ci10 /16n- 1 a iain-2a,n(n- 1)（一】）Dnn- 1nand 勺 x1-1 11-1*11-1日D11-1 日 u1)-7-日1)1-11.2、若将范德蒙行列Di顺时针旋转可zs z/cu3范德蒙行列式的推广定义及证明利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特 殊的行 列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为
6、例，我们来说明怎 样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n 的每列都是某一个数的不同方幕，且自上而下方幕次数由0递增至n-1。根据范德蒙3 若将范德蒙行列式入旋转】叭口的行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。个人收集整理勿做商业用途常见的化法有以下几种:所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幕，但其幕次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。个人收集整理勿 做商业用途例 计算 AJ （a-1）n.D= 日 3 11111解：由范德
7、蒙行列式的性质 3得D =1/inljfnfr=12.1.1 用提取公因式计算行列式例2计算1 1. 12 才2，3 32-Jn n2 . f解：D冲中各行元素都分别是一个数的不同方幕，而且方幕次数从左至右按递增次序 排列，但不是从0变到n-1,而是由1递升至n,如提取各行的公因数则方幕次数便从。 变至ij n-1,于是得个人收集整理勿做商业用途11/Pn = lx2x3xAxn 1122Inn231上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故Dn = n!(2 -1)(3-1)*- (n -1)(3- 2)(4 - 2)(兀-2) | 叫-(n -1)|2.1.2 调换各行(或各列)的次序计算行列
8、式例3计算Ia,八h(n 1)J. (a 一 n)24 /163n + l=ia1(H - 1).( 3 n)9* a -1.a - n1.1解：本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幕次数自上而下.递升排列，将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n行，于是-+ 2 4-1个人收集整理勿做商业用途共经过 n+( n-1)+( n-2)+次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式：7t(n + 1)耳冲二(-1)2n-1a- 1)(a-1)(Q-n)个人收集整理勿做商业用途n(rt + 1)2=1 ) 1 -ff
9、lfd I - 2 町( M - 2 g 1.a-n - (a - a -1)2.1.3用拆行（列）计算行列式若第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将I的第i行（列）乘以-1加到第（i+1 ）行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。个人收集整理勿做商业用途田11心，2 I 2 *2 + *2Xj + Xj21 33X1 * X1+ 工 2再将上述行列式的第例4计算1111 +巧1 +也1 + Xj1十工2V/ + X1J2+x2乃+送X4 + x42 932 932.2,3属+x2+x2耳D.
10、个人收集整理勿做商业用途解：将D的第1行乘以-1加到第2行1 1x3叫2 X4 +乃2,35 +勺213个人收集整理勿做商业用途2行乘以-1加到第3行得：x2Z. 32.3七十勺一+ P个人收集整理勿做商业用途再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得:3X1该式即为4阶范德蒙行列式，故11 +X 11+勺1+工42回+斗1*2*x2JL 2 X3 +2J 32x31 +心个人收集整理勿做商业用途xl勺22XX2n a-切1S/F4范德蒙行列式在微枳分中的问题例8确定常数使得1，当xO时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.个人收集整理勿做商业用途解：对的各项利用泰勒公式，有2 4tXXXrf
11、(x) = a(2x)2+ h 1- 2!4却 4- - 6!小心)(3x)2(3x)4 (3x)6巧-十盲厂+心)6!r (4x)3(4x)4 (4x)M-F d 1+=a + b + c + d- -(a + 2zb + 32c + 42d)x2 + (a + 24b + 32c + 44d)x4+ 2Ab + S6。+ 46d)x6 + o(x&).当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组P a + b + c + d = Ot a + 22b + 32C + 42d = O444a + 2b + 3 + 4d = 0, ,a + 26b + 36c+46d = 0,个人收集整理勿做商
12、业用途其系数行列式1111122324,12434441 2 心 364为范德蒙行列式，由于故以为未知数的方程组只有零解:个人收集整理勿做商业用途a = b = c = d = Oi从而=0,这显然不合题意，故以下考虑当 时最高阶无穷小为6阶的情形.令p位+力+匚+川二0,Q + 2% + 3 + 42d = 0,444m + 24 + 3 c + 4 d = 0,等价于F b + c + d =- at2% + 32C + 42d = at4442b + 3c + 4d =-a.此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式2232r43方程组有唯 从而在组依赖于的解:92a, c t
13、l 二的领域内的最高阶无穷小有卜.述形式的表达式f (x) a-27a + -*36i-46a x6+2.3范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题，通过 转化, 我们很容易就能得到需要的结论.个人收集整理勿做商业用途例10设I是数域f上的JL维向量空间，任给正整数也之斤，则在V中存肚个向,其中任取 个向量都线性无关,个人收集整理勿做商业用途证明:因为眼肇所以只须在F”中考虑即可.巧二（1,2才.2山）取】“心涔,（2% = （1口（22厂.（2 一门21(2-1 中集整理勿做商业用途(22)(2心),1 kj (旷吩 kn my个人收11
14、:212-外.产(29)(2 BP-(29)L . n -1f W 1(2j(2j是范德蒙行列式， 个人收集整埋勿做商业用途所以忆p.Qj,线性无关ft 3。2.4范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较 多，在有些题目中，我们可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。个人收集整理勿做商 业用途例11设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值(1)与可交换的V的线性变换都是的线性组合，这里盘为怛等变换II2(2)VaeV,g皿，tr */线性无关的重要条件为证明:设是与可交换的线性变换，且J (曾)=入 i = l, 2,*且个人
15、则二(kct.|k e F)是舀的不变于字间,令b=灶+勺疔+今？ +片_ J1收集整理勿做商业用途则由以下方程组kj = x + J ; A + x2Aj h- 4- xn _ik11 = x + x1An + XX + - + xn-/个人收集整理勿做商业用途因为方程组 ：的系数行列式是范德蒙行列式，且n （入广MI It所以方程组I（1）有唯一解，故&是II 6仃，的线性殂合U（2）充分性因为11D（金口打（优人，（） ） = （。2,，叫T）个人收集所以整理勿做商业用途并且1 Ajn-12= （人.舛）#山i6/i6是可逆矩阵，改）线性无关.所以几MlI.又因为勺，的叫是V的一组基，山
16、町仃 必要性设时备T勺肚好别属S人的特征向量，则t?e2/-S务构成丫的牛基，因而歹口 = k属+左声2+*店】匚12，*儿贝庐启足疔的属广珀的特征向氐故站论成立,杆存在jEl,2,*11.使片工0，不妨设.F全不为零,心二0=If叫+ * + kr(ci, a (a),.* crnn (ir) = (ep e2,.fezj则人收集整理勿做商业用途 二（L2 1 cz,.,利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以 （A）从而（饮攵即,又因为线性无关，所以um叽II）、，/J ）线性无关矛断从而优二幻二1个人收集整理勿做商业用途这里，1=1,2,AW-第二早ax”使得 f (xo) v。，拉格朗口插值公式公式内容求一个n次多项式f(x) ananiXf(Xi) v、,f(Xn) yn,其中X0,K,Xn是两两互不相同的数,y0,K ,力是n 1个已知数，这样的多项式是唯一确定的，且个人收桀整理勿做商业用途n y (x x0)(x Xi) (x Xi)(x x i) (x Xn) io(X.x )(x X) X X i)(X X i)(XXJ这就是拉格朗口插值公式(二)应用范得蒙行列式 证明拉格朗口公式设 f(x)3oXn,因为 f(Xo)f(Xn) yn,个人收集整理勿做商业用途H (引-叩EI1 n