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1、数学建模论文题目：线材切割问题最优化方案探讨院系：数理学院专业：数学与应用数学班级：数学091姓名：姜奎学号：3090窜132.2011/5/2。摘要本文讨论多线材切割问题，通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要，使得线材利用率提高，减少浪费。首先， 我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案， 遵循 “全部用完，没有剩余”的原则，从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。其次，我们采取了三种模型：1. 某根线材的切割方案模型。确定一根线材的几种最优切割方案，做到单根线材的最佳优化。2. 实行切割方案的模型。 要求花费原材料最少， 即要求做到方案组合的最佳优化。3. 多线
2、材切割方案的一般模型。 通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析， 建立线材切割的一般模型， 得到最优化设计方案。最后，我们对所设计的模型进行了讨论。关键词语： 多线材切割整数规划 数学模型 最优化方案13目录i、问题重述3二、问题假设4三、符号说明4四、建立模型43.1 某根线材的切割方案模型43.2 实行切割方案的模型63.3 实行切割方案模型的求解63.4 结果分析73.5 多线材切割一般模型的建立7五、模型的分析与讨论8六、线材切割问题的几点建议9七、参考文献10八、附录11一、问题重述在很多工程领域，都有线材切割问题。这一问题可表述为 :设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别
3、为L1,Lm ,这些原线材只是长度不同，其它都相同。某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,.,n（ 这里 li 所有 Li） ，对应数量分别为 Ni,i=1,2,.,n 。设计优化计算方案，求出分别需要购买多少根不同长度的原线材, 并能给出切割方案及线材利用率。现假设某装修工程中需要对铝合金线材进行切割，工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8 米，另一种是12 米。现在假设要切割长度和数量如下所示的铝合金线材：编号长度 （单位 :米） 数量 （单位 :根）16.209023.6012032.8013641.8531050.7521560.55320应用所设计的
4、计算方案，请问至少需要购买多少根8 米和 12 米的线材，使浪费的线材比较少，并给出切割方案和计算线材利用率。二、问题假设1. 两种线材单位长度的价格是固定的。2. 货源充足。3. 在切割过程中不会出现人为造成的材料损失。三、符号说明1. Li：第i种原材料的长度。2. lj：所需白第j种成品线材的长度。3. Nj：所需白第j种成品线材的数量。4. Xj：第i种线材被实行第j种切割方案的次数或该方案本身。5. aj ：某根线材切割出编号为j 的线材成品数量，aj 为整数。四、建立模型4.1 某根线材的切割方案。确定一根线材的几种最优切割方案。第一，要保证有一种切割方案能够切割出 所需白第j种线
5、材成品。第二，要遵循每根线材余料最少的原则，要求做到单根 线材的最佳优化。模型M1某根8m线材的切割方案模型：min=8-6.20 xai-3.60 xa2-2.80 xa3-1.85 X a4-0.75 X a5-0.55 X ae;s.t.602 M al + 3.60 M a2 + 2.80 M a3 +1.85 xa4 + 0.75 父 a5 + 0.55x a6 902x12 +x22 +x23 + x24 21202x13 +x21 +x22 +3x23 +2x24 136s.t. x13 +4x14 +x22 310x12 +7x15 +4x21 +5x22 +3x24 2 21
6、53x11 +x13 + x14 +5x15+x24 之3204.3实行切割方案模型的求解在Lingo中求解，得到结果如表4.14所示表4.14各种方案的执行情况XiiX12X13X14X15X16X17X18X19615614367529053min=2300m因此，我们得到结论：5a.需要购买8m线材的数量为Z x1j =232根，其中有61根采用方案Xii; 56根 j=1米用方案X12; 43根米用方案Xi3； 67根米用方案Xi4； 5根米用方案Xi5。4b.需购买12m线材的数量 x2j =37根，其中有29根采用方案X21; 5根采用j 1方案X23； 3根采用方案X24o采用上
7、述方案的实际利用线材的总长为2281.55m,线材的利用率为2281.55/2300=99.20%。4.4 结果分析经分析可知，执行上述切割方案后，实际得到所需各种线材的数量见表4.15表4.15 实际得到各种成品线材的数量长度/m6.203.602.801.850.750.55数量/根90120136311216321从表4.15中可知，长度分别为1.85、0.75、0.55的线材均比实际要求多出1根，由此造成的浪费为 3.1m,而总的浪费为2300 2281.55=18.45m。可见余 料是造成线材浪费的主要原因，而这种浪费是不能完全消除的。该问题中，线材的实际利用率达到99.20%,相对
8、是一个很高的利用率。因此这种方案对解决此 类问题是可行的。我们可以将其扩展到一般情况，建立一般模型。4.5 多线材切割一般模型的建立。某根线材切割方案的一般模型：模型M3min=Li ijaj （ i=1,2,，mm j 1z ljaj Li（i =1,2,m） jj 1（aj至0,aj.Z（j分另1J取1,2,n）实行切割方案的一般模型：模型M4m nmin= （LXij） i 1 j 1s.t.mX Xijaj Nj（j分别取 1,2,，n） i =1五、模型的讨论一、本次建模模型使用lingo进行操作。lingo可以用于求解非线性规划， 也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分
9、强大，是求解优 化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数.二、主要任务是建模的过程，然后由lingo软件进行规划。因为要求得最少 的原材料根数，考虑到“全部用完，没有剩余”的原则，首先将切割后没有剩余 的情况全部列出，利用lingo软件求出最优结果。三、本次建模设计采用整数规划，整数线性规划数学模型。本模型经过两次优化，但第二次优化是在第一次优化的基础上进行的，是对单根线材部分切割方案组合的优化，而不是对所有方案的最佳优化。采用这种办法，减少了可能的方案，在一定程度上减少了计算量，同时使得 具体切割方案易于实行。六、线材切割问题的几点建议(1) 实施少量多次加工。少量、多次
10、切割可使加工工件具有单次切割 不可比拟的表面质量，是控制和改善加工工件表面质量的简便易行的方法和措施。( 2 合理安排切割路线。 该措施的指导思想是尽量避免破坏工件材料原有的内部应力平衡， 防止工件材料在切割过程中因在夹具等作用下， 由于切割路线安排不合理而产生显著变形，致使切割表面质量下降。(3) 正确选择切割参数。对于不同的粗、精加工，其丝速、丝的张力和喷流压力应以参数表为基础作适当调整，为了保证加工工件具有更高的精度和表面质量， 可以适当调高线切割机的丝速和丝张力， 虽然制造线切割机床的厂家提供了适应不同切割条件的相关参数， 但由于工件的材料、 所需要的加工精度以及其他因素的影响， 使得
11、人们不能完全照搬书本上介绍的切割条件， 而应以这些条件为基础，根据实际需要作相应的调整。(4) 注意加工工件的固定。当加工工件行将切割完毕时，其与母体材料的连接强度势必下降， 此时要防止因加工液的冲击使得加工工件发生偏斜， 因为一旦发生偏斜，就会改变切割间隙，轻者影响工件表面质量，重者使工件切坏报废，所以要想办法固定好被加工工件。七、参考文献1 数学建模及典型案例分析李志林欧宜贵编著化学工业出版社2 数学建模与数学实验赵静但琦主编高等教育出版社3 数学建模（第三版） 姜启源，谢金星，叶俊编著高等教育出版社出版4基于MCGSS态软件线材切割控制系统张旭；孙鹏；李霞；ASP怵源干JCJFD攵录刊5
12、 运筹学与最优化方法 吴祈宗 北京：机械工业出版社， 2005八、附录1）设计方案X11和X21的程序。model：min=8 6.20*a1 3.60* a2 2.80* a3 1.85* a4 0.75* a5 0.55* a6；6.20*a1+3.60* a2+2.80* a3+1.85* a4+0.75* a5+0.55*a6=1；endmodel：min=12 6.20*a1 3.60* a2 2.80* a3 1.85* a4 0.75* a5 0.55* a6；6.20*a1+3.60* a2+2.80* a3+1.85* a4+0.75* a5+0.55*a6=1；end2）求
13、解最优实行方案的程序。Model：min=8*（X 11+X 12+X 13+X 14+X 15）+12*（X 21+X22+X23+X24） ；X11+X21=90；2*X 12+X22+X23+X24=120；2*X 13+X22+3*X23+X21+2*X24=136；X13+4*X 14+X22=310；X12+7*X 15+4*X 21+5*X 22+3*X 24=215；3*X 11+X13+X14+5*X 15+X24=320；gin （ X11） ；gin （ X12） ；gin（X13） ；gin（X14）；gin（ X15） ；gin （ X21） ；gin （ X22）
14、；gin（X23） ；gin（X24）；Objective value：2300.000VariableValueReduced CostX1161.000008.000000X1256.000008.000000X1343.000008.000000X1467.000008.000000X155.0000008.000000X2129.0000012.00000X220.00000012.00000X235.00000012.00000X243.00000012.000002603）运行最优实行方案程序的结果。Global optimal solution found at iteration：