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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体白体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回3方程$ b$x $中系数计算公式.君、色=;,a - d其中x, y表示样本均值。工i广A 1N是正整数，则anbna b（an1 an2babn 2bn1）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设复数z满足1 i z 2,其中i为虚数单位，则z =A. 1 i B. 1 i C. 2 2i D. 2 2i2 .已知集合A x, y I x, y为实数，且x2 y2 1 , B x, y
2、x, y为实数,且y x ,则A B的元素个数为A. 0B.1C.2D.33 .若向量 a , b , c 满足 a / b 且 a，b ,则 c?(a 2b)A. 4B . 3C.2D. 04 .设函数f x和g x分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论包成立的是A. f x g x是偶函数B . f x g x是奇函数C . f x g x是偶函数D . f x | g x是奇函数0 x 25 .在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 y 2 给定。若M（x,y）x 2y为D上的动点，点A的坐标为（72,1）,则zuuuir uuirOM gON的最大值为A. 4 2C. 4D. 36
3、 .甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队A. 6,3B.C.12. 3D.8.设S是整数集Z的非空子集，如果a,b S,有ab则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,U Z,且 a,b,c T,有需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为C. 237 .如图13,某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的abc T
4、; x, y,z V,有xyz V ,则下列结论包成立的是（用数字作答）212.函数 f(x) x 3x 1在乂=处取得极小值。16.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）9 .不等式|x 1 x 3 0的解集是2 710 . x x 2的展开式中，x4的系数是 x11 .等差数列an1前9项的和等于前4项的和.若a1 1,ak a4 0 ,则 k=13 .某数学老师身高176cmi他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测 他孙子的身高为 cm.(二)选做题
5、(14 -15题，考生只能从中选做一题)14 .(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为5 2,5 cossin(0x t)和 4 (t R),它们的交点坐标为y t15 .(几何证明选讲选做题)如图4,过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A, B ,且PB=7,/ BAC =/ APB ,贝U AB 二三.解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和 演算步骤。(1)(本小题满分12分)1已知函数 f(x) 2sin(-x ),x R(1)求f(5-)的值;4(2)设，0, - , f (3a ) 10, f(32 ) 6,求 cos()的值.221351
6、7 .为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量(单位：毫克).卜表是乙厂的5件产品的测量数据:编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x,y满足x175,且y 75时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中 优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。18 .(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCDfr, ABC此
7、边长为1的棱形,且/DAB=60, PA PD V2 ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1) 证明：AD 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.19 .(本小题满分14分)设圆C与两圆(x 75)2 y2 4,( x 扃 y2 4中的一个内切，另一个外切(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M355,455),F(指,0),且p为l上动点，求|mp |fp|的最大值及此时点p的坐标.20 .(本小题共14分)设b0,数列为满足a产b,烝nban1 (n 2)an 12n 2(1)求数列an的通项公式； n 1(2)证明：对于一切正整数n, an 焉 1.2 n *2
8、1.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线 L: yx2实数p, q满足4 .p2 4q 0 , xi, X2是方程 x2 px q 0 的两根，记 (p,q) max x1 , x2。1(1)过点A(p0,p02)(p0 0)作L的切线教y轴于点B.证明：对线段AB 4上任一点Q(p, q)有(p,q)圆；2(2)设M(a, b)是定点，其中a, b满足a2-4b0,a w0.过M(a, b)作L的 1 c1两条切线ii2,切点分别为e(p1,-p12),e(p2,-p22), 11,12与y轴分别父与F,F。44线段 EF上异于两端点的点集记为 X.证明：M(a,b)X
9、PP2(a,b)与2 .j、一1 o 5(3)设 D= (x,y)|y - (x+1) .当点(p,q)取遍 D 时，求(p,q)的 44最小值(记为mQ和最大值(记为max).、填空题2011年广东高考理科数学参考答案题 号12345678答 案BCDACDBA、选择题10. 84;11. 10;13. 185；12. 2;15.底；-5516.解：(1) f(一) 2sin( )2sin 22 ;412640, -, cos、10.5(2) f (3一) 2sin , sin -，又213131213f(32 ) 2sin(又 0, , sin2cos( ) cos cos6-)2cos
10、-, cos4一, 516 sin sin .17.解：(1)乙厂生产的产品总数为5”9835 ；235 - 14 ；5(3)0,1,2P(012P31035110i)C214c2c；i(i 0,1,2),的分布列为均值E()2 10518.解:(1)取AD的中点G,又 PA=PD,由题意知MBC是等边三角形,PGBG ADAD又PG BG是平面PGB的两条相交直线,Q EF / /PB, DE /GB ,PEBSCSAS平面DEF/平面PGB ,2、，一 一，5(2)样品中优等品的频率为-,乙厂生产的优等品的数量为AD 平面DEF(2)由(1)知 PGB为二面角P2在 Rt PGA中，PG2
11、 V2AD B的平面角,(2)2BGA 中，BG212中221719.解：(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为F1(底0)、F2 (75, 0),222PG2 BG2 PB2在 PGB 中，cos PGB 2PG BG由题意得ICi |R |CFi | 2 |CF2| 2或 R ICF2I 2 |CFi | 2ICF2II 4 275 IF1F2I，可知圆心2 XC的轨迹是以F1, F2为焦点的双曲线，设方程为-2a2Lb21,1,b 1 ,所以轨迹L的方程为2a 4, a 2, c 5, b2c2a2uuuu(2) |MP | | FP | |MF | 2 ,仅当 PMuurPF
12、( 0)时，取=,由 k|MF2 知直线 Imf : y 2(x15x2 32底9 0解得x6i或x53.5 4.5).所以| MP | | FP |最大值等于2,此时P（20.解（1 ）法包ban i 得工n an i 2(n 1) anan1 2(n 1) 1 2 n 1ban 1 b b an 1、 n.2.1,设一bn,则bn-bn1-(n2),anbb,1 ,、，一 1 （i）当b 2时，bn是以1为首项，1为公差的等差数列,22即bn1.11c二(n1) TTn， 1-an2222（ii）当b 2时，设bn2,22b(bn1),则 bn，bn1(- 1)，bnb (bn1b)(n2
13、)，知bnbn是等比数列,bn - (b1 ，)(Z)n1,又 b12 b 2 b b12n bnnbn(2 b)2 b bn an2n bn .,1 ,、，一 1 法二：（i）当b 2时，bn是以1为首项，1为公差的等差数列,22rr111即 bn - (n 1) - - n , an 222 2(ii)当 b 2时，a1 b, a22232b 2b (b 2)3bZ 2Z2 ， a 2 -2 Zb 2 b 2b 2b 433b (b 2)-7飞-b 2猜想an nb也，下面用数学归纳法证明:bn 2n当n 1时，猜想显然成立；假设当n k时，akak 1(k 1)b ak(k 1)b kb
14、k(b 2) (k 1)bk 1(b 2) ak2(n 1)kbk(b 2) 2k (bk 2k)bk 1 2k 1所以当n k 1时，猜想成立,由知,nbn(b 2)n N * , ann nb 2(2) (i)当 b 2时,an 24；12n 1，故b 2时,命题成立;(b2n b2n 1 2 L(b2n 1 22n 1) bn 1 2n bn 2n 12n1(bn 2n)(b2n 1 bn 1 2n) (bn 2n 1 22n 1)2n 1(bn 2n)综上(i) (ii)知命题成立.bn12n 11 .故当b 2时，命题成立;(ii)当 b 2时，b2n22n24b2n 22n2n 1
15、bn,b2n 1 2 b 22n 12jb2n 22n2n 1bn,L L , bn1 2n 1 bn1 2n 12jb2n 22n2n 1bn ,以上 n 个式子相加得2n 2n 1n 1 n 1 n 1 n 12n 1 2nn 1 nb b 2 L b 2 b 2 L b 22 n 2 b ,n1nn 1(bn2n) n2n 12n 1c2 nn cnn 2 b (b 2) (b b 2 L b 22 ) b 2 (b 2)an2n 1(bn2V2n 1(bn2n)b 22n 122n )(b 2)bn 2n (b 2)“.,1 、，121.解：(I)kABy |x Po(2x) |xPo
16、- Po ,121112直线 AB 的万程为y - Po- Po(xPo),即 y - PoX- Po ,4224112、一.2_ 2.,、2q 2 PoP4 Po ,万程 xPX qo 的判别式P 4q (P Po),PI Po Pl Po - Po两根x12 或p ,222Q p Po o, I p ?l II Pl I 当I，又 o I Pl I Pol,22I7I PI1号，得 Ip ?IIPII7II I(p, q) Ip0I.)由a2 4b o知点M(a, b)在抛物线L的下方，当a o, b o时，作图可知，若 M (a,b) X ,则p1 p2 o ,得I p111P2 I ;
17、 若 I Pi I I P2 I ,显然有点 M(a,b) X； M (a,b) X I P1 I I P2 I.当a 0, b 0时，点M（a,b）在第二象限,作图可知，若 M(a,b) X ,则 pi 0 p2,且 |pi| |p2|；若 I Pi I I P2 I ,显然有点 M(a,b) X ；根据曲线的对称性可知，当M(a,b) X | Pi | | P2 I .a 0时，M(a,b) X I Pi I I P2 I，综上所述，M（a,b） XI Pi I I P2 I (*);由（1）知点 M在直线EF上，方程x2 ax b 0的两根xi2 火或a22同理点M在直线EF上，方程x2
18、 ax b 0的两根xi2 R或a -p2 ,22什PiPi TrPiP2P2若（a,b）七I，则I勺不比Ia 马、差I、Ia ?I小， 22222I Pi I I P2 I，又 I Pi I IP2 I M（a,b） X ,Pi(a，b) iPi(a,b) I I M(a,b) X；又由(1)知， M(a,b) X 2P 2,Pi(a,b) IM(a,b)，、/ i(3)联立 y x i , y (xX ,综合（*）式，得证.i）2 5 得交点（0, i）, （2,i）,可知 04i 2 ix0 q i过点（P,q）作抛物线L的切线，设切点为（x。，2）,则4 -x0,4x0 P 2得 x02 2 Px0 4q 0 ,解得 x P 后4q ,一 i 25-22(ti)2又 q -(P i) 一，即 P 4q 4 2p , 44max,x0 ,IImax，又x0Q q P i, x p Jp2 4 P 4 p I p 21 2,min 4 IXqmini -4ix P 74 2p，设 J4 2P t ,x02tt 2