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1、第2章 解析函数2.1 解析函数的概念及C-R条件 复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间.2-1 在点可导的充分必要条件是（ ）. （A）在点可导，且满足C-R条件，即在成立 （B）在点的一个邻域内可导（C）在点可微，且满足C-R条件（D）在点具有连续的偏导数，且满足C-R条件 解 由上题的推导过程知，若在点可导，则在可微，且在点成立.反之，若在可微，且满足C-R条件，则 故 选（C）.2-2 若，则函数（ ）.（A）仅在原点可导 （B）处处不可导 （C）除原点外处处可导 （D）处处可微解 在原点虽有但不可微；而除原点外可微但不满足C-R条件，因此，处处不可导. 选
2、（B）.如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若处处解析，则（ ）.（A） （B） （C）（ （D）解 由C-R条件及故2-3 若则（ ）.（A）令在直线上可导 （B）仅在直线上可导（C）仅在（0，0）点解析 （D）仅在（0，0）点可导解 ，要满足C-R条件，要求及，只有（0，0）点能满足此条件. 选（D）.要记住在极坐标下的C-R条件.中“”表示等价（无穷小）的意思这里由于是极坐标故而当令“”是等价无穷小的等价符号. 2-4 导出在极坐标下的C-R条件.解 即在处可导的C-R条件，分两种解法.1.用坐标变换法的变化与之一样，故由C-R条件得 及 这便是在极坐标下C-R条件. 2.直接
3、用定义 而 当 时，故 存在，令有=令亦有比较上面等式得 与解1所得结果一致.2-5 研究下列函数的可导性与解析性（1）（2）（3）（4）解 （1）仅当时C-R条件成立，故此函数在直线上处处可导.而在复平面上处处不解析.（2），因此，仅在两相交直线上处处可导，在全平面处处不解析.（3）C-R条件处处成立，且偏导数处处连续，因而处处可微，即处处解析. （4）的偏导数处处连续，且C-R条件成立，故处处解析.2-6 若是区域内的解析函数，那么，在内是否也是解析函数？解 只有当在内为常数时，才在内解析，否则不解析.由C-R条件，若也解析，则有于是，故为常数，从而也是常数.结论，若是内不为常数值的解析函
4、数，则在内不解析.2-7 如果是解析函数，证明 证 ，故由C-R条件得故 2-8 如果是解析函数，证明证 故 （1）同样 （2）由C-R条件，知 及 将（1）、（2）两式相加得 2-9 如果与均在内解析，证明是常数. 证 设，则由C-R条件得从而是实常数，是实常数，是常数. 2-10 设在点可导，证明 ，其中证 在极坐标下（后面的式子是顺便写出来的）故也可写作 2.2 初等函数及其解析性复变量的指数函数具有周期性.2-11 若，则（ ）.（A） （B）为任意整数）（C） （D） 解 由于的周期为，故有（取为任意整数）得 要注意与的联系与区别.2-12 关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）
5、.（A） （B）（C） （D）解 由定义 （B）不正确在于而当或时， ，故（B）不成立.2-13 和它的主值分别是（ ）.（A）为整数）主值 （B）主值 （C）主值 （D），主值 解 ，取为整数，也是整数）得 选（B）. 注意复变量的三角函数与实变量三角函数的联系与差别.2-14 设为整数，则方程的根是（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 即，即设，故 选（C） 2-15 证明对数函数的下列性质. （1） （2）并说明以上性质对于函数未必成立. 证 （1） （2）可用（1）的结果：故 以上等式成立的意思是说与是相同的集合.而对于主值：不一定总有 如则 故 一般不一定与相等，但当时，公式
6、成立，如 不成立.这是复函数与实函数不同之处，值得注意。都是成立的.2-16 说明下列等式是否正确.（1）； （2） 解 （1）不正确，因为 而由于是整数）而 是整数）两个集合不相同.（2）正确一般有两个值，一个是，另一个是故 而 而 或 式对应于式，为偶数时的值；式对应于式即奇数的值，故它们是相等的.反过来，便可以看出（1）不成立的原因.若 而 式比式中的虚部少了“一半”原因是尚有而 与是不一样的. 2-17 求下列各式的值:(1) (2) (3) (4) 解 （1） （2）是整数）（3）（4）是整数）. 2-18 讨论函数和的解析性及其导数.解 ,此函数在点和负实轴上不连续，在时无意义；在负实轴上，当；而，故不连续；从而不可导.而除和负实轴外，反函数存在，且，故即除原点和负实轴外，处处可导，且 对于（为整数），对每个固定的，也是除原点和负实轴外处处可导，且 即在它每一个单值的分支上（即对每个固定整数），除原点和负实轴外处处可导，且 2-19研究幂函数的解析性质，并求其导数. 解 因此，是多值函数，对应于的每个单值分支，幂函数也是单值的，且的每个单值分支上除和负实轴外处处解析，因而，幂函数在每个单值分支（即对每个固定的），除原点与负实轴外处处解析，且，对每个固定的均成立. 注意的两个分支不一样.2-20 求的值.解 有2个单值分支，对应和.故 即对应的分支这时而对应的分支28