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1、导数及其应用一、选择题1. f (Xo) 0是函数f X在点X0处取极值的：A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D、一22、设曲线y x 1在点(x,f(x)处的切线的斜率为 g(x),则函数yL %上OxOx .O . xA.B.C.3 .在曲线y = x2上切线的倾斜角为 彳的点是()1111A. (0,0)B. (2,4) C.4, D. 2,-4 .若曲线y- x+ax+b在点(0 , b)处的切线方程是 x y+10,则(A. a= 1, b= 1B . a=1, b= 1 C . a=1, b=5 .函数f (x) =x3+ax2 + 3x-9,已知f (x)在x=3
2、时取得极值，则iA. 2 B . 3 C.4 D . 51 3226 .已知二次函数 f(x) = -x -(4m- 1)x + (15m-2m-7)x+2 在 xC( 3范围是()A. m4 B . 4rx2 C . 2m4 D .7 .直线y x是曲线y a ln x的一条切线，则实数 a的值为A.8 .若函数f(x) x3 12x在区间(k 1,k 1)上不是单调函数，则实数A. k 或 1 k 1或k 3B.3 k 1.既不充分又不必要条件g(x)cos x的部分图象可以为yOxD.)-1 D . a= - 1, b= - 1a等于()oo, +oo)是增函数，则 m的取值以上皆不止确
3、1 B . e C . ln2 D . 1k的取值范围()或1 k 3C.2 k 2D.9 . 10 .函数f x的定义域为 a,b ,导函数f x在则函数f x在a,b内功极小值点A. 1个B.2个C.3个10 .已知二次函数 f(x) ax2 bx c的导数为f (x)f1的最小值为A. 3B.5f (0)2不存在这样的实数 ka,b内的图像如图所示，D. 4个,f (0) 0,对于任意实数 x都有f(x) 0,则C. 2D.32、填空题第3页(共8页)11.函数 y sin-x的导数为 x12、已知函数f(x) x3 ax2 bx a2在x=1处有极值为10,则f(2)等于.13 .函数
4、y x 2cosx在区间0,上的最大值是 214 .已知函数f(x)x3 ax在R上有两个极值点，则实数 a的取值范围是 15 .已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1) 0, xf (x) 2 f (x)0 (x0),则不等式x2x2 f (x) 0的解集是三、解答题16 .设函数f(x)=sinx cosx+ x+ 1,0x2ti,求函数f(x)的单调区间与极值.17 .已知函数f (x) x3 3x.(i)求f(2)的值；(n)求函数f(x)的单调区间18 .设函数 f(x) x3 6x 5,x R.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x) a有3个不同实根，
5、求实数 a的取值范围3)已知当x (1,)时, f (x) k(x 1)恒成立，求实数k 的取值范围19 . 已知 x 1 是函数 f (x) mx3 3(m 1)x2nx 1的一个极值点，其中 m,n R, m 0(1)求m与n的关系式；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x 1,1，函数 y f(x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m 的取值范围。第3页(共8页)2.20.已知函数 f(x) ln x ax bx.(I)当a 1时，若函数f (x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(II)若f(x)的图象与 x轴交于A(x1,0), B(x2,0)(x1 x2)两点，且
6、AB的中点.为C(xo,0),求证: f(xo) 0.2 x 21.已知函数f(x) ，g(x) 2aln x(e为自然对数的底数)e(1)求F(x) f(x) g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值;(2)是否存在正常数a ,使f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线?若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。第9页(共8页)导数及其应用参考答案、选择题:题号12345678910答案BADADDDBAC二、填空题：”,xcosx sin x11. y 2 ； 12. 1813. 73 ;14. a|a 0；15. ( 1
7、,0) (1,x6三、解答题16.解析f (x)= cosx+sinx+1 =#sin(x+4)+1(0x2 nt)令 f (x)=0,即 sin(x+小一坐解之得x=兀或x= 2兀.x, f (x)以及f(x)变化情况如卜表：x(0, nt)兀3 、(q 2 兀)32兀3、(2 兀，2 nt )f (x)十0一0十f(x)递增兀+ 2递减3兀2递增 一3 3.f(x)的单倜增区间为(0,nt和(3TT, 2nt单调减区间为(q 3 nt )f 极大(x)=f(nt 手什 2, f 极小(xK，435217 .解：(I) f (x) 3x 3,所以 f (2) 9.2(n) f (x) 3x
8、3,解 f (x) 0 ,得 x 1 或 x 1.解 f (x) 0,得 1 x 1.(1,1)为函数f (x)的单调减区间72, x2 & 1 分乏时，f (x) 0, 2分所以(，1), (1,)为函数f (x)的单调增区间,18 .解：(1) f (x) 3(x2 2),令f (x)0,得Xi 当x 亚或x 而lf(x) 0;当 72 x . f (x)的单调递增区间是(，夜)和(笈)，单调递减区间是(J2,J2)3分当x ,f(x)有极大值5 42;当x 我，f(x)有极小值5 472. 4分(2)由(1)可知y f(x)图象的大致形状及走向(图略) 当5 4V2 a 5 4/时，直线
9、y a与y f(x)的图象有3个不同交点，6分即当5 4无 a 5 4应时方程f (x) 有三解.7分(3) f(x) k(x 1)即(x 1)(x2 x 5) k(x 1)- x 1, kx2 x 5在(1,)上恒成立 9分令g(x)x2 x 5 ,由二次函数的性质，g(x)在(1,)上是增函数，. g(x) g(1)3, .所求k的取值范围是k 3 12分19.解：(1) f(x) 3mx2 6(m 1)x n.因为x 1是函数f (x)的一个极值点.所以f(1) 0 即 3m6(m1)n 0,所以n 3m6,八一一 2 一一一一2(2)由(1)知，f(x) 3mx2 6(m 1)x 3m
10、 6 3m(x 1)x (1 ) m2当m 0时，有1 1 当x为化时，f(x)与f(x)的变化如下表： mx(,12)1 2 m2(1 一,1) m1(1,)f (x)-0+0-f (x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减2 2故由上表知,当 m 。时,f(x)在(,1 一)单调递减，在(1 一,1)单调递增，在(1,)上单调 mm递减.(3)由已知得 f (x) 3m,即 mx2 2(m 1)x222、人x (m1)x-0,x 1,1设g(x)mmg( 1) 0 g(1) 012 解之得2 x43一 o 22_2 0又m 0,所以 x (m 1)x 一 0,即 mm1 22(1 -)x
11、,其函数图象开口向上，由题意知式恒成立，所以 mm一44m又m 0所以 一 m 0即m的取值氾围为(一，0)3320. ( 1 )由题意：f (x)ln x x2 bx ,f(x)在(0,)上递增,.1,f (x) 2x b 0 对 xx (0,、，八r ,1 c ,，八、，八)恒成立，即b 2x对x (0,)恒成立,x工1只需b (x2x)min ,x 0,1 2x 2G,当且仅当x 时取“=”，x22f (x1)lnx1ax1bx10ln x1由已知得，v 1711211f (x2)ln x2ax2bx20ln x2b2,2, b的取值范围为(ax2 bx1 ,两式相减，得:ax2 bx2
12、lnx1a(x1x2)(x1 x2) b(x1 x2)x2ln(x1x2)a(x1 x2) b,x2,2 2)由 f (x)1 一 ，一一一2ax b 及 2x0 x1 x2,得: x12f (Xo) 2ax0 b -XoX1 x2a(X1 x2) b2X1x2X1x2,X1ln X212(x1x2),ln x1 x2 x1 x2x212(t 1)1x2x1X2(21)x2,x1 ln x2,令tx1x2(0,1)，r2t 2,且(t) Int (0 t 1),t 1(t)(t 1)2t(t 1)20,(t)在(0,1)上为减函数,(t)(1)0,又 X1 x2 ,f(x。) 021.解：(1
13、) F (x) f (x) g (x)2x 2ae x2(x3 ea)ex(x0)当a0BlF(x) 0恒成立F(x)在(0,)上是增函数，F(x)F只有一个单调递增区间(0,-8),没有最值3分当 a 0时，F(x) 2(x 而x 而(x 0), ex若0 x ea ,则 F (x) 0,F (x)在(0, Tea)上单调递减;若 x ea , 则F (x) 0, F(x)在(，醺，)上单调递增,当x jea时，F(x)有极小值，也是最小值，即 F(x)min F (Tea) a 2aln Teaaln a 6 分所以当a 0时，F(x)的单调递减区间为(0,，花)单调递增区间为(俏，)，最
14、小值为 aln a,无最大值 7分(2)方法一，若f (x)与g(x)的图-象有且只有一个公共点,则方程f(x) g(x) 0有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点8分来源:学科网由(1)的结论可知F(x)min aln a 0得a 1 10分2_此时，F(x) f(x) g(x) 2ln x 0 F(x)min F( e) 0 ef (Ve) g(/e) 1, f (x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为(Je,1)又Q f (Je) g (右) 声 f(x)与g(x)的图象在点(Je,1)处有共同的切线,其方程为y 1 壬(x Je),即y壬x 1 .e. e13分综上所述，存在
15、a 1,使f (X)与g(x)的图象有且只有一个公共点(Je,1),且在该点处的公切线方1.14分方法二：设f (x)与g(x)图象的公共点坐标为(X0, y0),2Xo根据题意得f(Xo) g(Xo)2a ln x0由得此时由因此除f (Xo)f (Xo)2X0r，代入得ln X0ee2xo2a(1)可知 F(x)min F(.e)XoXo Je外，再没有其它X0 ,使f(X0)从而a 110分0且 x Je 时，F (x) 0,即 f(X) g (x)g(Xo)13分故存在a 1,使f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得14分公共点坐标为(Je,1),公切线方程为y2=x 1