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1、留数定理在定积分计算中的应用引言在微积分或数学分析中，不少积分(包括普通定积分与反常积分)的计算用微积 分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力.如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果.本文主要利用复变函 数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我 们来给出留数的定义及留数定理.1留数定义及留数定理1.1留数的定义设函数f (z )以有限点a为孤立点，即f (z)在点a的某个去心邻域0|z，aR内 1,，.解析，则积分 f f (z dz(T： z a = P,0 P2.留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反
2、常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分.2 二2.1 形如J f (cosx,sin x )dx型的积分 of (cosx,sin x )表示cosx,sin x的有理函数，且在 b,2n 上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2n ,这样当作定积分时x从0到2冗，对应的复变 函数积分正好沿闭曲线绕行一周. 二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。 满足这两点之后，我们可以设z = eix ,则dz =izdx ,ix-ix2ix 上 2e -e z 7e e z 1sin x =, cosx =2i 2iz2 2z2z2z -1 dz2iz iz2 二f cos
3、x,sin x dx =0n= 2ni2 Res f (z ).kd za例1计算Idx2 .2 ., 3cosx2 - 1- o- 碎角dx.3cosx21 z _2 3 z2dziz iz(4z + V3z2 +73 )dz由于分母有两个根zi =13，z2 =zdz14z z 13了,其中 z1 1, z2 A14因止匕I = 2兀i Res = 4n .3i ”-be2.2形如f f (xdx型的积分此类积分计算时要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足以下条件才能适用P z(1) f(z)=Q篙，其中P(z), Q(z)均为关于z的多项式，且分母Q(z)的次数至少比分子P(z )的次
4、数高两次；(2) f (z )在半平面上的极点为4 (k=1, 2, 3,，n),在实轴上的极点为xn(k = 1, 2, 3, n)则有 J f(xdx=2g / Resf (z)l.z72例2计算Ix .4 -2-dx .-x4 x2 1z2 z 1 z2 z 1孤立点为z1 =2 +, z2=争，z3 w -争,4=v，其中落在上半平面2二I =2ni Resf ( z = = k4 .3例3计算I二x2, 一GT-12 -二 2xI =222-二 x a二2 二 i2Jz+ai )zai2解：由于lim z .z= 0 ,且上半平面只有一个极点ai ,因此 z2 a22z=2二 i R
5、e s2z=ai22 2z an2a2.3 形如；P1eimxdx型的积分,：Q x定理2 口（若尔当引理）设函数g（z）沿半径圆周rR：z = Reie （0E80 ).RR 二. r证明：Vs0,3R0（s）0,使当 R以时，有 g（zjs,zr于是 Lg(z)eimzd1rg Rei eimReiJIRei0d日 MRgIe-mRsin rd(2)这里利用了 g（Re田）巴 Rei0i =R 以及 eiimReiE-mRsin-i imRcosi-mRsin -ie -,r. z f2 利用若尔当不等式jiEsine 6 (0 6 )将(2)化为L g(z Fimzdz W2RaJe=
6、2R；e 7T-2mRInmE=01-emR 0.-bo则有 J g (x eimxdx =2由 Res g(z)eimz I(3)-二imak z%k将(3)式实虚部分开，就可用得到形如：P xJ P x1 cosmxdx及 1sin mxdx的积分.一二 Q x二 Q x例 5 计算 I = 7 2 cosx-dx .一二 x2 1 x2 9解：利用孤立奇点z =i和z =3i ,得-bocosx二 Re2 二 i二Re2二i-Re2 二 iResz 土iz eiz e(z2+1)(z2 +9)e + e16i-48i yRes 2z-i ziz eize21z29+z4 z2 1 z2
7、9二 2= A3e27).24e_be xsin mx.例6计算I = f rdxo x a(m 0,a 0 ).解被积函数为偶函数，所以设函数关系式为f z二imz ze a4xsin mx442.x aimx xe1dx= - im2.x a-它共有四个一阶极点，即二 2 k Tiak =ae 4( k = 0,1,2,3 )imz得 Res f z = 4e 4zzakz a(k=0,1,2,3 ),z =ak因为a0,所以f (z )在上半面只有两个一阶极点 名及&,于是imxxe44一二 x aimzzedx=2 i - Res；74 _4 44zmak 0 -k z ama4一2m
8、a唯,T 0(zT以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个xsin mx, rdx0 x a1 -im2imx.maxe 二 i2_4dx二.sin:一 x a2a一工，ma12 .结束语上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷， 通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别， 也有联系.解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时, 利用留数定理却能够得到很好的效果.参考文献1钟玉泉.复变函数论M高等教育出版社，2004.2盖云英.复变函数与积分变换指导 M科学出版社，2004.3王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解 M中国时代经济出版社，2008.4王瑞苹.论留数与定积分的关系J荷泽学院学报，2005.5余家荣.复变函数论M高等教育出版社，2004.6李红，谢松发.复变函数与积分变换M华中科技大学，2003.致谢感谢培养教育我的宿州学院，学院浓厚的学术氛围，舒适的学习坏境我将终生难忘！祝母校 蒸蒸日上，永创辉煌。感谢对我倾囊相授、鞭策鼓励的诸位恩师及学长、学姐们，祝恩师们身体健康，家庭幸福，祝学长、学姐们都有一份好工作，财源滚滚，人生平安，感谢指导教师晋守 博老师对我的指导。