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1、2x在椭圆ra圆锥曲线第三定义0中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于 A, B两点的任意一点，假设kpA, kpB 存在，那么 kpA ? kpB匕。反之亦成立a2 在双曲线笃a2b 1(a0,b 0)中，A,B两点关于原点对称,P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，假设kPA, kPB 存在，那么kpA ? k PBb2-7。反之亦成立a焦点在Y轴上时,椭圆满足kPA?kPB双曲线满足kpA?kpB2 2例、椭圆 务 爲 1a b 0的长轴长为4,假设点P是椭圆上任意一点，过原点的 a b1直线I与椭圆相交与M N两点，记直线PM PN的斜率分别为k1、k2。假设k1 k2=，那么4椭圆
2、的方程为。变式: 1、设点A, B的坐标为-2，0，2，0，点P是曲线C上任意一点，且直线 PA与PB的斜1率之积为，那么曲线 C的方程为 。42、设点P是曲线C上任意一点，坐标原点是O,曲线C与X轴相交于两点 M -2，0，3N 2，0，直线PM PN的斜率之积为，那么OP的最小值是 。3、 ABC的两个顶点坐标分别是(-8 , 0), ( 8, 0)，且AC BC所在直线斜率之积为 m(m 0)，求顶点C的轨迹。2X4、P是双曲线a2PM1(a0,b0)上一点，M, N分别是双曲线的左右顶点，直线b2PN的斜率之积为-，那么双曲线离心率为52 25、椭圆乞丄 1的左右顶点分别是32A B，
3、M是椭圆上异于 A B的动点，求证:k|MA ?k|MB 为疋值。6、平面内与两定点 Ai( a,0) , A2(a,0) (a 0)连续的斜率之积等于非零常数 m的点的轨 迹，加上A、A两点所成的曲线 C可以是圆、椭圆成双曲线.求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系;第三定义的应用2例、椭圆 y2 1的左右顶点分别是 A, B,点S是椭圆上位于 X轴上方的动点,410BS与直线I : X 分别交于点 M N,求线段MN长度的最小值。32变式：A,B分别为曲线C:2 + y2 =1 y 0,a0 与x轴的左、右两个交点,直线AS,直线 Ia过点B,且与x轴垂直，S为|上异于点B的一点，连结
4、 AS交曲线C于点T.(1) 假设曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点 S的坐标;(II )如图，点M是以SB为直径的圆与线段 TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线假设存在，求出 a的值，假设不存在，请说明理由。第三定义的变形b2koA ?koB2 a框架一：椭圆2x2a2b21(a b 0)，AB是椭圆上的两动点，M为平面上一动点且满足OM OA uOB。那么有如图框架。(任意两个，可以推导第三个)相应的双曲线中有kOA?k0B b2話，双曲b2r，当焦点在 Y轴上时，椭圆满足 koA?koBa线满足kOA?koBF的直线b例、椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在x轴
5、上，斜率为1且过椭圆右焦点交椭圆于A、B两点，OA OB与a (3,1)共线+(I)求椭圆的离心率;()设M为椭圆上任意一点，且OMOA OB ( , R)，证明 22为定值2古 1(a b 0),A, B是椭圆上的两动点， M为椭圆上一动点满2变式：在椭圆令a足 OM OA uOB且 22=1,证明:koA ?koB岂aM为平面上一动点且满足OM OA uOB。那么有如下框架:b2a2x2a2 y b2u2。例、设动点P满足OP OM 2ON，其中，MN是椭圆x22y21上的点,直线 OM框架二：椭圆笃爲 1(a b 0)，A, B是椭圆上的两动点,a bON的斜率之积为-，求动点P的轨迹方
6、程。2变式：设动点M满足OMOA uOB，其中AB是椭圆2 x -2 a2 y b21(a b0)上的点,且 koA ?koB.2 2bx2。证明：P的轨迹方程为aa框架三：动直线l与椭圆x2a2y亠十21(a b 0)父于P(xi, X2), Q(X2, y2)两个不同的两b点，且OPQ的面积为S opq，其中0为坐标原点。有如下框图。a2S OPQab22 2 ,2yiy2 b2X12X2a2OPQ的2 2例、直线l与椭圆C：321交于P x1, y-! , Q x2 y2两不同点，且面积其中20为坐标原点。(I)证明x2 x；和yi2 yf均为定值(n)设线段PQ的中点为M，求OM j PQ的最大值;(川)椭圆C上是否存在点 D ,E , G，使得 S odeS ODGSoeg T假设存在，判断 DEG的形状；假设不存在，请说明理由变式：I与椭圆 笃 笃 1(a b 0)交于A(X|,X2), B(x2, y2)两个不同的两点， a b3、 3m (ax1,by1),n (ax2,by2)，假设m?n 0，且椭圆离心率为，又椭圆经过点(，1),2 20为坐标原点。(1) 求椭圆标准方程。(2) 假设直线I过椭圆的焦点F (0, c)，求直线I的斜率k。(3) 证明：AOB的面积为定值。