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1、考点考点 4343 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量及其分布列、 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 一、填空题 1.(2016 四川高考理科 T12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面 向上时 ,就说这次试验成功 ,则在 2 次试验中成功次数X 的均值是. 【解题指南】先找出离散型随机变量的分布列,再求离散型随机变量的均值. 【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有 (正正),(正反),(反正),(反反), 11 所以在 1 次试验中成功次数 的取值为 0,1,2, 其中 P( =0)=,P( =1)=,P( 42 1113 =2)=,在 1
2、次试验中成功的概率为P( 1)= +=, 4424 所以在 2 次试验中成功次数X 的概率为 313 3 9393 ,P(X=2)= P(X=1)=C,E(X)=1 +2=. 448168162 4 1 2 2 3 答案: 2 2.(2016 江苏高考 T4)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是. 【解题指南】先求出平均数,然后求方差. 【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为 s = = 2 1 22222 (4.7-5.1) +(4.8-5.1) +(5.1-5.1) +(5.4-5.1) +(5.5-5.1) 5 1 22222 (-0.4) +(
3、-0.3) +0 +0.3 +0.4 5 1 (0.16+0.09+0.09+0.16)= 0.5=0.1. 5 = 答案:0.1 二、解答题 3.(2016 全国卷高考理科 T19)某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即 被淘汰 .机器有一易损零件 ,在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间 ,如果备件不足再购买 ,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同 时购买几个易损零件 ,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损 零件数 ,得下面柱状图 : 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发
4、生的概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易 损零件数 . 1 (1)求 X 的分布列 . (2)若要求 P(Xn)0.5,确定 n 的最小值 . (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一 ,应选 用哪个 ? 【解析】 (1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11, 记事件 Ai为第一台机器 3 年内换掉 i+7 个零件 (i=1,2,3,4) 记事件 Bi为第二台机器 3 年内换掉 i+7 个零件 (i=1,2,3,4) 由题知 P(A 1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(
5、B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4. 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则 X 的可能的取值为 16,17,18,19,20,21,22, P(X=16)=P(A 1)P(B1)=0.20.2=0.04, P(X=17)=P(A 1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.20.4+0.4 0.2=0.16, P(X=18)=P(A 1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.20.2+0.4 0.4+0.2 0.2=0.24, P(X=19)=P(A 1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0
6、.20.2+0.4 0.2+0.2 0.4+0.2 0.2=0.24, P(X=20)=P(A 2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.40.2+0.2 0.2+0.2 0.4=0.2, P(X=21)=P(A 3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.20.2+0.2 0.2=0.08, P(X=22)=P(A 4)P(B4)=0.20.2=0.04. 所以 X 的分布列为 X16171819202122 P0.040.160.240.240. 2 0.080.04 (2)要令 P(Xn)0.5, 0.04+0.16+0.240.5,0.04+0.16+0.24+0.
7、240.5, 则 n 的最小值为 19. (3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备 件不足时额外购买的费用 , 当 n=19 时,费用的期望为 19200+500 0.2+1000 0.08+1500 0.04=4040, 当 n=20 时,费用的期望为 20200+500 0.08+1000 0.04=4080. 所以应选用 n=19. 4.(2016 全国卷理科 T18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投 保人称为续保人 ,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保费 012345 0.85aa1.25a1.
8、5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 概率 012345 0.300.150.200.200.100.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率. (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率 . (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 2 【解题指南】 (1)一续保人本年度的保费高于基本保费,就是上年度出险次数不少于2 次的情况 .(2)要求的是在一续保人本年度的保费高于基本保费的前提下,利用条件概 率求解 .(3)平均保费就是保费的均值 .先利用均值公式求出均值 ,再求平均保费与基 本保费的比
9、值 . 【解析】 (1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A, P(A)=1-P()=1-(0.30+0.15)=0.55. (2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件 B, P(B|A)= PAB PA = 0.10 0.053 =. 0.5511 (3)设本年度所交保费为随机变量X. X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a P0.300.150.200.200.100.05 平均保费 E(X)=0.85a 0.30+0.15a+1.25a 0.20+1.5a 0.20+1.75a 0.10+2a 0.05 =0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1
10、a=1.23a, 所以平均保费与基本保费比值为1.23. 5.(2016 山东高考理科 T19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由 甲、乙各猜一个成语 ,在一轮活动中 ,如果两人都猜对 ,则“星队”得 3 分;如果只有一 个人猜对 ,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对 ,则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对 32 的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响 .各轮结果亦 43 互不影响 .假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3 个成语的概率 . (2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E(X). 【解题指南】 (1)要弄清“至少猜
11、对3 个”所包含的事件 . (2)找全两轮得分之和为X 的可能值 ,然后计算每种可能值的概率. 【解析】 (1)由题意 ,“星队”至少猜对 3 个成语包含“甲对一乙对二”与“甲对二乙 对一”“甲乙全对” , 2 3 3112 212 3 2 2 C C CC所以 p=C C2 22222 44343343 1 2 2222 = 1112 . 6443 (2)“星队”两轮得分之和X 的可能值为 :0,1,2,3,4,6. 1 11 P(X=0)= ; 144 4 3 22 P(X=1)= 31111 2115 ; 2 72 4 3434343 3 P(X=2)= 31313112123125 ;
12、 434343434343144 P(X=3)= P(X=4)= 32 11 121 ; 2 434314412 32 12315 ; 2 43 4 34312 22 3 21 P(X=6)= . 4 43 可得随机变量 X 的分布列为 X P 所以 E(X)=0 152515123 +1+2+3+4+6=. 14472144121246 012346 1525151 1447214412124 6.(2016 天津高考理科 T16)(本小题满分 13 分) 某小组共 10 人,利用假期参加义工活动 ,已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别 为 3,3,4. 现从这 10 人中随机选出
13、2 人作为该组代表参加座谈会. (1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”,求事件 A 发生的概率 . (2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 【解题指南】 (1)利用组合数表示出事件个数. (2)确定随机变量 X 的可能取值 ,计算相应的概率 ,再列出分布列 ,计算数学期望 . 【解析】 (1)由已知事件 A:选 2人参加义工活动 ,次数之和为 4,则 PA= (2)随机变量 X 可能的取值为 0,1,2, PX 0= 22C 3 C 3 C2 4 2C 10 2C1C1 C 334 2C 10 1 . 3 4 , 15 PX 1= C1C1 C1C1 3334 2C 10 7 , 15 PX 2= C1C1 34 2C 10 4 , 15 则 X 的分布列为 : X P EX = 78 1. 1515 4 012 474 151515